期货衍生品的多尺度随机波动模型

此外，此处的LMMR变量必须根据未来价格进行定义，再次提供一个理由，即正确考虑的变量是未来价格而不是现货价格。4.2校准程序假设当前t=0，存在一组有限的黑色隐含资产{I（T0ij，Kijl，Ti）}，我们通过以下方式理解：对于每个I（即对于每个未来价格F0，Ti），都有到期日为T0ij的认购期权价格，对于每个到期日，都有Kijl。由于数据在K方向上更丰富，我们将首先对固定i和j的隐含波动率与变量LMMRijl，LMMRijl=log（Kijl/F0，Ti）T0ij进行线性回归。更准确地说，我们将使用最小二乘准则进行回归，即（^aij，^bij）=argmin（aij，bij）Xl（i（T0ij，Kijl，Ti）- （aijlmrijl+bij））。现在，使用方程（4.1），我们首先将估计值^a与ε和δ进行回归：（^a，^a，^κ）=argmin（a，a，κ）Xi，j^aij-aaε（T0ij，Ti，κ）+aaδ（T0ij，Ti，κ）（4.4）然后知道（^a，^a，^κ）我们将^b回归到b，bε和bδ：^b=argminbXi，j^bij-b\'b（T0ij，Ti，^κ）+b^abε（T0ij，Ti，^κ）+^abδ（T0ij，Ti，^κ）.因此，我们发现市场组参数的以下估计值：d’η（z）=^b，Vε（z）=^a^b，Vδ（z）=^a^b，且^κ由等式（4.2）给出。为了实现上述最小化，初始猜测至关重要。因为我们期待订单条款√ε为besmall，我们将a和ato的初始猜测设置为0。

另一方面，我们可以根据历史数据ofFt，T.4.3校准示例，通过估算κ和η（z），对κ和BB进行初步猜测。在本节中，我们将举例说明第4.2节中描述的校准程序。本节的目的仅为说明校准程序。需要注意的是，校准程序只需要简单的回归。这是对Hikspoors和Jaimungal[2008]中推导的公式的巨大改进，这些公式依赖于计算要求更高的一阶近似值。考虑的数据是2013年10月16日原油期货合约的看涨期权和看跌期权的隐含波动率。这一天，有533种隐含挥发性物质可用。该数据组织如下：对于每个未来合同（即每个成熟度Ti），都有一个选项到期日t0ij和41 Kijl。根据合同规定，期权到期日大约为其基础未来合同（即Ti）到期前一个月≈ T0ij+30）。未来价格如图1所示，由于没有明确的季节性成分，我们设置了s≡ 0英寸（2）。我们对所有可用数据的模型校准如图3和表2所示。由于隐含波动率曲线对短期到期（30天和60天）表现出明显的微笑，我们还将我们的模型校准为到期时间大于90天的隐含波动率。如图2和表1所示。这也与我们的模型一致，因为模型需要足够的时间来成熟，所以快速均值回复过程Yε有足够的时间围绕其遍历平均值振荡。此外，如果想要捕捉隐含波动率微笑的凸性，就必须使用二阶近似，就像Fouque等人[2012]对股票市场所做的那样。

在这个数值例子中，对κ和b进行了一些合理的初始猜测，所有这些都导致了相同的校准参数。因此，没有必要对Ft、TWA的κ和业务历史数据进行估计。我们在图2和图3中显示了不同期限的隐含波动率，其中实线是模型隐含波动率，圆圈是市场观察到的隐含波动率。最短期限隐含波动率曲线位于最左一条线上，期限顺时针增加。表1和表2中给出了校准的组参数。值得注意的是，Vε（z）和Vδ（z）确实很小，因此这些参数与我们的模型是相容的。参数值^κ0.1385dη（z）0.21967\\Vε（z）-0.00017637\\Vδ（z）-0.012656表1：使用期限大于90天的选项校准参数。参数值^κ0.30853d′η（z）0.23773\\Vε（z）-0.00011823\\Vδ（z）-0.007633表2：使用所有可用数据校准的参数图1：2013年10月16日的未来价格。图2：到期日超过90天的原油期货期权的市场（圆圈）和校准（实线）隐含波动率。图3：使用所有可用数据，原油期货期权的市场（圆圈）和校准（实线）隐含波动率。5与之前工作的比较Hikspoors和Jaimungal[2008]以及Chiu等人[2011]的论文在均值回复资产价格的背景下考虑了多尺度随机波动率模型。两者都证明了期权在现货价格上的一阶近似值。然而，只有Hikspoors和Jaimungal[2008]处理期货期权。因此，我们将把本节的重点放在这项工作上。在Hikspoors和Jaimungal[2008]中，作者应用了Cotton等人首次开发的方法。

[2004]估计商品期货期权的价格。该方法包括将Payoff函数写成一阶泰勒多项式，围绕未来价格展开的零阶项（3.1），然后应用Fouque等人引入的奇异摄动参数，最终得出近似值。他们方法的另一个根本不同于我们的方面是，他们认为感兴趣的变量是商品的现货价格，在这里用Vt表示，而我们考虑V的未来价格，在这里用Ft表示，T。正如我们将在下面看到的，这是无法使用一阶近似设计简单校准程序的原因之一。作者提出了两类模型：单因素模型和双因素模型。这两个模型有一个共同点：商品呈现快速均值回归随机波动。因此，我们的模型（2）是他们的单因素模型的扩展，其中我们将慢时间尺度添加到随机波动动力学中。然而，与Hikspoors和Jaimungal[2008]相比，我们工作的主要贡献是：（a）我们不依赖支付函数的泰勒展开来推导期权价格的初始近似值，因此不需要额外的平滑性假设。第3.4节中的反转参数允许我们克服Payoff函数的平滑度限制；（b） 我们的一阶修正（例如，见总结3.6）是对他们的一个重大改进，因为它只涉及零阶项的希腊人。他们的一阶修正提出了一个涉及预期的复杂术语：等式[h（T，UT）~n（h（T，UT））|UT=u]，其中我们使用前面章节中建立的符号，u是等式（2）的过程u，η（y，z）=ηη（z）；（c） 我们提出了一个简单的市场组参数校准程序。

我们一阶校正的简单表达是这种校准程序可行的原因之一。然而，我们的方法的本质是考虑未来价格Ft，Tas变量，而不是即期价格Vt。因此，由于未来价格是一个鞅（与V相反），因此，对于0阶项的希腊人，可以使用更好的公式。方程式（4.1）基本上是正确的。6结论和未来方向我们提出了一种推导复合衍生工具一阶近似值的通用方法，并在期货合约衍生工具的情况下对其进行了全面的开发。虽然该方法似乎涉及，但除了微扰理论固有的假设外，它不需要任何关于支付函数规律性的附加假设。此外，我们还提出了一个与该方法相关的校准程序，并由此导出了市场组参数的公式。利用原油期货期权隐含波动率的数据，给出了标定过程的实际数值例子。进一步研究的一个方向是将本研究中提出的模型和渐近展开式与著名的Schwartz-Smith and Smith[2000]和Gibson-Schwartz-Gibson and Schwartz[1990]商品价格模型联系起来。

特别是，一个重要的问题是风险溢价的计算，如Gibson和Schwartz[1990]所述。对于k=1,2,3，ψε，δk（t，x，y，z，t）=Xi，j，一个偏微分方程展开式≥0(√ε） 我(√δ） jψk，i，j（t，x，y，z，t）。在下文中，我们将仅计算上述展开式的项，这些项是计算Ft上导数的一阶近似所必需的，T.A.1通过链式规则ψε，δ（T，x，y，z，T）展开ψε，δ=Hxε，δ（t，x，y，z，t），然后我们可以很容易地看到ψ1，0，0（t，x，y，z，t）=Hx（t，x，z，t）=Hu（t，H（t，x，z，t），z，t）。自从Hu（t，u，z，t）=e-κ（T-t） h（t，u，z，t），我们对ψ1,0,0有以下公式：ψ1,0,0（t，x，t）=e-κ（T-t） h（t，h（t，x，z，t），z，t）=e-κ（T-t） 此外，通过引理3.1，H1,0（t，x，z，t）=-h1,0（t，H（t，x，z，t），z，t）Hu（t，H（t，x，z，t），z，t）=-g（t，t）V（z）e-3κ（T-t） xe-κ（T-t） x=-g（t，t）V（z）e-2κ（T-t） ，与x无关，因此ψ1,1,0（t，x，z，t）=-Hx（t，x，z，t）H1,0x（t，x，z，t）=0。我们还有ψ1,0,1（t，x，z，t）=0。A.2扩展ψε，δ回想一下，hε，δ的扩展的前四项不依赖于y。因此，ψ2,0,0=ψ2,0,1=ψ2,1,0=ψ2,1,1=0。此外，根据链式法则，我们得到ψε，δ（t，x，y，z，t）=-ψε，δ（t，x，y，z，t）Hyε，δ（t，x，y，z，t）。由此，我们得到ψ2,2,0（t，x，y，z，t）=-ψ1,0,0（t，x，t）H2,0y（t，x，y，z，t）=-E-κ（T-t） xH2,0y（t，x，y，z，t）。为了计算H2，0，我们需要进一步展开hεδ和hεδ。