关于具有交易费用和随机性的效用最大化的一个注记

双值函数在（0，∞).（3） 在（3.1）v（y）=s upx>x{u（x）的意义上，u和v是共轭的- xy}，y>0，（3.2）u（x）=infy>0{v（y）+xy}，x>x。（4）对于所有y>0，存在一个解bxy∈ Dλ到对偶问题，它是奇异部分的唯一形式。对于所有x>x，bg:=IbydbQrbydP- 十、- Eti是主问题的解，其中by=u′（x），它达到了{v（y）+xy}的最大值。交易费用和有界随机变量下的效用最大化本节剩余部分将致力于证明上述主要定理。我们把证明分成几个引理和命题，在这里我们可以看到对每一步所需假设的使用。引理3.2。为了所有的x∈ R、 u（x）≤ infy>0infQ∈Dλ{J（y，Q）+xy}=infy>0{v（y）+xy}。证据对于x+g+eT的情况≤ 可测集合a上的0∈ 当P（A）>0时，我们得到u（x）=-∞, 因此，这一论断微不足道。我们只需要考虑casex+g+eT>0p-a.s，因为g从下方以-（x+ρ）和所有u的S满意度（CP Su）∈ （0，1），由此[16，定理1]可知，g可以通过某种（x+ρ）-可容许的自融资交易策略来实现。根据V（y）的定义，x+g+eT的阳性率，以及hQ，gi≤ 0之后是（3.3）E[U（x+g+eT）]≤ E五、ydQrdP+ ydQrdP（x+g+eT）≤ E五、ydQrdP+ yhQ，x+g+eTi≤ E五、ydQrdP+ yhQ，eTi+xy=J（y，Q）+xy对于所有y>0，g∈eCλ，Q∈ Dλ。分别在左侧和右侧取上确界和内确界，我们得到断言。我们现在研究双重价值函数。引理3.3。对于所有y>0的情况，函数v（y）的值是确定的。证据根据Jensen不等式，V在减小，EdQrdP≤ 1，我们有（3.4）v（y）=infQ∈DλE五、ydQrdP+ 东森总部≥ infQ∈DλV耶dQrdP- yρ≥ V（y）- yρ>-∞对于所有y>0。显示v（y）<∞, 我们需要回忆一下[8]中没有随机禀赋的对偶结果（参见。

在[8，T heorem 3.2]中。为了适应那篇文章中的设置，我们分别使用eu（x）和ev（y）作为原始值函数和du al值函数，即eu（x）：=supg∈eCλE[U（x+g）]，ev（y）：=infZT∈MλE五、yZT.通过假设2.9，我们得到（3.5）eu（x）≤ 苏普格∈eCλE[U（x+g+ρ+eT）]=U（x+ρ）<∞,8灵气谷、林一清和杨俊坚所有x>0。另一方面，根据[8，定理3.2]，ev（y）=supx>0{eu（x）- xy}=eu（bxy）- bxyy<∞,对于所有y>0。它跟在v（y）=infQ后面∈DλE五、ydQrdP+ yhQ，eTi≤ 明茨∈MλE五、yZT+ yρ=ev（y）+yρ，即v（y）<∞, 对于所有y>0。引理3.4。对于任何y>0的情况，（2.4）左侧的最大值由somebxy获得∈ Dλ。证据让（Qn）n∈N Dλ是最小序列，即v（y）=limn→∞E五、ydQrndP+ yhQn，eTi.因为Dλ是凸的且dQrndPN∈如果是L-界的，我们可以找到一个序列（eQn）n∈nWithiqn∈ conv（Qk；k）≥ n） 这几乎肯定会对某些人产生影响≥ 0.显然heQn，eTi≤ ρ. 然后我们可以提取一个子序列of Eqn，它是s直到表示为YEqn，这样heQn，eTi收敛。注意，Dλ是σ（ba，L∞)-紧凑，因此序列（eQn）n∈NHA是一个群集点∈ Dλ。从命题2.15（4）中，我们得到了Dbqrydp=f=limn→∞德克伦德普。与[13，引理3.2]类似，我们得到了nV的一致可积性-ydeQrndP在…上∈ByFatou引理，我们已经知道了→∞E“VydeQrndP#≥ E“VydbQrydP！#。由于hbQy，eTi是（heQn，eTi）n的一个聚集点∈N、 收敛，我们有HBQy，eTi=limn→∞嘿，艾蒂。交易成本和有界随机变量下的效用最大化，J（y，bQy）=E“VydbQrydP！#+yhbQy，eTi≤ 林恩芬→∞（E“VydeQrndP！#+yheQn，eTi）≤ 画→∞E五、ydQrndP+ yhQn，eTi= v（y），它给出了qy的最优性∈ Dλ。引理3.5。对偶问题的解可能不是唯一的，但它的可数可加部分是唯一的。证据假设Qand Qare是两个极小值，使得Qr6=Qr。设Q:=Q+Q∈Dλ。

通过V，E的严格凸性五、ydQrdP<E五、ydQrdP+E五、ydQrdP,因此，J（y，Q）<J（y，Q）+J（y，Q）=J（y，bQy），这与bQy的最优性相矛盾。引理3.6。对偶值函数v（·）是严格凸的。证据它直接源自函数V的严格凸性。提案3.7。对于所有y>0的情况，dbQrydPI（y）- ε） dbQrydP对于su fficientlySallε>0，是一致可积的。为了证明这个命题，我们回顾了[13]中的一个结果。引理3.8。在假设2.8下，存在y>0和0<γ<1，使得yi（y）<γ1- γV（y）和V（βy）<β-γ1-γV（y）对于所有0<y<yand和0<β<1.10的情况，LINGQI GU、YIQING LIN和JUNJIAN Yangjian证明了命题3.7。通过引理3.8，我们可以找到y>0，这样，对于所有0<y<y且ε>0,0≤dbQrydPI（y- ε） dbQrydP！YDBCRYDP<y=Y- εy- εyydbQrydPIy- εyydbQrydP！YDBCRYDP<y≤Y- εγ1 - γVy- εyydbQrydP！YDBCRYDP<y≤γC（y）- ε)(1 - γ)VydbCrydp！,C在哪里=Y-εy-γ1-γ. 因为I是递减的且为正，所以0≤dbQrydPI（y- ε） dbQrydP！YDBCRYDP≥Y≤dbQrydPIY- εyy.因此，0≤dbQrydPI（y- ε） dbQrydP！≤ KVydbCrydp！+dbQrydPIY,对于某些常数K>0。由于右手边是L中的一个元素，我们得到了Bkrydpi的均匀可积性（y）- ε） dbQrydP对于足够小的ε>0。引理3.9。双值函数在（0，∞),v′（y）=-*Bkry，IydbQrydP！++hbQy，eTi。证据设y>0是任意的。

定义（z）：=E“vzdbcrydp！#+zdbky，等等。很容易看出f（z）是凸的，f（·）≥ v（·）和f（y）=v（y），这意味着△-f（y）≤ △-v（y）≤ △+v（y）≤ △+f（y），在哪里△？分别描述左导数和右导数。交易费用和有界随机条件下的效用最大化通过V（·）的凸性和Fatou引理，得出如下结论：△+f（y）≤ lim supε→0εE“V（y+ε）dbQrydP！- VydbCrydp#+DbQy，eTE≤ lim supε→0E“dbQrydPV′（y+ε）dbQrydP！#+DbQy，等≤ E“dbQrydPV\'ydbcrydp！#+DbQy，eTE=-*Bkry，IydbQrydP++DbQy，等等。另一方面，根据命题3.7，我们可以再次应用Fatou引理，结果如下△-f（y）≥ lim-infε→0E“-dbQrydPI（y- ε） dbQrydP#+DbQy，eTE≥ -*Bkry，IydbQrydP++DbQy，等等。因此△-f（y）=△-v（y）=v′（y）=△+v（y）=△+f（y）。通过严格凸性，v（·）是连续可微的。引理3.10。特别是，v′（0+）=-∞, v′(∞) ∈“infQ∈DλhQ，eTi，supQ∈DλhQ，eTi#。证据从（3.4）中，我们得到了v（0+）≥ V（0+）。另一方面，通过v（·）的定义和v（·）的减少，我们得到了，对于任何Q∈ Dλ，v（y）≤ E五、ydQrdP+ 东森总部≤ V（0+）+yρ，表示V（0+）≤ V（0+）。因此v（0+）=v（0+）=U(∞). 我们只需要考虑你(∞) < ∞, 的确，如果你(∞) = ∞, 我们得到v（0+）=∞, 下面是tr iviallyv′（0+）=-∞.通过v和v的凸性（3.4），我们得到了v′（0+）≤v（y）- v（0+）y≤超高压ydQrdP- V（0+）i+yρy≤ -EdQrdPIydQrdP+ ρ、 对于所有y>0和Q∈ Dλ。放任→ 0，我们得到v′（0+）=-∞ 利用单调收敛定理。12谷令其、林一清和杨俊坚根据v（·）和l\'H^opital规则的定义，我们有v′(∞) = 酸橙→∞v（y）y=limy→∞infQ∈DλnEhVydQrdPi+y总部，eTioy∈“K+infQ∈DλhQ，eTi，K+supQ∈DλhQ，eTi#，式中k=limy→∞yinfQ∈DλE五、ydQrdP.自从-V（·）在增加，I（y）→ 0为y→ ∞, 对于所有的ε>0，存在ε>0，这样-V（y）≤ Cε+εy，所有y>0。

亨塞≤ -K=石灰→∞supQ∈DλEh-五、ydQrdP艾伊≤ 酸橙→∞Cε+εyy=ε。因此，K=0，权利要求如下。现在让我们考虑下一步，infy>0{v（y）+xy}：如果x<x:=-v′(∞) 对于所有的y>0，我们有v′（y）+x<0，因此infy>0{v（y）+xy}=-∞通过引理3.2我们得到了（x）≤ infy>0{v（y）+xy}=-∞.在这种情况下，优化问题很简单。对于每个x>x，都存在一个唯一的by>0，使得v′（by）+x=0，并且by在{v（y）+xy}的最大值内。在证明了对偶问题优化器的存在性之后，我们回到原始问题。为了简单起见，表示bq:=bQby。让我们考虑一下bg:=IbydbQrdP！- 十、- 由于I（·）是正的，我们得到x+bg+eT>0p-a.s。它来自引理3.9（3.6）-x=v′（by）=-*bQr，IbydbQrdP++DbQ，eTE=-DbQr，x+bg+eTE+DbQ，eTE=-DbQr，x+bgE+DbQs，等等。下面的引理将表明bg是Cλ中的一个元素。引理3.11。supQ∈Dλ{hQr，x+bgi- hQs，eTi}=hbQr，x+bgi- hbQs，eTi=x.交易成本和有界随机条件下的效用最大化。给出一个问题∈ Dλ是一个凸集，而ε∈ （0,1），定义ε：=（1）- ε） bQ+εQ∈ Dλ。它遵循Qrε=（1- ε） bQr+εQr。根据BQ的优序性和V（·）的凸性，我们得到了0≥εby（E“VbydbQrdP！#+byhbQ，eTi- E五、bydQrεdP- byhQε，eTi）=εbyE“VbydbQrdP！- 五、bydQrεdP#+ hbQ，eTi- eTi总部≥εbyE“bydbQrdP-dQrεdP！V′bydQrεdP#+ hbQ，eTi- 总部，eTi=E“dQrdP-dbQrdP！我bydQrεdP#+ hbQ，eTi- 总部，eTi。我们现在宣称dQrdP-dbQrdP我bydQrεdP-是一致可积的。实际上，dQrdP-dbQrdP！我bydQrεdP!-≤dbQrdPIbydQrεdP≤dbQrdPI到（1）- ε） dQrεdP,其中，对于足够小的ε，最后一项通过引理3.7一致可积。

因此我们可以应用Fatou引理，得到0≥ lim-infε→0E“dQrdP-dbQrdP！我bydQrεdP#+ hbQ，eTi- eTi总部≥ E“dQrdP-dbQrdP！IbydbQrdP！#+hbQ，eTi- 总部，eTi=hQr，x+bXi- hbQr、x+bXi+hbQs、eTi- 总部，eTi，这意味着我们的主张。引理3.12。bg∈ Cλ。证据首先，我们展示了bg∧ N∈ 所有n的Cλ∈ N.由于bg从下方一致有界，bg∧ N∈ L∞. 任何问题∈ Dλ，r，我们有Qr=Q，它来自引理3.11，Qs=0，即hq，x+bg∧ 镍≤ 总部，x+bgi≤ x+hQs，eTi=x。因此hQs，bg∧ 镍≤ 十、- hQ，xi=0，对于所有Q∈ Dλ，rand n∈ N.引理2.14，背景∧N∈ Cλ。正如[17，定理3.4]所述，Cλ与测度收敛性有关，且bg∧ N→ bg几乎可以肯定，我们有bg∈ Cλ。14顾令其，林一清，杨俊建主要定理的证明。自从bg∈ Cλ从下面有界，我们有hbQ，bgi≤ 通过（3.6）和x+bg+eT的阳性率，我们得到HBQ，eTi+x=hbQr，x+bg+eTi≤ hbQ，x+bg+eTi≤ hbQ，eTi+hbQ，xi≤ hbQ，eTi+x，这意味着HBQS，x+bg+eTi=0，hbQ，bgi=0，hbQ，xi=x。加上x+bg+eT=IbydbQrdP！我们得到等式而不是（3.3）中的不等式，即e[U（x+bg+eT）]=e“VbydbQrdP！#+byhbQ，eTi+xby。因此对于x>x，我们有U（x）≥ E[U（x+bg+eT）]=E“VbydbQrdP！#+byhbQ，eTi+xby≥ v（by）+xby=u（x），这表明了bg的最优性∈ Cλ和（3.2）。由于u是可微分的，（3.1）遵循凸双性理论。通过x+bg+eT的正性，我们得到U（x）=E[U（x+bg+eT）]>-∞,对于所有的x>x，这意味着g的存在∈ Cλ使得x+g+eT几乎肯定大于0，因此hQ，x+g+eTi≥ 0，因此≥ xi总部≥ 总部，xi+总部，gi≥ 总部，-eTi，为了所有的Q∈ Dλ，紧跟在th atx之后≥ supQ∈DλhQ，-埃蒂。通过引理3.10，我们得到了thatx=supQ∈DλhQ，-eTi完成了公关工作。参考文献[1]G.Benedetti和L.Campi。

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