股票市场指数的有效市场假说

然而，价格对数的经验分布并不支持正态性假设。对于经验分布，观察到的队列通常大于正态分布预测的队列。也就是说，峰度显著高于3，并且还观察到了偏差的存在。有人认为，这种行为可以用更一般的分布族来解释。具体而言，建议金融资产价格对数的变化可用帕累托稳定分布表示[Mandelbrot[1997]]。这种类型的分布包括作为特例的正态分布，并允许同时考虑瘦肉型荨麻疹和经验分布中观察到的偏差。不同的实证调查得出结论，帕累托稳定分布比正态分布[Fama[1965]，[Kanellopoulou and Panas[2008]更能描述每日收益。帕累托稳定分布族有四个参数：决定分布形状的α参数、与偏差相关的β参数、与标度相关的γ参数和与位置相关的δ参数。当α=2和β=0时，分布为正态。马尔代布罗特假说（1963年）指出，金融资产的经验收益率可以用帕累托稳定分布来描述，α参数取1到2之间的值。帕累托稳定分布有两个重要性质：a）它们在加法下具有稳定性或不变性；andb）这些分布是独立和同分布随机变量之和的唯一渐近分布[Fama[1965]]。然而，如果复合收益按帕累托稳定分布进行分配，则会出现一个主要问题。

在这种情况下，通常情况下，估计参数α小于2，且分布具有有限方差。因此，许多常用的假设有限方差的统计工具不会提供任何结论。尽管如此，大多数研究人员都认为，持续复合回报金融资产具有短期依赖性和有限方差，这与帕累托稳定分布过程的行为相反（例如，见Atchison等人[1987]、Boudoukh等人[1994]、Lo and MacKinlay[1988]和White and Domowitz[1984]）。通常假设资产收益率可以表示为正态分布的重叠混合。在这种情况下，退货可能具有正常的条件分配；一些人集中在方差较低的平均值周围，而另一些人的方差较大，这会增加分销队列的权重。这些混合分布可以解释观察到的经验无条件分布，这些分布显示出比正态分布预测的更大的队列。考虑到这些分布的每一时刻都是有限的，中心极限定理适用，并且长期分布将是正态的[Campbell等人[1997]]。最后一个参数在对每个模型的参数进行推断时非常重要，因为它允许确定每个参数的渐近概率分布。2.3关于非同步交易，一个经验事实是，小公司股票的权重比大公司股票的权重更大的投资组合更有力地拒绝了零假设（例如，Atchison等人[1987]、Perry[1985]和Cohen等人[1983]）。小型企业的特点是，它们的交易不同步，因此CRSP价值加权和CRSP相等加权的不同行为可能基于这一事实。

这使得研究人员考虑了非同步交易对方差比检验结果的影响。非同步交易是与两个或多个时间序列相关的影响。因此，不同资产的交易或价格变动似乎以不同的时间间隔进行更新。考虑以固定时间间隔记录的资产时间序列。通常情况下，价格时间序列会在每个时间间隔更新，这是后续交易过程的结果。但通常对于小公司来说，这一过程不一定每次都要完成。通过这种方式，交易过程不会频繁更新数据。最后一种情况被称为非交易效应。例如，在每日价格系列中，通常注册日价格是收盘价。这个收盘价通常是当天最后一笔交易的价格。此外，如果当天没有资产交易，最终价格是前一天的收盘价。单个资产的非交易价格以及某些资产不同步地记录其价格变化的事实可能会修改统计参数的估计。例如，在其他变量中，单个资产之间的自相关或交叉自相关会被修改。非同步交易可能会导致股票回报率出现显著的虚假相关性，并对资产回报率的可预测性产生错误印象。它还影响方差比检验的结果（例如，见Mech[1993]、Perry[1985]、Campbell等人[1997]和Lo and MacKinlay[1988]）。已经提出了仅基于非同步交易效应估计自相关性的理论模型。这些发现表明，理论影响显著低于经验观察到的影响。

这样一来，单凭这一效应并不能解释随机游走无效假设被拒绝的原因。（例如，参见Atchison等人[1987]、Conrad和Kaul[1988]、Lo和MacKinlay[1990]和Mech[1993]）。这些模型假设单个资产具有同质特征，即与不同资产相关的非交易概率相同。然而，在其他研究中，异质的个人资产特征被考虑在内。例如，Boudoukh等人[1994]使用Scholes和Williams[1977]的模型来估计非同步交易引起的理论自相关性。在这里，投资组合中的每种资产的非交易概率是不同的。他们估计，等重投资组合的非同步交易产生的自相关性可能达到17.82%。这些模型也被用来评估非同步交易对统计推断过程的影响。具体而言，Lo and MacKinlay[1988]和Lo and MacKinlay[1990]的重点是确定非同步交易是否会导致随机游走无效假设的消除。这些作者得出结论，这种影响是导致无效假设拒绝的原因。值得注意的是，这些作者认为：o参数的渐近估计o有限的投资组合资产规模o一个特定的价格模型是有效的，以及o一般来说，单个同质资产的特征。上述所有研究都考虑了渐进行为，并假设投资组合是有效的。因此，只有系统性风险。然而，在实践中，统计推断应该使用有限的样本。在这种情况下，在假设所使用的定价模型是正确的情况下，对参数值及其相关误差进行了估计。

这简化了分析，但使推断结果取决于价格模型的准确性。2.4投资组合效应指数的性质取决于多变量过程，然后是构成指数的金融资产，以及分配给每项资产的单独权重。考虑一种典型情况，其中假设资产收益遵循多变量正态过程N（u，V），其中u是资产预期收益的向量，V是资产收益之间的协方差矩阵。因此，为了研究资产组合的行为，我们必须估计平均收益的n值，然后（n-1） 协方差矩阵V的值。当存在非同步交易时，参数估计中的潜在偏差被添加到估计问题中。风险估计和非同步交易可能会对资产配置模型的性能产生重大影响。此外，当存在非同步交易时，集合之间的交叉自相关是可检测的，即使资产之间的相关性只是当代的[Fisher[1966]）。当观察间隔缩短时，这种影响会加剧。另一方面，据报道，当观察期缩短，接近于零时，资产之间的相关性往往为零[Epps[1979]]。不同的研究探索了非同步交易可能对投资组合自相关的影响。Scholes和Williams[1977]、Dimson[1979]和Cohen等人[1983]表明，非同步交易效应导致金融资产中的Thebeta被低估。他们还提出了减轻这种影响的方法。后来，艾奇森等人。

[1987]和Lo and MacKinlay[1990]估计了通过非同步交易在投资组合中引入的理论相关性，并得出结论，其显著低于经验观察到的相关性。特别是，Atchinson等人（1987年）估计理论上的非交易诱导自相关为：a）纽约证券交易所等权指数为4%，b）纽约证券交易所价值加权指数为2%。观察到的经验相关值为纽约证券交易所等权指数的28%，纽约证券交易所价值加权指数的16%。Loand MacKinlay[1990]也报告了类似的结果。对于投资组合自相关性的估计，在上述模型中，假设投资组合包含在固定资产中，并且完全分散。最近，Chelley Steeley和Steeley[2014]研究了考虑到固定规模投资组合的非交易对自相关性的影响。他们得出结论，非交易导致的自相关性受到非系统性风险的影响。3模型：比率方差检验的规范在接下来的章节中，我们回顾了Lo和MacKinlay[1988]开发的比率方差检验。设Pt为金融资产的价格，Xt=ln（Pt）为时间t的对数后的过程。Xt遵循随机游走的无效假设可以通过以下递归关系表示：Xt=u+Xt-1+εt（3），其中u是任意趋势的参数，ε是随机扰动。假设对于t的每个值，误差预期值为零[E（εt）=0]。随机游动的一个重要性质是其方差随观测时间长度线性增长。也就是说，两个时期收益的方差等于一个时期的方差。这一特征对于证明随机行走假说至关重要。

假设时间间隔是等间隔的，并且在每个间隔中有（2n+1）个观测值[X，X，，，X2n]。因此，平均u和方差σ可以通过以下关系进行估计：^u=2nxk=1（Xk- Xk-1） =2n（X2n）- 十） （4）σa=2nxk=1（Xk- Xk-1.- ^u）（5）^σb=2nxk=1（X2k- X2k-1.- 2^u）（6）其中u和σa对应于u和σ的最大似然估计量，σb对应于仅使用（n+1）观测X，X，X。，X2nand，正式对应于两个期间方差的 1/2 。然而，对方差使用这些估计有两个缺点。第一个是这些都是有偏估计，第二个是当使用更高的观测周期时，样本数据长度会减少。为了改善这些方面，Lo和MacKinlay（1988年，第46页）建议使用以下方差估计值：“∑a=nq”- 1nqXk=1（Xk- Xk-1.- ^u）（7）σc=mnqXk=1（Xk- Xk-Q- q^u）（8）m=q（nq）- q+1）（1）-qnq）（9）式中，\'σa是一个周期方差的无偏估计量，\'σc是一个q周期方差的无偏估计量，m是方差估计中使用的观测数减去1。这将方差估计量转化为无偏估计量，并减少了使用重叠数据时估计量的不精确性[Lo and MacKinlay[1988]]。通过使用这些最后的表达式，比率方差检验（考虑到qperiods的方差和q乘以一个周期的方差）可以计算为：Mr（q）=‘σc’σa- 1（10）其中统计量Mr（q）必须为零以满足随机游动零假设。此外，Mr（q）可以表示为：“Mr（q）~=2（q）- 2） q^ρ（1）+2（q- 2） q^ρ（2）+。。

+q^ρ（q- 1） （11）其中ρ（i）是时间序列i阶的线性自相关，定义为：ρ（i）=nqPnqk=i+1（Xk）- Xk-1.- ^u）（Xk-我- Xk-我-1.- ^u）Pnqk=1（Xk- Xk-1.- ^u）（12）鉴于人们越来越一致认为金融系列的波动性会随时间而变化，因此在Mr（q）统计推断过程中考虑这一事实很重要。为了纳入这些波动性影响，Lo和MacKinlay（1988年，第48页）使用了White[1980]和White and Domowitz[1984]开发的方法。这是一种更普遍的方法，不要求回报率为正态，并允许时间非线性自相关。假设随着时间间隔的增加，时间非线性自相关函数趋于零。因此，Lo和MacKinlay[1988]假设，关于其平均值的收益偏差遵循一个具有短期时间依赖性的过程，如White[1980]和White and Domowitz[1984]所用。明确地说，假设：a）对于每个t，E（εt）=0和E（εtεt-τ） 对于τ6=0b）的某个值，εtis aφ与φ（m）的混合系数为2r-1或是α与系数RR的混合-r>1时，每τ≥= 有一些δ>0，用于|εtεt-τ| 2（r+δ）< < ∞c） limnq→∞nqPnqt=1E（εt）=σ<∞d） 对于每个te（εtεt-j、 εtεt-k） =0对于任何j 6=k，在这些假设下，我们可以计算统计的“Mr（q）”，它考虑了渐近行为，并取消了短期依赖关系：“\'Mr（q）=q-1Xj=12（q- 1） q^ρ（j）（13）由于在零假设下，Mr（q）接近零，我们只需要计算该统计量的渐近方差值。考虑到这组假设假设^ρ（j）自相关是渐近不相关的，因此可以计算每个自相关^ρ（j）的渐近方差，从而计算统计“Mr（q）”的方差。

这是因为根据表达式（10）和（11），统计“Mr（q）”可以被视为第一个（q）自相关的加权平均值- 1） 滞后。因此，可以将每个自相关函数的渐近方差^ρ（j）计算为：δ（j）=nqPnqk=j+1（Xk）- Xk-1.- ^u）（Xk-J- Xk-1.-J- ^u）[Pnqk=j+1（Xk- Xk-1.- ^u）]（14）然后统计^Mr（q）的渐近方差^θ（q）计算为：^θ（q）=q-1Xj=1[2（q- 1） q]^δ（j）（15）考虑到渐近理论，统计z可以计算为：*（q）=√nq（\'Mr（q））q^θ（q）（16）并具有正态分布。现在这个统计数字是z*（q） 可以用来检验假设。具体而言，如果统计“Mr（q）”的值超出[-1.96q^θ（q），1.96q^θ（q）]然后以95%的置信度拒绝随机游走假设。在使用随机游走测试之前，将对时间序列进行描述性统计分析。4方差比测试结果的演变4。1数据特征分析使用1950年1月7日至2013年3月28日的每周数据系列进行，包括oCRSP SP500加权市值CRSP NYSE/AMEX/NASDAQ/ARCA按市值加权；和oCRSP NYSE/AMEX/NASDAQ/ARCA同等权重。这些指数显示了纽约交易所相当一部分股票的加权平均数的演变。指数之间的差异取决于两个因素：1。指数中每只股票的相对权重；和2。