退休时的最优股权下滑路径

附录J中包含了本研究中提出的优化技术的完整C++实现。执行优化的方法有四种：（1）使用DP的牛顿法，（2）使用模拟的牛顿法，（3）使用DP的梯度上升，（4）使用模拟的梯度上升。参见第二节。我和我。J了解有关这两种优化方法的更多详细信息，以及第二节。D了解两种估算方法的详细信息。方法（1）通常收敛最快，并产生最准确的估计，但在沿边界区域操作时定义不明确。它反映了本节中介绍的所有场景所使用的方法，场景8使用方法（3）除外。附录中提供了更多详细信息。在本节中，我们将分析下表1所述的8种不同场景。表1固定TD滑翔道优化场景使用的假设本表定义了本节所述8种场景中每种场景的假设。历史回报来自纽约大学教授阿斯瓦特·达莫达兰（Aswath Damodaran）1928-2013年股票（标准普尔500）和债券（10年期国库）总回报的网站，见Rook（2014）。历史实际回报的参数为：us=0.0825，ub=0.0214，σs=0.0403，σb=0.0070，σ（s，b）=0.0007。通货膨胀调整是使用联邦储备银行明尼阿波利斯银行网站检索到的CPI-U数据进行的。Evensky假设反映了较低的回报，是从Pfau和Kitches（2014）的情景A中提取的，他们从2013年版的theMoneyGuidePro中检索到了这些假设TM 软件包。（注：他们假设对数正态回报，我们假设正常。）这些实际收益的参数为：us=0.0550，ub=0.0175，σs=0.0428，σb=0.0042，σ（s，b）= 0.0040.

该程序要求用户指定一个起点，每个场景将从以下5个常规滑道开始:（1） 上升，（2）下降，（3）恒定，（4）随机#1，和（5）随机#2。然后，每个场景都会报告程序收敛到的最佳路径。不同的解表明存在多个局部最优解。情景#实际回报率假设累退长度（TD）取款率（WR=RF（0））费用率（ER）1历史30年4.0%0.0%2历史30年4.0%1.0%3伊万斯基30年4.0%0.0%4伊万斯基30年4.0%1.0%5历史30年5.0%0.0%6历史30年5.0%1.0%7伊万斯基30年5.0%0%8伊万斯基30年5.0%1.0%8种情景中的5种起始滑道均未使用根据场景进行更改，如图5所示。图5所有8种优化场景的启动滑道该图描述了上面表1中描述的8种场景中每种场景的启动滑道。上升趋势始于30.5%的股票，每年增长1%。下滑路径从59.5%的股票开始，每年下降1%。恒定下滑道固定在45%的股票上，最后两个起始下滑道是完全随机的，但生成的，因此它们大于两组收益假设的MV（α）。

注：我们从不同的滑道开始这个过程，试图找到不同的局部最优解（即结束滑道）。RisingGP0.3050.3150.3250.3350.3450.3550.3650.3750.3850.3950.4050.4150.4250.4350.4450.4550.4650.4750.4850.4950.5050.5150.5250.5350.5450.5550.5650.5750.5850.595,下降GP0.5950.5850.5750.5650.5550.5450.5350.5250.5150.5050.4950.4850.4750.4650.4550.4450.4350.4250.4150.4050.3950.3850.3750.3650.3550.3450.3350.3250.3150.305,康斯坦丁格尔0.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.450,随机的#1GP0.6360.2140.1930.6370.6260.5970.9430.8770.2540.8230.9030.2940.4440.5130.5290.1600.5640.2930.6980.2280.3110.7760.6890.7640.5960.7930.9110.6240.7090.205,随机的#2GP0.8130.8860.2270.6840.3280.3790.4840.1450.7630.2840.6900.4760.8760.6490.1470.6430.5210.6620.1610.8640.8670.3320.2810.2240.4710.7770.9220.8800.2950.860E.1情景#1：历史真实回报率，TD=30年，WR=4%，ER=0.0%是最佳静态滑翔道，PNR 是情景#1中避免财务破产的相应概率。我们使用DP来估计概率，并使用牛顿法进行优化。图5中的所有起始滑道在ε=（0.1）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域内其中黑森是负定的，thusconcave。这是这种情况下最佳内点的经验证据。

（参见下面的图6.1。）最佳下滑道正在上升，看起来略微凸出，但几乎呈线性。t=1时的第一次股权比率约为36.85%，t=30时的最后一次股权比率约为77.66%。使用该滑道的成功率约为91.97%。E.2情景#2：历史真实回报率，TD=30年，WR=4%，ER=1.0%是最佳静态滑翔道，PNR 是情景#2避免财务破产的相应概率。我们使用DP来估计概率，并使用牛顿法进行优化。图5中的所有起始滑道在ε=（0.1）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域内其中黑森是负定的，thusconcave。这是这种情况下最佳内点的经验证据。（参见下面的图6.2。）最优滑道是上升的，开始是线性的，然后变成凹形。t=1时的第一个权益比率约为48.16%，t=30时的最后一个权益比率为79.03%。使用该滑道的成功率约为83.82%。E.3情景#3:Evensky实际回报率，TD=30年，WR=4%，ER=0.0%是最佳静态滑翔道，PNR 是情景#3中避免财务破产的相应概率。我们使用DP来估计概率，并使用牛顿法进行优化。图5中的所有起始滑道在ε=（0.1）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域内其中黑森是负定的，thusconcave。这是这种情况下最佳内点的经验证据。（参见下面的图6.3。）最优滑道是上升的，开始是线性的，然后变成凹形。t=1时的第一个权益比率约为28.12%，t=30时的最后一个权益比率为48.10%。

使用该滑道的成功率约为74.80%。E.4情景#4:Evensky实际回报率，TD=30年，WR=4%，ER=1.0%是最佳静态滑翔道，PNR 是情景4中避免财务破产的相应概率。我们使用DP来估计概率，并使用牛顿法进行优化。图5中的所有起始滑道在ε=（0.1）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域内其中黑森是负定的，thusconcave。这是这种情况下最佳内点的经验证据。（参见下面的图6.4。）最佳滑道在前9年左右上升，然后下降。t=1时的第一个权益比率约为57.06%，t=30时的最后一个权益比率约为49。15%.  使用该滑道的成功率约为59.99%。E.5情景#5：历史真实回报率，TD=30年，WR=5%，ER=0.0%是最佳静态滑翔道，PNR 是情景#5中避免财务破产的相应概率。我们使用DP来估计概率，并使用牛顿法进行优化。图5中的所有起始滑道在ε=（0.1）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域内其中黑森是负定的，thusconcave。这是这种情况下最佳内点的经验证据。（参见下面的图6.5。）最佳下滑路径迅速上升，然后在退休期间开始缓慢下降。t=1时的首次股权比率约为56.55%，t=30时的最后一次股权比率约为79.7%。

成功率约为77.52%。E.6情景#6：历史真实回报率，TD=30年，WR=5%，ER=1.0%是最佳静态滑翔道，PNR 是情景#6中避免财务破产的相应概率。我们使用DP来估计概率，并使用牛顿法进行优化。图5中的所有起始滑道在ε=（0.1）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域内其中黑森是负定的，thusconcave。这是这种情况下最佳内点的经验证据。（参见下面的图6.6。）最佳下滑路径在11年前迅速上升，然后下降。t=1时的第一个权益比率约为78.14%，t=30时的最后一个权益比率约为80%。35%.  成功率约为67.93%。E.7情景#7:Evensky实际回报率，TD=30年，WR=5%，ER=0.0%是最佳静态滑翔道，PNR 是场景#7中避免财务破产的相应概率。我们使用DP来估计概率，并使用牛顿法进行优化。图5中的所有起始滑道在ε=（0.1）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域内其中黑森是负定的，thusconcave。这是这种情况下最佳内点的经验证据。（参见下面的图6.7。）最佳下滑路径在前4年迅速上升，然后在退休后下降。t=1时的第一次股权比率约为82.35%，t=30时的最后一次股权比率约为49.23%。成功率约为52.80%。E.8情景#8:Evensky真实回报率，TD=30年，WR=5%，ER=1.0%是最佳静态滑翔道，PNR 是情景#8中避免财务破产的相应概率。

我们使用DP来估计进行优化的概率和梯度。图5中的所有起始滑道在ε=（0.13）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域其中黑森是负定的，因此是凹的。这种情况下的最佳情况存在于函数的凹边界区域。（参见下面的图6.8。）最佳下滑路径最初为100%股票不变，然后在退休后的剩余时间下降。t=1时的第一次股权比率为100%，t=30时的最后一次股权比率约为49.61%。成功率约为43.23%。V.最终提款的随机时间一般来说，最后一次提款发生在时间t=TD，在上述示例中，时间t=30（年）。第一股权比率α, 在时间t=0和相应的第一次返回时设置，,, isobserved在时间t=1。当TD=30时，最后的权益比率α, 在时间t=29和相应的最后一次返回时应用,, 在时间t=30时观察到。当TDis随机时，最后一次退出是基于寿命和TD=0,1,2，…，SMax，其中SMaxis是基于退休人员当前年龄的最大可能TDE值。设P（TD=t）=pt，对于t=0，1，2，…，SMax。这里是滑翔道包含SMaxequity比率，每个可能的时间点t>0对应一个。Nowithdrawal是在t=0时尝试的，TD=0表示死亡发生在第一次尝试退出之前。让P表示当TDI为随机时，退休时避免破产的概率，并让PNR,T如（3.1）所定义。

然后：PPT0∩破坏0∪T1.∩破坏1.∪…∪Ts∩破坏s由于这些事件是相互排斥的，因此可以添加它们的概率：→PPTT∩破坏TPTT*P破坏T|TTP*PNR,TPP*PNR,T.要针对滑翔道优化此功能，, 使用本文提出的技术需要SMax元素梯度向量，,  和（SMax）x（SMax）Hessian矩阵，, 对于（5.1）（5.2）（5.5）（5.3）（5.4）功能P.  由于和的导数等于导数的和，所以TTHGradienteElement，g, 属于= G,G,…,G由：g给出αPP*αPNR,KP*G|TK,g在哪里|Tk如（3.4）中对t的定义≤ k、 0，这里是O.W.，g定义为t=1，2，…，SMax。非对角元素H,, 对应的Hessian矩阵，, 由以下公式给出：H,ααPP*ααPNR,KP*H,|TK,H在哪里,|Tk如（3.5）中对i的定义 J∈ {1，2，…，k}，这里是0，O.W.，H,是为我定义的j=1，2，…，SMax。对角线元素H,, 关于黑森矩阵，, 是：H,αPP*αPNR,KP*H,|TK,H在哪里,|Tk如（3.6）中对t的定义≤ k、 t=1，2，…，SMax。因此，对于随机最终退出时间（TD），在退出时寻找最优静态下滑路径的问题是可以解决的。本节给出的结果可能适用于个人或群体的死亡率。表2用于随机TD滑翔道优化场景的假设本表定义了本节中介绍的两种随机TD场景的假设。

结果适用于年龄为65岁的男性/女性夫妇，反映时间t=0。相应的概率是使用SSA的生命表得出的。gov和男性/女性的最高年龄分别为111岁和113岁。因此，该下滑道需要48个股权比率，每个可能的时间点一个，图5中用于场景1-8的初始下滑道不适用。历史收益和Evensky收益完全如表1所示。每种情况都将从不同形状的不同滑道开始，以确定是否存在局部最优。这两种情况可以直接与第四节E中的情况#1和#4进行比较，这两种情况是固定的TD=30年对应情况。情景#（比较与）实际回报率（SMax）提款率（WR=RF（0））支出率（ER）9（与1）历史48年4.0%0.0%10（与4）Evensky 48年4.0%1.0%（5.6）（5.7）（5.8）A.1情景#9：历史实际回报率，SMax=48年，WR=4%，ER=0.0%是最佳静态滑翔道，PNR 是情景#9中避免财务破产的相应概率。我们使用DP来估计概率，并使用牛顿法进行优化。所有测试的起始滑道在ε=（0.1）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域其中黑森是负定的，因此是凹的。这是这种情况下最佳内点的经验证据。（参见下图7.1。）最佳下滑道上升，然后在大约（年）时间t=30时趋于平稳。t=1时的第一个权益比率约为34.19%，t=48时的最后一个权益比率约为79。77%.

使用该滑道的成功率约为96.06%。A.2情景#10:Evensky实际回报率，SMax=48年，WR=4%，ER=1.0%是最佳静态滑翔道，PNR 为情景#10避免财务破产的相应概率。我们使用DP来估计概率，并使用牛顿法进行优化。所有测试的起始滑道在ε=（0.1）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域内其中黑森线是负有限的，因此是凹的。这是这种情况下最佳内点的经验证据。（参见下面的图7.2。）最佳下滑路径上升，然后开始以较慢的速度下降，大约在退休后的一半。t=1时的第一次股权比率约为31.37%，t=48时的最后一次股权比率约为49.72%。成功率约为77.87%。六、 总结/结论和未来研究随着市场收益的消耗，动态下滑道会随着时间而变化，而静态下滑道是在某个起点预先确定的。一般来说，静态下滑路径是次优策略，因为它们对退休人员施加了人为约束（Rook（2014））。然而，它们更容易实现和理解。静态下滑路径也构成了大多数T-D基金的基础，因此从业人员和退休研究人员感兴趣。我们引入了一种技术来推导退役时的最佳静态滑翔轨迹。由于投资组合的成功概率并非总是作为权益比率的函数呈拟凹，因此该过程可能会找到局部最优。在实践中，我们没有遇到典型退休期限和初始提款率的局部最优值。