杠杆要求和甩卖对财务状况的影响

考虑满足假设2.1的清算函数γ和反需求函数F。（i） 如果清算函数γ是连续的，则存在一个清算支付和pricingvector（p*, Q*).（ii）如果清算函数γ是非递增的，则存在最大和最小清算支付向量和价格向量（p+，q+）≥ （p-, Q-).证据这与范斯坦（2015）的定理3.6相同。现在我们将给出几个清算函数的例子。例3.3。在一个拥有单一（代表性）非流动资产的市场中，即m=1，最小清算约束（2）意味着γi（p，q）=q“圆周率-xi+nXj=1ajipj+- λmaxixi+qsi+nXj=1ajipj- “圆周率++.这类似于Cifuntes、Shin&Ferrucci（2005）中提出的单一资产模型，但这是一个明显的结果，因为本文给出的杠杆要求不同于Cifuntes、Shin&Ferrucci（2005）中的资本充足要求。例3.4。在一个拥有多个非流动资产的市场中，企业可以选择按持股比例出售资产，即，对于某些代理人，i=1，2。。。，n和任何资产k=1，2。。。，mγik（p，q）=sikPml=1silql“圆周率-xi+nXj=1ajipj+- λmaxixi+mXk=1sikqk+nXj=1ajipj- “圆周率++.这是范斯坦（2015）中示例3.3的杠杆式扩展。待出售单位的具体数量等于sik总持有量的分数（杠杆差额除以按市值计价的资产估值）。示例3.5。为了减少待清算资产的总数，企业可以选择先出售价值最高的资产。值得注意的是，让[k]∈ {1,2，…，m}表示最高价格的指数，即q[1]≥ q[2]≥ ... ≥ q[m]。

企业i清算的资产单位[k]的数量由γi[k]（p，q）=q[k]给出“圆周率-xi+nXj=1ajipj+- λmaxixi+mXl=1silql+nXj=1ajipj- “圆周率+-K-1Xl=1si[l]q[l]+.请注意，如果一家公司能够通过最昂贵的k- 1单独资产，则没有资产单位l=k，k+1。。。，我会被卖掉。然而，在这种清算策略下，我们可能无法保证解决方案的存在。相反，我们提出了一个近似于上述行为的策略。对于任何>0定义函数h:R+→ [0,1]连续且严格递减。另外定义h，以便→0h（z）=如果z=00，则为1。如上所述，我们可以通过以下方程组确定清算策略。γi[k]（p，q）=kX^k=1\'h（^k，k）si[k]Pml=^k\'h（^k，l）si[l]q[l]g（^k）+（3）其中‘h- q[l]）1.-K-1Xα=1h（q[α]- q[l]）α-1Yβ=11.- h（q[β]- q[l]）g（k）：=氢π-xi+Pnj=1ajipji+如果k=0g（0）- λmaxihxi+Pml=1silql+Pnj=1ajipj- 如果k=1g（k- 1) -hg（k）-1） +Pml=k-1“h（k-1，l）si[l]q[l]∧ 1iPml=k-1“h（k- 1，l）si[l]q[l]如果k∈ {2，…，m}。平滑函数h的一个可能选择是h（z）=exp(-z）。该近似策略进行了一系列加权比例清算（参见例3.4），权重随资产价格增加而增加。例3.6。与例3.5不同的是，企业可能希望首先出售其价值最低的资产，以便它们不再出现在其资产负债表上。考虑与上述相同的符号，其中[k]表示KTH最高价格的指数。

i公司出售的资产[k]单位数量由γi[k]（p，q）=q[k]给出“圆周率-xi+nXj=1ajipj+- λmaxixi+mXl=1silql+nXj=1ajipj- “圆周率+-mXl=k+1si[l]q[l]+.如例3.5所示，我们可能无法保证该清算策略下存在解决方案。定义职能网h：R+→ [0,1]如上所述。我们可以通过下面的方程组确定近似的清偿策略。γi[k]（p，q）=mX^k=k\'h（k，k）si[k]p^kl=1\'h（k，l）si[l]q[l]g（k，l）+（4）\'h- q[k]）1.-mXα=k+1h（q[l]- q[α]）mYβ=α+11.- h（q[l]- q[β]）g（k）：=g（k+1）-g（k+1）+Pk+1l=1（k+1，l）si[l]q[l]∧ 1.Pk+1l=1’h（k+1，l）si[l]q[l]如果k∈ {1，…，m- 1} g（m+1）- λmaxihxi+Pml=1silql+Pnj=1ajipj- \'pii+如果k=mh\'pi-xi+Pnj=1ajipji+如果k=m+1。与例3.5中的近似策略一样，该清算策略考虑了一系列加权比例清算，其权重随着资产价格的增加而减少。备注3.7。例3.3和3.4给出了连续且非递增的清算函数；例3.5和3.6给出的清算函数既不是连续的也不是非递增的。方程（3）和（4）提供的清算函数提供了连续近似，当趋于0时，这些函数收敛到特定示例。备注3.8。在定理3.2（ii）的条件下，我们可以利用范斯坦（2015）中提出的修正违约算法来计算最大清算付款和价格（p+，q+）。在定理3.2（i）的条件下，我们可以搜索清算付款和价格（p*, Q*) 通过从（p，q）=（p，q）开始的定点迭代。然而，定点迭代可能不会收敛，因为这不是收缩映射。

可以使用其他技术来确定连续映射的固定点，例如Scarf算法（参见，例如Scarf（1967）），来代替。4均衡清算策略再次考虑第2节中的设置。我们现在希望研究当每个企业部门的清算策略结束于所有其他企业选择的策略时，清算付款和清算价格的存在。也就是说，我们希望考虑一种博弈论策略。特别是，我们考虑了所有公司都是价值最大化者的情况，即公司i希望最大化其资产的估值。由于资产价格受所有企业行为的影响，这是一种均衡清算策略。这是一种更现实的情况，因为金融机构确实是价值最大化者，并且事先不公布其交易策略。请注意，这类似于范斯坦（2015）提出的均衡清算策略。备注4.1。虽然这个问题被写为单个银行实施清算的函数，但解决方案只取决于所有其他银行的总清算。值得注意的是，该解决方案不要求公司知道谁在销售，而只要求公司知道在财务系统中解决的总金额。回想一下，我公司的权益或损失可以用公式xi+mXk=1sikq表示*k+nXj=1ajip*J- ？部分清算付款和价格的PIP（p*, Q*). 然而，每家公司都有权选择如何对自己的资产进行清算，这可能会影响非流动资产的价格*. 也就是说，每一家公司∈ {1,2，…，n}可以选择多少个单位≥ 资产k的0∈ {1,2，…，m}进行清算，以使其自身权益最大化。特别是，i公司的清算策略将取决于清算策略*-对于所有其他公司。

总之，我公司将选择清算，以解决最大化问题γi（p，q，γ*-（一）∈ arg maxgi∈Γi（p，q）sTiF[si]∧ gi]+Xj6=i[sj∧ γ*j]（5） Γi（p，q）=nγi∈ Rm+| qT[si∧ γi]=qTsi∧ ∧i（p，q）o∧i（p，q）=“圆周率-xi+nXj=1ajipj+- λmaxixi+mXk=1sikqk+nXj=1ajipj- “圆周率++.方程式（5）提供的公式确定了企业应变现的每项资产的单位数量，以最大化其自身的市值计价。假设3.1限制了定价向量q下的允许清算，如ΓIf所述。假设所有其他公司都遵循该策略*-i、 那么，如果我采取不同的行动，它将失去可能更高的估值。在这种情况下，对清算机制进行了修改，以确定清算付款*∈ [0，\'p]，结算价格q*∈ [0，\'q]和均衡清算策略γ*∈ Rn×m+。改进的清除机制ψ：[0，\'p]×0，\'q]×Rn×m+→ P（[0，\'P]×[0，\'q]×Rn×m+（其中P表示功率集）由ψ（P，q，γ）定义）：=n\'P∧ （x+Sq+ATp）o×（FnXi=1[si∧ γi]！）×nYi=1arg maxgi∈Γi（p，q）sTiF[si]∧ gi]+Xj6=i[sj∧ γj].（6） 清算机制的固定点（p*, Q*, γ*) ∈ ψ（p*, Q*, γ*), 是联合清算支付、价格和清算策略。请注意，每家公司都满足假设3.1中描述的最低清算条件，因为q*= F（Pni=1[si∧ γ*i] ）的定义。还要注意的是，任何一家公司都不能以与γ相反的方式进行交易，从而单方面提高自身的估值*.在定理4.2中，我们给出了在修正的清算机制ψ下存在联合清算付款、价格和清算策略的条件。定理4.2。考虑一个具有液态d捐赠x的金融系统（a，`p）∈ Rn+和非流动性捐赠∈ Rn×m+。考虑满足假设2.1的反向需求函数，例如F（Pni=1si）∈ Rm++与β7→ 对于所有i=1，2，…，和。。。，N

存在清算支付、清算价格和均衡清算策略的组合，即存在（p*, Q*, γ*) ∈ ψ（p*, Q*, γ*).证据这与范斯坦（2015）的定理4.1相同。从财务角度来看，如果逆需求函数是凹的——结合假设2.1——那么随着更多资产被清算，价格影响的速度会增加。在金融市场中，如果限价指令簿在初始市场价格附近密集，但在较低价格下具有长浅尾，则会出现这种情况。也就是说，随着更多的资产被溶解，导致重大的资产价格变动，市场的潜在流动性枯竭。备注4.3。清算清算策略*如果所有公司都是价值最大化者，那么这是财务系统的纳什均衡。也就是说，没有一家公司有动机改变战略*因此，它是估值问题的最大化者（考虑到完整的市场策略）*).备注4.4。在定理4.2和ifβ7的条件下→ sTiF（β）是严格拟凹的，则ψ是单态。因此，如果对ψ的某些定点迭代存在限制，则该限制是一种联合清算支付、价格和清算策略。为了计算，我们将从（p，q，γ）=（p，q，0）开始运行执行点迭代。如果由于定点迭代的不收敛而无法找到定点，我们将在已知网络参数的清除解之间进行线性插值；这种影响将在下一节的示例5.3中看到。5数值案例研究在本节中，我们实施了拟议的杠杆金融传染模型。基础资产和负债数据是附录a中讨论的美国银行业数据的一个子部分。

有了这些数据，我们可以选择影响风险水平的金融网络结构：o来自其他公司的银行间负债的资产价值（\'p·ifor FIRM i）；o非流动资产的数量（m）以及流动资产（XI）和非流动资产（SIF）初始投资组合的构成非流动资产的清算策略（企业一）系统内和系统外的网络结构和负债分配（\'pi·用于企业一）；以及o杠杆率要求。在构建金融网络时，考虑金融企业负债的细分离开金融系统或从金融系统之外进入的情况有时是有益的。为了适应这一点，我们考虑一个带有额外“fim”的增强系统，由节点0表示。正如范斯坦、鲁德罗夫和韦伯（2015）所述，在不丧失普遍性的情况下，我们假设外部节点0永远不会违约——更具体地说，我们将构建一个节点0对系统其他部分没有义务的系统。如果需要，为了考虑节点0不全额支付债务的可能性，我们将在清算机制开始时强调不同公司的资产。为了校准网络，我们首先考虑定向链路的一些（可能是随机的）结构。值得注意的是，如果j∈ 我（我）。给定每个企业从新增负债中获得的资产的最大百分比（新增债务的名义规模为Pini），我们运行线性规划（7）来确定网络中每个弧的权重。

该优化问题的解决方案是债务矩阵（包括外部节点0），以便将最低金额的负债从初始金融系统中转移出去，并保留网络结构。明尔∈R（n+1）×（n+1）+nXj=1Lj0s。t、 nXj=1Lji≤ Pini，nXj=1Lij=\'pi，Lii，L0i，Liji=0我冀∈ I（I）c（7）虽然我们只介绍了这种校准机制，但本文给出的定性结果似乎普遍成立。也就是说，结果对网络拓扑具有鲁棒性；这与Glasserman&Young（2015）的研究结果一致。在整个示例中，我们将在适当的情况下考虑系统性风险的三个指标：o拖欠部分债务的总公司比例。这一点之前曾在Lehar（2005）和Zhou（2010）中进行过研究违反最高杠杆率要求的总公司比例。这可以由清算所有资产的公司给出（Lesbegue测度0的空间除外）。请注意，从理论上讲，该价值可以独立于违约的公司向金融网络之外的经济体支付的款项占总金额的比例。从数学上讲，这可以通过公式PNJ=1aj0pjPnj=1aj0¨pj给出。这项研究之前在范斯坦、鲁德罗夫和韦伯（2015年）中进行过，以作为系统风险度量中金融网络健康状况的汇总。在构建投资组合持有量时，我们考虑了两种不同的衡量标准。首先是流动资产中初始投资组合持有量的百分比（而不是更普遍地投资于非流动资产）。其次是每项非流动资产的投资价值。

考虑到i公司在其投资组合中拥有初始资本的情况，inves tsα∈ [0,1]在流动资产中的比例，并假设非流动资产投资的随机分布由一些标准偏差σ定义≥ 0.σ的值给出了差异的一个参数。根据该计划，菲米尔将持有流动资产中的xi=α。为了建立非流动资产，莱奇~ N（1，σ）+(k=1，2。。。，m） 式中，N+表示正态分布的最大值，0表示正态分布的最大值=(1 - α） ckiPml=1’qlcliCiifPml=1cli>01-αPml=1¨qlCielse。假设F（0）=q∈ Rm++。请注意，当σ=0时，这对应于各公司将其初始非流动资产平均分配给资产，即完美的多元化。随着σ的增加，资产之间的差异增加，而且（可能）每家公司未投资的资产数量增加。进一步注意，如果α=1，该方案将简化为Eisenberg&Noe（2001）中提出的Contagion模型，因为没有内部控制来降低企业的杠杆率。我们将以美国银行业数据为例。首先，在例5.1中，我们研究了只有一个具有代表性的非流动资产的情况，并改变了流动资产和非流动资产之间的投资组合构成。在例5.2中，我们继续研究单一非流动资产的情况，但现在改变了网络的组成——改变了连接形成的可能性，改变了银行间负债资产的价值。

在例5.3中，我们研究了YEAR 2007 2008 2009 2010 2012 2013 2014年杠杆14.6325 19.8325 14.2700 12.9125 12.0375 11.8250 12.6700 13.0850表5.1：例5.1：2007-2014年的最低可接受杠杆要求。不同的多元化（由参数σ定义）和清算策略通过合并多个非流动资产对系统风险产生影响。最后，在例5.4中，我们考虑了一种反事实的情况，在允许企业取消一些资产和负债以满足杠杆要求后，但在考虑清算机制之前，我们冲击了流动和非流动持有价值。例5.1。考虑一个既有流动资产又有单一（代表性）非流动资产的市场。使用随机连接的网络；从节点i到j（fori 6=j）的链路的概率为25%，并针对每个潜在链路独立采样。此外，任何一家公司的资产中最多有10%来自其他公司的新增负债。由于只有一项资产，例3.3对流动策略进行了独特定义。设逆需求函数为nbyf（z）=1.-2z3×10if z≤ 5 × 10√√齐夫z≥ 5 × 10.当整个投资组合处于流动资产（α=1）中时，在这种设置下，网络始终是稳定的——没有违约，没有杠杆短缺，所有付款都如Glasserman&Young（2015）的结果所预期的那样全额支付。然而，如果整个投资组合处于非流动资产（α=0）中，则存在一个最低杠杆要求，即任何较低的最大杠杆率都会导致所有公司违约，且不符合杠杆率要求，任何较高的最大杠杆率都不会导致任何公司违约。如图5.1所示；请注意，企业违约的比例与违反杠杆要求的比例完全一致。