将波动率微笑纳入马尔可夫函数模型

由于可以自由选择状态变量的函数形式，MFM模型保留了对相关市场价格进行精确校准的优势。此外，由于可以自由选择波动过程τ（t），MFM模型能够在一定程度上控制状态转换。我们将在以下章节中更详细地讨论这些方面。2.2马尔可夫函数利率模型本节解释了马尔可夫函数模型的细节，并基于Hunt KennedyPelsser[12]、Pelsser[19]和Regenmortel[23]。2.2.1 MF模型的假设o假设1时间t的经济状态完全通过一些低维马尔可夫过程描述，该过程将用X（t）表示。一种方便且典型的工艺选择如下表dx（t）=τ（t）dWN+1t，（2.13）关于Pn（t）、Sn（t）和Qn，N+1的定义，请参考附录A.1。有关马尔科夫性质的详细信息，请参阅Oksendal[15]第7章。在本报告中，我们关注的是掉期货币基金模型，而不是伦敦银行同业拆借利率货币基金模型，两者都以相同的方式工作。6马尔可夫函数模型，其中τ（t）是确定性函数。因此，这对应于单因素MF模型。实际上，在整个报告中，我们坚持一维MF模型。更具体地说，我们假设基准贴现债券DN+1（t，X（t））是X（t）的函数。这意味着DN+1完全由X（t）决定。通过应用鞅性质，可以证明，对于所有k，每个贴现债券Dk（t，X（t））≤ N+1是X（t）的函数：Dk（t，X（t））DN+1（t，X（t））=EN+1t[Dk（Tk，X（Tk））DN+1（Tk，X（Tk））]=EN+1t[DN+1（Tk，X（Tk））]。

（2.14）注EN+1t（·）=EN+1（·| FXt），其中FXt是X在[0，t]上生成的信息。以X（t）=XT为条件，随机变量X（s）如下所示：≥ t、 具有均值和方差的正态概率分布τ（u）du。给定X（t）=xt的X（s）的概率密度函数用φ（X（s）|X（t）=xt表示，可以表示为φ（X（s）|X（t）=xt）=exp(-（十）-xt）Rstτ（u）du）q2πRstτ（u）du。（2.15）o假设2终端互换率Sn（Tn，x），对于所有n=1，N、 是x.2.2.2的严格单调递增函数吗？MF中的模型是什么？备注：从现在起，我们将使用附录A.2中定义的简化符号。利率模型应该能够描述未来收益率曲线的分布，其基本数量是贴现债券。对于百慕大互换期权的定价，更方便的方法是使用互换马尔可夫函数模型，该模型根据基础欧洲互换期权进行校准。粗略地说，通过关系式（见方程式A.4和A.2）Sn（Xn）=Dn（Xn）- DN+1（Xn）Pn（Xn）=1- DN+1（Xn）PN+1k=n+1αk-1Dk（Xn），（2.16）我们应该确定Dk（Xn）的功能形式，如图2.1所示，以便Sn（Xn）满足其市场分布。