市场冲击博弈中纳什均衡的高频极限

类似地，我们得到了Y的最优性*在适应性策略的X（y，[0，T]）类中。这就完成了证明。现在，我们推导出了类X（X[0，T]）和给定Y中E[C（X（X | Y）]最优性的一阶条件∈ X（y[0，T]）。第一个结果是以下命题，对于价格影响指数衰减的特殊情况，它扩展了[18，定理2.11]，其中，对于Y=0和θ=0，X的最优性∈ Xdet（x，[0，T]）用Fredholm积分方程表示。提案4.10。让x，y∈ R和Y∈ 给定Xdet（y，T）。然后是战略X*∈ Xdet（x[0，T]）使清算成本C（x | Y）在x上最小化∈ Xdet（x[0，T]），当且仅当存在常数η∈ 尽管如此∈ [0，T]，Z[0，T]e-ρ| t-s | dX*s+Z[0，t）e-ρ（t）-s） 戴斯+Yt+2θ十、*t=η。（9） 证据。假设X*最小化清算成本C（X | Y）超过X∈ Xdet（x[0，T]）。我们的目标是∈ [0，T]和定义Z∈ Xdet（0，[0，T]）乘以Zs={s≥t}-{s≥t} 。初始值为Z0的可容许策略Z-= 0通常被称为“往返”。X的最优性*意味着函数f（α）：=C（X*+ αZ | Y）=C（X*, 十、*) + C（X）*, Y）+C（X*, Y）+αC（Z，Z）+θC（X）*, 十、*)+ αC（Z，X）*) + αC（Z，Y）+αC（Z，Y）+2αθC（Z，X）*) + αθC（Z，Z）（10）在α=0时有一个最小值。这里我们使用了分解（6）。因此，0=df（α）dαα=0=C（Z，X*) + C（Z，Y）+C（Z，Y）+2θC（Z，X）*)=Z[0，T]e-ρ| t-s | dX*s-Z[0，T]e-ρ| t-s | dX*s+Z[0，t）e-ρ（t）-s） 戴斯-Z[0，t）e-ρ（t）-s） 戴斯+Yt-Yt+2θ十、*T- 2θ十、*t、 因此，如果我们让η：=Z[0，t]e-ρ| t-s | dX*s+Z[0，t）e-ρ（t）-s） 戴斯+Yt+2θ十、*t、 相反，我们现在假设X*∈ Xdet（x[0，T]）满足（9），并证明x*这是最优的。为此，我们采取任意的“往返”Z∈ Xdet（0[0，T]）。

用（10）表示α=1和c（Z，Z）的事实≥ 0和C（Z，Z）≥ 0乘（7），我们有c（X）*+ Z | Y）≥ C（X）*|Y）+C（Z，X）*) + C（Z，Y）+C（Z，Y）+2θC（Z，X）*)= C（X）*|Y）+Z[0，T]Z[0，T]e-ρ| t-s | dXt+Z[0，s）e-ρ| t-s|dYt+Ys+2θ十、*sdZs=C（X）*|Y）+η（ZT）- Z） =C（X）*|Y）。因为每个战略都是X∈ Xdet（x[0，T]）可以写成x*+ Z代表“往返”Z∈ Xdet（0[0，T]），我们得到了X的最优性*.以下命题将最优性的一阶条件的必要性扩展到不一定是确定性的策略的情况。提案4.11。让我来∈ 给出X（y，[0，T]）。如果存在最优策略X*最小化X（X，[0，T]）中的预期清算成本E[C（X | Y）]，然后对于任何[0，T]值的停止时间τ，存在Fτ-可测量的随机变量η，使得对于每个停止时间σ取[τ，T]中的值Z[0，T]e-ρ|σ-t | dX*t+Z[0，σ）e-ρ(σ-t） 戴特+Yσ+2θ十、*σFτ= ηP-a.s.（11）事实上，我们可以取η：=EZ[0，T]e-ρ|τ-t | dX*t+Z[0，τ）e-ρ(τ-t） 戴特+Yτ+2θ十、*τFτ证据对于τ和σ，如断言和∈ Fτ，我们定义了“往返”Z∈ X（0，[0，T]）byZt=A{t≥τ}-{t≥σ}.扩大预期成本E[C（X*+ αZ | Y）]如（10）中所述，在α=0时对α求导数，得到以下最优性的必要一阶条件，0=C（Z，X）*) + C（Z，Y）+C（Z，Y）+2θC（Z，X）*). （12） 通过利用Z的特殊形式，（12）变成0=EA.Z[0，T]E-ρ|τ-t|- E-ρ|σ-t|dX*t+Z[0，τ）e-ρ|τ-t | dYt-Z[0，σ）e-ρ|σ-t | dYt+(Yτ- Yσ）+2θ十、*τ- 十、*σ.这意味着∈ Fτ，EA.Z[0，T]e-ρ|σ-t | dX*t+Z[0，σ）e-ρ(σ-t） 戴特+Yσ+2θ十、*σ= EA.Z[0，T]e-ρ|τ-t | dX*t+Z[0，τ）e-ρ(τ-t） 戴特+Yτ+2θ十、*τ.请注意，右侧与σ无关。因此，采取有条件的预期会产生结果。5在这一节中，我们的目的是计算向量ν和ω。

我们相应的结果将是本节末尾的定理5.4。我们需要它来证明我们的渐近结果。如[28]中所述，定义α：=e将很方便-ρT/Nandκ：=2θ+。注意我们有κ≥ 当且仅当θ=0且临界值θ*对应于κ=1。为了计算ν，我们定义了矩阵xb:=（1-α)Id+Γ-1（Γ+2θId）.为了获得B的更明确表示，首先回顾一下Kac–Murdock–Szeg"o矩阵Γ的逆矩阵具有简单的三对角结构，由Γ给出-1=1 - α1.-α 0 ··· ··· 0-α 1 + α-α 0 ··· 0..........................................-α 1 + α-α0 ··· ··· 0 -α 1; （13） 例如，参见[20，第7.2节，问题12-13]。因此，B=（1）- α） 身份证+1.-α 0 ··· ··· 0-α 1 + α-α 0 ··· 0..........................................-α 1 + α-α0 ··· ··· 0 -α 1κ 0 ··· ··· ··· 0α κ 0 ··· ··· 0αα.................. 0...αN-1αN-2.κ0αNαN-1··· ··· α κ=1.- 2α+ κ -ακ 0 ··· ··· 0-α(κ - 1) 1 + α(κ - 2) + κ -ακ 0 ··· 0.......................................0-α(κ - 1) 1 + α(κ - 2) + κ -ακ0 ··· ··· 0 -α(κ - 1) 1 - α+ κ.引理5.1。为了k≤ N、 kthleading principal minorδkof B由δk=c+mk++c给出-mk-,其中，对于实数r:=qα（κ- 2)- 2α2 + (κ - 1) κ+ （κ+1），实数c±和m±由c±=±1.- α(κ + 2) + κ+ R2Rand m±=1+α（κ- 2） +κ±R.证明。我们有δ=1- 2α+ κ, (14)δ= -2α(κ - 2) - 2α(κ + 2) + (κ + 1). （15） 为了k∈ {3，…，N}，kthprincipal minorδk由递归δk给出=1 + α(κ - 2) + κδk-1.- ακ (κ - 1） δk-2.该递归是一个二阶齐次线性微分方程。它的特征方程是ism-1 + α(κ - 2) + κm+ακ（κ- 1) = 0. （16） 这个方程有两个根，m+和m-.我们首先声称m+和m-对阿尔法来说是真实的∈ [0,1]和κ≥ 1/2.

这一主张相当于我们的R公式中平方根参数的负相关性。我们主张这反过来相当于f（t）：=t（κ）- 2)- 2t2 + (κ - 1) κ+ (κ + 1)≥ 0换0≤ T≤ 1，其中我们用参数t替换了α。对于κ=2，前面的说法显然是正确的。否则，f将最小化：=2 + (κ - 1) κ/ (κ - 2). t<1当且仅当κ<2/3。在这种情况下，我们有f（t）≥ f（t）=8（1）- κ) κ/ (κ -2） 所有t均>0。κ≥ 2/3我们没有≥ 1，依次为f（t）≤ 0换0≤ T≤ 1.这给了我们f（t）≥ f（1）=1代表0≤ T≤ 1证明了根m±是真的。根据二阶齐次线性微分方程的一般理论，（16）的每个解都是c（m）+k+c（m）形式-)k、 在那里，我关心真实的常数；见[21，理论3.7]。需要两个初始条件（14）和（15）可以得到c=c+和c=c-.引理5.2。通过φN+2=1、φN+1=1粗略定义φN- α+κ，对于k=N，N- 1.2×φk=1 + α(κ - 2) + κφk+1- ακ (κ - 1） φk+2。那么，对于k∈ {2，…，N+2}，φk=d+mN+2-k++d-锰+2-K-,式中，m±与引理5.1和d±：=±1 +1.- ακ+ R2R。证据设ψ=1，ψ=1- α+κ，（17）和l∈ {2，…，N}，设ψl=1 + α(κ - 2) + κψl-1.- ακ (κ - 1） ψl-2.（18）则ψk=φN+2-k、 在引理5.1的证明中，我们看到（18）的通解的形式是dml++dml-, 式中，m±为如上所示。选择d=d+和d=d-确保满足初始条件（17）并完成证明引理5.3。矩阵B是非奇异的，其逆式由（B）给出-1） ij=（（ακ）j-我δ我-1φj+1δ-1N+1if i≤ j、 （α（κ）- 1） ）我-jδj-1φi+1δ-1N+1if i≥ j、 （19）式中δ=1。证据[28，引理3.2]中表明，Γ和Γ+Γ+2θId都是可逆的。因此，B=（1）-α) Γ-1（Γ+ΓΓ+2θId）也是可逆的。注意，这意味着δN+16=0，因此（19）的右手侧得到了很好的定义。

根据引理5.1和5.2，现在逆的显式形式遵循Usmani的三对角雅可比矩阵逆公式[33,32]。定理5.4。ω的分量由ωi=（1）给出- α) κ + αα(κ-1)κN+1-iκκ - α (κ - 1), （20） 尽管我∈ {1，…，N+1}。特别是ωN+1=1/κ。ν的分量如下所示，ν=1- αδN+1φ+（1）- α） NXj=2（ακ）j-1φj+1+（ακ）N！，νN+1=1- αδN+1α (κ - 1)N+（1）- α） NXj=2α (κ - 1)N+1-jδj-1+δN！，对于i=2，N、 νi=1- αδN+1α (κ - 1)我-1φi+1+（1- α） 我-1Xj=2α (κ - 1)我-jδj-1φi+1+（1- α） NXj=i（ακ）j-我δ我-1φj+1+（ακ）N+1-我δ我-1.证据表达式（20）在[28，等式（16）]中得到了证明（注意，我们的向量ω在[28]中由u表示，我们的α对应于a1/Nin[28]，这里的λ=1）。为了证明ν的公式，请注意我们有（Γ+ΓΓ+2θId）-11 = (1 - α） B-1Γ-11.引理5.3的结果，以及（1）的事实- α)Γ-11 = (1, 1 -α, . . . , 1.-α、 结论我们研究了两个代理人在纳什均衡中的策略和成本的高频极限，这两个代理人在离散时间市场影响模型中竞争最小化清算成本，该模型具有指数衰减价格影响和大小θ的二次交易成本≥ 0.我们的结果允许我们对[28]中的数值观测给出严格的数学证明。特别是，我们已经证明，对于θ=0，均衡策略和成本将在两个累积点之间不确定地振荡，这两个累积点是明确计算的。当θ>0时，策略、成本和总税收都会收敛到与θ无关的极限。

我们考虑了连续时间内的纳什均衡，并证明了当θ>0时，对于临界值θ，极限策略收敛到唯一的连续时间纳什均衡*离散时间均衡成本的高频极限收敛于连续时间纳什均衡中的预期成本。对于θ6=θ*, 然而，研究表明，除非两个库存都为零，否则不存在连续时间纳什均衡。此外，我们还提供了一系列模型参数，对于这些参数，两个代理的极限预期成本都是θ的递减函数，因此增加额外的交易成本可以降低所有代理的预期成本。定理3.1和3.2以及推论3.3和3.5的证明，如第5节中介绍的α、ν或ω等量，取决于交易频率的参数N。为了证明我们的渐近结果，我们需要将N发送到单位，但为了减少公式长度，我们并不总是明确表示数量的N依赖性。例如，我们将编写↑∞α=limN↑∞E-ρT/N=0。A.1定理3.1的证明我们首先证明定理3.1的（c）和（d）部分。这些部分的证明相对容易。定理3.1（c）的证明。设θ>0，相当于κ>1/2。我们首先求（20）的和，得到所有κ≥ 1/2和n=1，N+1，nXk=1ωk=κN1.-α(1 - α)κ + α+α(1 - α)κ + αα(κ - 1)κN+1-Nα(κ-1)κN- 1α(κ-1)κ- 1.; （21）在这里，我们明确地将κ=1/2的情况包括在内，以供以后使用。通过取n=n+1，公式（21）给出ω>1=κ（N+1）1.-α(1 - α)κ + α+α(1 - α)κ + αα(κ-1)κN+1- 1α(κ-1)κ- 1..回顾α=e-ρT/N，我们有这个极限↑∞（N+1）1.-α(1 - α)κ + α= κρT.（22）对于κ>1/2，我们有|κ- 1 |/κ<1，这个↑∞ω> 1=ρT+1。

（23）现在，nt:=dNt/te，W（N）T=1-ω> ntXk=1ωk，因为对于t<t，我们有（α（κ-1） κ）N+1-新界→ 0作为N↑ ∞, 公式（21）给出了这种情况下的ntxk=1ωk-→ ρt as N↑ ∞.把所有的东西放在一起，现在就会得出结论。定理3.1（d）的证明。对于κ=1/2，公式（21）简化如下：nXk=1ωk=2N1.-2α1 + α+ (-1） N+12αN+2-N(-1） n- αn(1 + α). （24）因此，对于κ=1/2，我们得到（22）thatlimN↑∞N偶数ω>1=limN↑∞N evenN+1Xi=1ωi=e-ρT+ρT+1和limN↑∞N无ddω>1=-E-ρT+ρT+1。（25）如果取n=nt=dNt/te，很容易表示为n↑ ∞,N1.-2α1 + α-→ρtand2αN+2-N± 1 - αn(1 + α)-→ E-ρ（T）-t） （±1- E-ρt）。将其插入（24）并使用W（N）的定义，经过一次简短计算，得出定理3.1（d）的结果。现在我们准备定理3.1的（a）和（b）部分的证明。我们首先考虑κ=1的情况；定理3.1（a）的相应证明将在下列引理之后给出。引理A.1。让κ=1。ThennXi=1νi=2+α（1- α） n+α+αα- 2.2 (2 + α)α2 - αN+1+α（1+α）2+αα2 - αN+1-N（26）对于n∈ {1，…，N+1}。证据插入κ=1产生δk=21.- α2.- αK-1对于k∈ {1，…，N+1}，以及φk=2.- αN+2-kfor k∈ {2，…，N+1}。因此，ν=2+α1+2- αα2 - αN+1！和νi=2+α1- α +1.- αα2 - αN+2-我因为我∈ {2，…，N+1}。求和i=1，n产生结果。κ=1的定理3.1（a）的证明。还记得α=e吗-ρT/N.因此-α） 新界→ ρt和2.- α新界→所有t的e2ρt∈ （0，T）.在（26）yieldsntXi=1νi中取极限-→E-3ρT4e3ρt- 1.+ 6（ρt+1）。（27）将其插入到V（N）类型的定义中，即可得出结果。现在我们准备在κ6=1的情况下证明定理3.1的（a）和（b）部分。在本文的其余部分中，我们定义了x的简写符号∈ R和m∈ N、 [x]m:=1- αδN+1xm。当计算[x]N.引理A.2等表达式的极限时，这种表示法将很方便。