重新审视系统性和多因素风险模型

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英文标题：
《Systematic and multifactor risk models revisited》
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作者：
Michel Fliess (LIX, AL.I.E.N.), C\\\'edric Join (AL.I.E.N., CRAN, INRIA
  Lille - Nord Europe)
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  Systematic and multifactor risk models are revisited via methods which were already successfully developed in signal processing and in automatic control. The results, which bypass the usual criticisms on those risk modeling, are illustrated by several successful computer experiments.
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中文摘要：
通过在信号处理和自动控制领域已经成功开发的方法，重新审视系统和多因素风险模型。这些结果绕过了通常对这些风险模型的批评，并通过几次成功的计算机实验加以说明。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Computational Engineering, Finance, and Science        计算工程、金融和科学
分类描述：Covers applications of computer science to the mathematical modeling of complex systems in the fields of science, engineering, and finance. Papers here are interdisciplinary and applications-oriented, focusing on techniques and tools that enable challenging computational simulations to be performed, for which the use of supercomputers or distributed computing platforms is often required. Includes material in ACM Subject Classes J.2, J.3, and J.4 (economics).
涵盖了计算机科学在科学、工程和金融领域复杂系统的数学建模中的应用。这里的论文是跨学科和面向应用的，集中在技术和工具，使挑战性的计算模拟能够执行，其中往往需要使用超级计算机或分布式计算平台。包括ACM学科课程J.2、J.3和J.4（经济学）中的材料。
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Logic        逻辑
分类描述：Logic, set theory, point-set topology, formal mathematics
逻辑，集合论，点集拓扑，形式数学
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Machine Learning        机器学习
分类描述：Covers machine learning papers (supervised, unsupervised, semi-supervised learning, graphical models, reinforcement learning, bandits, high dimensional inference, etc.) with a statistical or theoretical grounding
覆盖机器学习论文（监督，无监督，半监督学习，图形模型，强化学习，强盗，高维推理等）与统计或理论基础
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PDF下载：
--> Systematic_and_multifactor_risk_models_revisited.pdf (1.55 MB)

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关键词：风险模型 因素风险 系统性 多因素 Applications

系统和多因素风险模型回顾了Michel Fliess，C’edric Joint摘要：通过在信号处理和自动控制领域成功开发的方法，重新审视了系统和多因素风险模型。这些结果绕过了通常对ris K模型的批评，并通过几次成功的计算机实验加以说明。米歇尔·弗利斯利（CNRS，UMR 7161），法国帕莱索91128号理工学院。电子邮件：米歇尔。Fliess@polytechnique.eduCedric JoinNon-A–INRIA&CRAN（CNRS，UMR 7039），洛林大学，BP 23954506 Vandouvre-l`es Nancy，法国。电子邮件：塞德里克。join@univ-洛林。frM。F.和C.J.AL.I.E.N.（ALg\'ebre p我们的识别和估计数字）S.A.S.，利昂诺瓦街24-30号，英国石油60120号，法国南希54003号。电子邮件：{michel.fliess，cedric.join}@ali en sas。com2 Michel Fliess，C’edric Join1 Introduction System，或market，risk是研究最多的风险模型之一，不仅在金融引擎领域，而且在实际科学、商业和企业管理以及其他几个领域也是如此。它与贝塔（β）系数有关，自夏普的capitalasset定价模型（CAPM）[30]以来，贝塔（β）系数在投资行业很常见。β的缺陷和缺点已被许多杰出的作者详细描述。此外，用时变和/或非线性回归代替定常线性回归似乎并不能改善这种情况。[11]和[14]中所倡导的无模型观点消除了一些已知的缺陷，但不幸的是，不能扩展到多因素风险模型，这在罗斯的套利定价理论（APT）[29]之后也变得流行起来。

为了涵盖单变量和多变量情况，我们在此提出了一个具有相同优势的统一定义，即明确的数学基础，它o绕过笨拙的统计和/或财务假设o导致高效的计算。我们的方法基于以下要素：o在我们之前的作品[10,11,14,15]中，我们利用了卡蒂埃-佩林定理[5]。它表明，在温和的可积性条件下，任何时间序列都可以分解为平均值、趋势和快速波动的和经典的数学工具，如沃伦斯基行列式[24]。o我们采用了最新的估计和识别技术[20,21]，这些技术源于控制理论和信号处理，在控制理论和信号处理中得到了成功的应用。从更实际的角度来看，我们的主要结果是推导了两个独立的β系数，第一个用于比较收益率，第二个用于比较波动率。这意味着流行的α系数的重要性可能会消失。我们的论文组织如下。在简要回顾卡蒂尔-佩林定理之后，第2节详细介绍了系数αa和β以及β本身的新数学定义。第3节与经典场景进行了比较。第4节提供了计算机插图。未来的出版物将至少在三个方向上探讨上述进展：质疑贝塔系数有效性的文献数量巨大，在好几本教科书中都有很好的总结（见[4]）。托法利斯[32]最近发表的一篇引人注目的论文对这项研究非常有帮助。参见，例如[1,31]，以及其中的参考文献。使用来自信号分析的先进理论并不是什么新鲜事。

参见，例如[23]。例如，参见[8,9,16,17,18,19,27,28,33,34,35,36]及其参考文献。系统性和多因素风险模型回顾31。将第3.3节扩展到偏度和峰度应该很简单。因此，我们对各种资产各自行为的理解可能会大大增强，因为我们不再完全依赖于“高斯m”。2.根据[15]和[12]中概述的方法，动态投资组合管理和期权定价可以通过跟踪相当独立的业绩来实现，包括收益率和波动率。3.我们将把系统性风险的一些实例与一些数量的突然变化[16]联系起来，比如我们的新贝塔系数（初步结果见[10,11,14]）。2理论背景2。1.通过非标准分析对时间序列进行简短回顾，确定时间间隔[0,1] R并在非标准分析中经常引入小样本gt={0=t<t<····<tN=1}，其中tι+1- tι，0≤ ι<N，是极小的，即“非常小”。时间序列（t）是函数X:t→ R.T上的勒贝格测度是函数l 在T\\{1}上定义l（ti）=ti+1- ti。任何间隔的度量[c，d] 一、 c≤ d、 它的长度是d吗- c、 时间序列X（t）的[c，d]上的积分是sumZ[c，d]Xdτ=Xt∈[c，d]X（t）l（t） 当且仅当对于ny区间[c，d]积分r[c，d]| X | dτ是有限的，即。

不是很大，如果- c是极小的，也是极小的。X在tι是S-连续的∈ T当且仅当f（Tι） f（τ）当tι τ .X是几乎连续的当且仅当它在T\\R上是S-连续的，其中R是一个罕见的子集。X是Lebesgue可积的当且仅当它是S-可积且几乎连续。有关非标准分析的基础知识，请参见[6,7]。A. b意味着a- b是极小的。如果存在一个稀有的标准集，则表示存在一个标准集 A使得m（B）≤ α、 4 Michel Fliess，C\'edric JoinA时间序列X:T→ 当且仅当R是s-可积的且Rax dτ对于任何四元子集都是有限的时，R有助于快速地流动或振荡。让X:T→ R是一个S-可积时间序列。然后，根据作者Perrin theo-rem[5]，当Eo平均值E（X）（t）是勒贝格可积的时，加法分解X（t）=E（X）（t）+X函数（t）（1）成立，oX函数（t）迅速变化。dec composition（1）是一个非常小的组件。备注1。分解（1），当e（X）（t）比nx（t）更“平滑”时，就我们所知，提供了技术分析趋势的第一个完整理论证明（见[10]）（见[2,25]）。2.2多变量因素2。2.1算术平均假设X:T→ R是S-可积的。拿一个四元组 这样的半径τ是可感知的，即非极小值。由AVA（X）=RAXdτRAdτ定义A上X的算术平均值，即AVA（X）。从方程（1）可以看出，AVA（X）和AVA（E（X））之间的差异非常小，即AVA（X） AVA（E（X））实际上，A是一个时间间隔[t- 五十、 t]，具有可观的长度L。

设置，如果没有≥ 五十、 X（L，t）=AV[t-五十、 t]（X）=Rtt-LXdτLRtt-LE（X）dτL（2）集合是四元的[5]，如果它的边界是稀有的。参见[26]了解更为实际的展览。重新审视系统性和多因素风险模型5X[ν]（L，t）=（ν）- 1)!Ztt-L（t）- τ )ν-1Xdτ（3）它通过经典的柯西公式将ponds对应到一个Ⅴ阶迭代积分（例如，参见[22]）。注意X[1]（L，t）=X（L，t）。2.3 Alpha和betasTake n+1 S-可积时间序列Y，X，Xn:T→ R.在不丧失普遍性的情况下，假设其在任何tι∈ T以给定的有限数为界。SetY（L，t）=α（L，t）+β（L，t）X（L，t）+··+βn（L，t）Xn（L，t）α（L，t），βi（L，t）∈ R、 i=1，n、 还不是唯一确定的。定义时间序列1:T→ R、 tι7→ 1.它的算术平均值总是1。等式（3）得到[ν]（L，t）=Lν-1ν!引入Wronskian式行列式（参见[24]）W1，X，。。。，Xn（L，t）=X[1]（L，t）。X[1]n（L，t）。Ln（n+1）！X[n+1]（L，t）。X[n+1]n（L，t）（4） X，Xnare有助于α-W-独立于[t]- 当且仅当W1，X，。。。，Xn（L，t）是可感知的。引入（n+1）×（n+2）矩阵y，1，X，。。。，Xn（L，t）=Y[1]（L，t）1x[1]（L，t）。X[1]n（L，t）。Y[n+1]（L，t）Ln（n+1）！X[n+1]（L，t）。X[n+1]n（L，t）（5） 假设X，Xnareα-W-与[t]无关- 五十、 [t]。那么矩阵（5）的秩为n+1。Cramer法则给出了α（L，t）、β（L，t）的有限值，方程（2.3）中的βn（L，t）：α（L，t）=Y[1]（L，t）X[1]（L，t）。X[1]n（L，t）。Y[n+1]（L，t）X[n+1]（L，t）。X[n+1]n（L，t）W1，X，。。。，Xn（L，t）β（L，t）=（t，L）[1,1]。X[1]n（L，t）。Ln（n+1）！Y[n+1]（L，t）X[n+1]（L，t）。X[n+1]n（L，t）W1，X，。。。，Xn（L，t）6 Michel Fliess，C’edric Join。βn（L，t）=X[1]（L，t）。

X[1]n-1（L，t）Y[1]（L，t）。Ln（n+1）！X[n+1]（L，t）。X[n+1]n-1（L，t）Y[n+1]（L，t）W1，X，。。。，Xn（L，t）备注2。用原始时间序列yieldsY=α（L，t）+β（L，t）X+···+βn（L，t）Xn+e[t]替换方程（2.3）中的拟平均值-五十、 t]whereRtt-勒特-五十、 t]dτ非常小。2.4 Betas alone让我们放下α。等式（2.3）becomesY（L，t）=nXi=1βi（L，t）Xi（L，t）（6）行列式（4）被wx，。。。，Xn（L，t）=X[1]（L，t）。X[1]n（L，t）。X[n]（L，t）。X【n】n（L，t）十、据说Xnare在[t]上是W独立的- 五十、 当且仅当WX，。。。，Xn（L，t）是可感知的。矩阵（5）由n×（n+1）矩阵y，X，。。。，Xn（L，t）=（t，L）[1,1]。X[1]n（L，t）。Y[n]（L，t）X[n]（L，t）。X[n]n（L，t）假设X，Xnare W独立于[t]-五十、 [t]。然后我的，X，。。。，Xn（L，t）的秩为n。βi（L，t）的限值，i=1，n又是由参数规则给出的。虽然我们不再给出这些公式，但不用说，这些数值通常不同于第节中推导的数值。2.3. 我们不再重复第2条。备注3。如果n=1且RTT-LY dτ6=0，β（L，t）=X（L，t）Y（L，t）=Rtt-LXdτRtt-LY dτ（7）系统性和多因素风险模型回顾了73条评论3。1无模型标准点时间窗口的长度L[t- 五十、 t]可以选择非常小的尺寸，即与计算[10]中的趋势所需的尺寸兼容。通过滑动这个时间窗口来更新各种因素。让我们强调，局部模型（2.3）和（6）的线性仅在短时间间隔内有效，因此并不意味着CAPM和APT设置中假设的全局时间不变量线性。这种无模型的观点在控制理论中已经被证明是相当有效的。备注4。

方程式（2.3）和（6）不应被视为随时间变化的线性关系，因为它们的系数值与x…非线性相关，Xn。3.2反向公式为简单起见，公式（2.3）中的n=1。那么y（L，t）=α+β（L，t）X（L，t）产生，如果β（L，t）6=0，X（L，t）=-α（L，t）+β（L，t）Y（L，t）同样的逆公式也可以从第2.4节的线性代数中推导出来。现在，为了简单起见，我们将自己限制为一个类似CAPM的方程R（t）=α+βR（t）+（t）（8），其中oR（t）和R（t）是某些收益在时间t的值，o（t）是一个零均值随机过程，oα和β是常数。正如[32]所指出的，方程（8）中使用的经典最小二乘法并不能得出最自然的反向公式。见[13]。许多成功的混凝土工程应用可在参考文献中找到。8米歇尔·弗赖斯，C\'edric Join3。3.挥发性。3.1今天的情况再次考虑等式（8）。这个全局线性时不变方程适用于通常的系统或市场风险计算，即tovar（r）=βvar（r）+var（）（9），其中，如果存在“良好”的差异，var（）应为“小”。它解释了ins1。为什么增加β也会增加风险，2。等式（8）中生成“良好”α的重要性。如[32]所强调的，如果等式（8）不成立，即不存在全局线性时不变关系，则等式（9）是错误的。整个“哲学”的建立是为了证明其扩展（如APT）的上限的使用是合理的（参见，例如[4]），因此可能会崩溃。备注5。方程式（2）表明，奇克方程式（2.3）和（6）并没有出现不等式。

因此，这些方程有助于比较平均值的时间演化，即趋势，当然也不适用于比较相应的波动率。3.3.2我们首先回顾[14,15]中给出的（共）方差和波动率的定义。取两个S-可积时间序列X，Y，使它们的平方和E（X）和E（Y）的平方也是S-可积的。那么下面的性质是显而易见的：XY，E（X）E（Y），E（X）Y fluctuate，X fluctuate（Y），X fluctuate fluctuate都是S-可积的。此外，假设E（X）和E（Y）在以下意义上是可区分的：存在两个Leb E sgue可积时间序列f，g:T→ R、 以至于， T∈ T、 除了数量有限的T值外，E（X）=E（X）（0）+Rtf（τ）dτ，E（Y）=E（Y）（0）+Rtg（τ）dτ。通过零件进行积分表明，产品SE（X）Y fluctuate和X fluctuate（Y）正在快速地发生变化。备注6。我们要强调的是，产品X fluctuty fluctuate不一定是快速的fluctute。以下定义是自然的：1。两个时间序列X和Y的协方差也见[3]中的严厉引用和评论。重新审视系统性和多因素风险模型9cov（XY）=E（X- E（X））（Y- E（Y））） E（XY）- E（X）（t）×E（Y）2。时间序列的方差X isvar（X）=E（十）- E（X）） E（X）- （E（X））3。X的波动率是相应的标准偏差vol（X）=pvar（X）（10）。等式（10）给出的波动率定义与另一个时间序列vol（X）关联，称为波动率时间序列。现在拿n+1时间序列Y，X，满足上述关于可积性和可微性的假设。我们可以重复n+1时间序列vol（Y），vol（X），vol（Xn）与第2.3节和第2.4节中的计算相同。它在这些波动性之间产生了新的关系。备注7。在CAPM设置中取n=1。

我们现在有两个时间变化的beta来比较这两种资产：1。根据第2.3节或第2.4节，第一种方法比较了它们的价值或回报的平均时间演变。2.第二个来自第3.3.2节，比较了它们相应波动率的平均时间演变。4.一些计算机实验。1单变量β图1-（a），1-（b），1-（c）展示了theS&P 500和以下两种资产的每日时间序列行为：1。IBM从1962-01-02到2009-07-21（11776天），2。J PMORGAN CHASE（JPM）1983-12-30至2009-07-21（6267天）。图2-（a）、2-（b）、2-（c）给出了相应的回报，图3-（a）、3-（b）、3-（c）给出了它们的效用。滑动窗的长度取L=500。如第2.4节所述，比较各种资产，即不含α。让我们强调，方程式（8）中的“著名”α系数可能因此变得相当过时。10 Michel Fliess，C’edric JoinIBM和标准普尔500指数之间的比较采用公式（7）。图4-（a）、4-（b）和4-（c）显示了三个分别对应于价值、回报和波动率的βs。4.2二元β二元扩展由一个相当学术的例子提供，我们希望通过IBM和JPM“解释”标准普尔500指数。因此设置RS&P500=βRIBM+βRJPM，其中RS&P500（分别为RIBM和RetJPM）是标准普尔500（分别为IBM和JPM）的回报。根据第2.4节，我们必须反转2×2matrixB=Rtt的行列式-LRIBM（τ）dτRtt-LRJPM（τ）dτRtt-LτRIBM（τ）dτRtt-LτRJPM（τ）dτ！如果det（B），则按顺序使用多个尺寸L=100、300、500的s盖窗 0，选择| det（B）|最大的尺寸。图4-（d）展示了非常令人信服的结果。参考文献1。Adrian，T.，Franzoni，F.：学习beta：时变因素负荷、预期回报和条件CAPM。J