作为市场不平衡度量的最优交易策略

作者编写了C++函数riemannzeta和HurwitzZeta，并将它们从XLL导出，XLL是一种动态链接库DLL的形式，用作Microsoft Excel的加载项[161]。这有助于使用Microsoft Solver和Goal Seek在S>1.001和Q>0.001的约束条件下优化参数S和Q。表6的成本函数是九个类别的实验χ。15.2 Hurwitz-ZetaThe的Euler-Maclaurin公式选择的计算方法基于Euler-Maclaurin求和[44，第114-117页]。伯努利数取自[1，第810页]。推导过程很长，作者只给出了Hurwitz-zeta函数的最终公式，这是他在文献中找不到的。然而，对于黎曼-泽塔，其概念与[44]中的相同。由于直接和的收敛速度很慢，Euler-Maclaurin求和应用于差ζ（S，Q）-N-1Xi=0（i+Q）-S=∞Xi=N（i+Q）-S、 ζ（S，Q）=N-1Xi=0（i+Q）-S+（N+Q）1-党卫军- 1+2（N+Q）-S++MXk=1B2k（N+Q）1-s-2kQ2k-2j=0（S+j）（2k）！+E（S，Q，N，M），其中B2kare是伯努利数，E（S，Q，N，M）是误差项。使用Harold Edwards[44]和Linas Vepˇstas[227]的估计值，选择N=20和M=13，以确保图21所示S值的C++内置类型double支持的16位小数精度。Hurwitz Zeta分布是描述b增量分布的透视图，不需要尝试组合多个会话或更小的范围。由于分布在时间上发生变化，甚至在一个范围/会话内，这可能会阻止泛化。16关于抛物线分形的评论提到，在许多情况下，幂律仍然是实验事实[6，第36-41页]，寻找渐近行为和对数修正可以提供理论解释。

他运用科尔莫戈罗夫的技术，对二的幂除以奇数后得到的余数的平均最小周期进行平滑处理，并找到一个有趣的双对数依赖关系[6，p.39，图1]。他的七个例子来自植物学、文学、医学、火山活动、遗传学、科学出版物的数量、与计算机科学重要的空间元素紧凑排列相关的图论，包括奥洛夫·阿伦尼乌斯定律：一个地区的物种数与该地区的力量成正比。作者添加了第一个名字来区分儿子和父亲——斯万特·阿伦尼乌斯（1903年诺贝尔化学奖获得者“…解离电解理论”），他提出的化学反应速率常数的温度依赖性方程也以“阿伦尼乌斯劳”的名字为人所知。由于常数与温度倒数（以开尔文度为单位）的对数曲线上有很好的直线，因此可以将其添加到阿诺德列表中。16.1绘制Arrhenius的数据作者审阅了文章[9]，并在Microsoft Excel中输入了106对（以分米为单位的面积，物种数量）[9，第96页，表格]。这是我们第一次在图22中看到Olof的结果。我的眼睛看到：1）抛物线的碎片将更好地用于Calluna Pinus木材、药草Pinus木材、桃金娘云杉木材、药草云杉wod、药草山II和海岸协会II；2） 松树痘苗有一个很大的异常值。在原始表格中，13个关联伴随着更大区域的实验数据和计算数据之间10-30%的偏差：8-10个观察值中的上2-3个。

Arrhenius解释说：“很容易看出，计算值和观测值非常一致。通常，随着面积的增加，偏差会增加。这取决于这样一个事实，即较小区域的值是比较大区域的值更多观测值的平均值。”16.2抛物线的缺点是在对数坐标系中与直线的偏差在频率与ranksplots的对比中，抛物线分形被统称为抛物线分形。所谓的国王效应与最高频率等级的离群值有关。一个常见的例子是城镇规模关系，在法国，巴黎偏离了曲线。几个现象图22:Microsoft Excel中输入并绘制了[9]中的数据。据称，ena遵循抛物线分形：星系强度、城镇规模分布、语言、物种和石油系统的碳氢化合物聚集http://www.hubbertpeak.com/laherrere/fractal.htm.他们扩大了阿诺德的名单。引用的参考文献[36]证明，“经验和相关过程的异常振荡经常发生的点集通常是一个随机分形”，并建议如何评估其Hausdorff维数。图20、21和22表明，抛物线的一部分比直线更好。然而，抛物线有一个缺点：在许多情况下，它不能在不违反自然单调性的情况下，在观测间隔之外进行推断。需要更多数据来证实或否定经济学中的抛物线分形效应。对于金融时间序列而言，澄清市场问题是很有价值的。17极端b增量表16中的Min、nmin、Max和NMA列表示极端b增量及其在范围和会话中出现的次数。对于每个契约，这些值组合在一个样本中，其中b-增量M和b-增量M分别取nsMin和nsmaxtimes。

这些值是从带有日期的会话行中提取的。对EPDF进行评估，见图23。同样，NGN13的等级除以10。绝对值取的相同极端b增量绘制在双对数坐标中，如图24所示。图23:2013年3月至7月期间，以δ表示的极端b增量频率。虽然获得0δ和±1δb增量的几率最高，如图20、21所示，但在一个疗程中将其作为极端值的几率可以忽略不计，如图23所示。即便如此，如果我们在图24上的点云上方画直线，将它们外推到左边也是错误的。图24中的ZSN13、ZWN13、GCM13、SIN13、CLN13、NGN13、6BM13、6CM13、6EM13和6JM13证实了绝对极端b增量的频率具有最大值。其他间接证实：2013年3月至7月，没有ZCN13、ZBM13、ESM13、HGN13和6AM13的会议，其增量分别为0δ和±1δb。17.1弗里切特、费舍尔、蒂佩特、冯·米塞斯、格涅登科、甘贝尔、哈恩斯现代极值理论受到[59]、[163]、[64]、[13]的影响。Fisher和Tippett根据他们必须满足的函数关系给出了三个极限分布。Mises已经证明，对于2013年3月至7月交易的合同，最大阶统计量弱收敛于图24：绝对极端b-增量频率与等级的双对数图（以δ表示）。有三种。Gnedenko给出了极端阶统计量弱收敛的必要条件和充分条件的严格证明。哈恩改进了对格涅登科结果的阐述。内登科[64，第423页]的CDF相对于x的差异给出了费舍尔和蒂普特[59，第211-212页]的PDF，即DFF T（x）=e-十、-E-x=d∧G（x）dx，-∞ < x<∞,二、

P DFF T（x）=kxk+1e-十、-k=dΦGα（x）dx，x>0，k=a>0，III.P DFF T（x）=k(-x） k-1e-(-x） k=dψGα（x）dx，x<0，k=a≤ 0.对于组合绝对极端b增量的样本，II可能有用。莫里斯·弗雷切特在1927年写了一篇关于第二次世界大战的文章[60]。它也是以他的名义使用的。根据定义[65，第45页]，分布函数F（x）和F（x）是一种类型，如果b>0和a，F（x）=F（bx+a）。很容易看出F（x）=ΦGα=k（x）=e-十、-k、 x>0且F（x）=e-（bx+a）-k、 x>-A是有效的CDF，属于k>0、b>0的一种类型。虽然改变协调系统的规模和起源并不会产生新的类型，但我们得到了更好的拟合工具P DFII（x）=kb（bx+a）k+1e-（bx+a）-k、 x>-ab，k>0，b>0，a≥ 0.（44）P[P DFII（|δ-尺寸|）的最小化-EP DFZSN13（|δ-大小|）给出了解决方案（k=3.955386，b=0.142783，a=0），如图25所示。使用微软解决方案的Constraint a≥ 0，当猜测a>0时，稳定地获得最佳a=0。如果a=0，则PDF为2型甘贝尔分布，表示埃米尔·甘贝尔[75]的贡献。最佳的b6=1排除了Fr\'etchet的情况。使用一个连续的类似PDF的等式44来最小化皮尔逊的χfit优度是不方便的：类的分数边界将是牵强的。极端和普通b增量是离散的。图25:2013年3月至7月ZSN13的绝对极端b增量频率与等级的曲线图，用|δ|表示，以及近似的缩放和移位Fr | echet-Fisher-TippettGnedenko-Type-2-Gumbel PDF，P DFII。17.2我们需要一个离散分布图，图25，看起来匹配，但存在以下问题：1）理论密度是连续的，2）大|δ|的频率被低估。事实上，点|δ|=82是在频率为0.003322的情况下获得的，但理论密度为0.00000286，减少了1162倍。

需要一个模拟单峰P DFII的有限正数序列和收敛序列。理想情况下，它应该在整数区间[01100]内。作者检查了序列（P DFII（n）），n∈ N、 将其倒数级数重新用作规范化乘法器，以确保有效的离散概率质量函数PMF，P MFII（N）=kb（bn+a）k+1e-（bn+a）-金伯利进程∞i=1kb（bi+a）k+1e-（bi+a）-k、 n∈ N、 k>0，b>0，a≥ 0，（45），其中P MFII（0）=0。分母收敛。级数收敛性的Maclaurin-Cauchy积分检验[57，第281页，第373项]证明了这一点：当x>n>0时，p DFII（x）是正的且单调递减的∞-abP DFII（x）dx=1，因此收敛于任何下界x≥ -ab.将等式45中的分母与一般的狄里克莱级数[76，p.1]f（s）=p进行比较∞阿内-λns，其中（λn）是一个实数递增序列，其极限为整数，s=σ+t√-1是一个复变量，其实部和虚部为σ和t，我们注意到设置σ=1，t=0，an=kb（bn+a）k+1，λn=（bn+1）-基耶兹分母=f（1）。然而，我们的（λn）是一个实数正递减序列，当k>0，b>0，a时，其极限为零≥ 0和limn→∞E-λn=1。在甘贝尔的情况下a=0，an=kbknk+1=ν-1bν-1nν，ν=k+1>1和p∞n=nane-λn≈ν-1bν-1P∞n=nnν=ν-1bν-1ζn（ν）表示大n∈ N、 式中ζN（ν）表示Riemann zeta函数的剩余部分，其实参数大于1——收敛域。一般情况下，a>0也会导致收敛，因为每一个总和和剩余正值都会减少。

作为另一种收敛性证明，这种考虑暗示，可能很难找到分母的表达式，需要一种数值方法。Euler-Maclaurin求和法是一种候选方法。17.3建议分布的Euler-Maclaurin公式类似于Riemann和Hurwitz zeta，我们直接计算从1到M的项之和- 1和剩余的总和[44，第106页]，适用于等式45，作为三个总和∞Xn=MP DFII（n）≈Z∞MP DFII（x）dx+P DFII（M）+mXj=1B2j（2j）！P DFII（2j-1） （十）∞M、 顶部（2j）在哪里- 1） 是导数阶数和B~Jare-Bernoulli数。这个近似值的误差等于2m=（2m+1）！Z∞M\'B2m+1（x）P DFII（2m+1）（x）dx，其中\'B2m+1（x）=B2m+1（x）-bxc）是2m+1次的伯努利多项式。“B2m+1（x）”在符号中交替出现。如果P DFII（2m+1）（x）在[M]上是单调的，∞),然后，误差| R2m |的评估只需要计算第一个省略项：|R2m |不超过该项绝对值的两倍。FirstCommand和前两个Summand之和等于Z∞Mkbe-（bx+a）-k（bx+a）k+1dx=Z-（bM+a）-keydy=1- E-（bM+a）-k、 Z∞MP DFII（x）dx+P DFII（M）=1- E-（bM+a）-K1.-kb2（bM+a）k+1.对于第三项和| R2m |我们需要（2m+1）的导数。Letf（x）=V（x）S（x）=f（0）=V（0）S（0），V（0）=kbe-（bx+a）-k、 S（0）=（bx+a）-K-1.莱布尼茨公式[56，第236-238页]给出f（n）=Pni=0CniV（n）-i） S（i）。上面定义了S（0），S（1）=b(-K- 1） （bx+a）-1S（0），我们猜s（n）=bn（bx+a）-nS（0）nYi=1(-K- i） 。对于n=0，1是有效的。让它在n>1时有效。然后，对于n+1，公式给出S（n+1）=bn+1（bx+a）-N-1S（0）Qn+1i=1(-K-i） 。然而，差分off（n）给出了相同的结果：bnQni=0(-K-（一）[-nb（bx+a）-N-1S（0）+（bx+a）-nb(-K-1） （bx+a）-1S（0）]=bn+1（bx+a）-N-1S（0）Qni=1(-K- （一）(-K- （n+1））。这就完成了S（n）的数学归纳证明。

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