将波动率微笑纳入马尔可夫函数模型

由于可以自由选择状态变量的函数形式，MFM模型保留了对相关市场价格进行精确校准的优势。此外，由于可以自由选择波动过程τ（t），MFM模型能够在一定程度上控制状态转换。我们将在以下章节中更详细地讨论这些方面。2.2马尔可夫函数利率模型本节解释了马尔可夫函数模型的细节，并基于Hunt KennedyPelsser[12]、Pelsser[19]和Regenmortel[23]。2.2.1 MF模型的假设o假设1时间t的经济状态完全通过一些低维马尔可夫过程描述，该过程将用X（t）表示。一种方便且典型的工艺选择如下表dx（t）=τ（t）dWN+1t，（2.13）关于Pn（t）、Sn（t）和Qn，N+1的定义，请参考附录A.1。有关马尔科夫性质的详细信息，请参阅Oksendal[15]第7章。在本报告中，我们关注的是掉期货币基金模型，而不是伦敦银行同业拆借利率货币基金模型，两者都以相同的方式工作。6马尔可夫函数模型，其中τ（t）是确定性函数。因此，这对应于单因素MF模型。实际上，在整个报告中，我们坚持一维MF模型。更具体地说，我们假设基准贴现债券DN+1（t，X（t））是X（t）的函数。这意味着DN+1完全由X（t）决定。通过应用鞅性质，可以证明，对于所有k，每个贴现债券Dk（t，X（t））≤ N+1是X（t）的函数：Dk（t，X（t））DN+1（t，X（t））=EN+1t[Dk（Tk，X（Tk））DN+1（Tk，X（Tk））]=EN+1t[DN+1（Tk，X（Tk））]。

（2.14）注EN+1t（·）=EN+1（·| FXt），其中FXt是X在[0，t]上生成的信息。以X（t）=XT为条件，随机变量X（s）如下所示：≥ t、 具有均值和方差的正态概率分布τ（u）du。给定X（t）=xt的X（s）的概率密度函数用φ（X（s）|X（t）=xt表示，可以表示为φ（X（s）|X（t）=xt）=exp(-（十）-xt）Rstτ（u）du）q2πRstτ（u）du。（2.15）o假设2终端互换率Sn（Tn，x），对于所有n=1，N、 是x.2.2.2的严格单调递增函数吗？MF中的模型是什么？备注：从现在起，我们将使用附录A.2中定义的简化符号。利率模型应该能够描述未来收益率曲线的分布，其基本数量是贴现债券。对于百慕大互换期权的定价，更方便的方法是使用互换马尔可夫函数模型，该模型根据基础欧洲互换期权进行校准。粗略地说，通过关系式（见方程式A.4和A.2）Sn（Xn）=Dn（Xn）- DN+1（Xn）Pn（Xn）=1- DN+1（Xn）PN+1k=n+1αk-1Dk（Xn），（2.16）我们应该确定Dk（Xn）的功能形式，如图2.1所示，以便Sn（Xn）满足其市场分布。

实际上，我们只需要确定数字贴现债券DN+1（Xn）的函数形式，即图2.1中的阴影状态变量，因为所有其他贴现债券的函数形式可以通过方程2.14和2.15确定，Dk（Xn）=DN+1（Xn）EN+1Tn[DN+1（Xk）]=DN+1（Xn）Z∞-∞DN+1（y）φ（y | Xn）dy，（2.17），其中φ表示Xn=Xn上Xkconditional的概率密度函数。关于推导，请参考附录C.1.2.2马尔可夫函数利率模型7图2.1：我们感兴趣的状态变量（N=10）。总之，给定一个特定的X（t）过程，我们确定了DN+1（Xn）的函数形式，这样模型就可以根据欧洲互换期权的市场价格进行校准。2.2.3 Black-Scholes数字映射假设终端交换率Sn（Tn）为对数正态分布，因此不考虑smile，让我们来说明从Xn到DN+1（Xn）的映射。为了相对简单的支付，我们通过数字交换进行地图绘制。这就是为什么它被称为“数字地图”。由于上述对数正态假设，这里的数字地图称为“Black-Scholes数字地图”。计价贴现债券DN+1（Xn）（n=n，…，1）的函数形式是通过从Tn到T的反向归纳过程确定的。首先，数字接收器互换期权在时间0时的价值，即DSNn（0；K）＝Pn（0）Φ（log（K/Sn（0））＋σnTn′σn给出√Tn）。（2.18）如附录A.1（见方程式A.11）所述，连续罢工的数字掉期期权值意味着基础掉期利率的终端密度。在布莱克-斯科尔斯世界，这被认为是对数正态分布。另一方面，期权的价值可以在终端度量QN+1asDSNn（0；K）=DN+1（0）EN+1[I{Sn（Xn）<K}Pn（Xn）DN+1（Xn）]下表示。

（2.19）有关数字交换选项的详细信息，请参阅附录A.1。有关详细信息，请参阅附录A.1。注意：如果我们想根据市场需求校准模型，这是我们在数字地图中唯一应该改变的地方。更具体地说，我们使用另一个期权定价模型的数字互换公式来模拟市场分布。8马尔可夫函数模型2根据第2.2.1节中的假设2，我们得到Sn（Xn）是Xn的一个严格单调递增函数，这意味着我们可以反转函数得到一个{Sn（Xn）<K}<=> {Xn<Xn}。因此，DSNn（0；K）可以重写为DSNn（0；K）=DN+1（0）EN+1[I{Xn<Xn}Pn（Xn）DN+1（Xn）]，（2.20），我们用一个新符号^DSNn（0；Xn）代替原来的符号DSNn（0；K）。应用鞅性质toPn（Xn）DN+1（Xn），我们将得到^DSNn（0；Xn）=DN+1（0）EN+1[I{Xn<Xn}EN+1Tn[Pn（Xn+1）DN+1（Xn+1）]=DN 1（0）Zxn-∞[Z]∞-∞Pn（y）DN+1（y）φ（y | z）dy]φ（z）dz，（2.21），其中φ表示Xn=Xn上Xn+1条件的概率密度函数，φ表示Xn的概率密度函数。注：pn（Xn+1）DN+1（Xn+1）的函数形式可通过方程式A.3确定。因此，^DSNn（0；xn）可以至少在数值上评估xn的不同值，其对应于市场上观察到的不同K值。等于2.18和2.21，我们得到Sn（xn）=K=Sn（0）exp(-\'σnTn+\'σnpTnΦ-1（^DSNn（0；xn）Pn（0）））。（2.22）当Xn是Xn的某个值时，我们推广了方程2.22，得到了sn（Xn）的函数形式。Sn（Xn）=Sn（0）exp(-\'σnTn+\'σnpTnΦ-1（^DSNn（0；Xn）Pn（0）））。（2.23）然后，DN+1（Xn）的函数形式可以通过重写方程2.16DN+1（Xn）=1+Sn（Xn）Pn（Xn）DN+1（Xn），（2.24）其中Pn（Xn）DN+1（Xn）已经在方程2.21.2.2.4数值解中计算出来。实际上，MF模型是在晶格上求解的。

对于每个浮动重置日期Tn，我们从中选择2M+1个Xnfrom值-m×σXnto m×σXn，或等效-M×nto M×n带步长n、 见图2.2，其中m=m×（间隔长度中的步数等于1σXn）n=σXn等于1σXn（2.25）的区间长度中的步数=qRTnτ（u）d等于1σXn的区间长度中的步数，σXn表示Xn的标准偏差。2.3波动率函数和终端相关性9图2.2:Xn的晶格（N=10）。MF模型的实现在很大程度上依赖于使用数值积分例程评估期望值。Pelsser[18]介绍了采用的数值积分，其概述如下：o应用Neville算法在网格上定义的支付函数中拟合多项式；o解析计算多项式对高斯分布的积分。2.3波动函数和终端相关性2。3.1波动函数和终端相关性百慕大掉期期权的价格强烈依赖于基础掉期利率Sn（Tn）的联合分布或终端相关性。通过对log Sn（Xn）进行一阶泰勒展开，我们可以得到以下线性近似值。它的精度足以使Xnclose为零，其中大部分概率质量集中。对数序列号（Tn，Xn）≈ 对数序列号（Tn，x）|x=0+Xn 对数序列号（Tn，x）x | x=0=constant1+constant2×Xn。（2.26）因此，对于n<k，我们大约有corr（log Sn（Tn），log Sk（Tk））≈ Corr（Xn（Tn），Xk（Tk））。（2.27）问题反过来转化为寻找过程X（t）的自相关性。Pelsser[19]受到Hull White模型的启发，该模型的短速率过程r（t）遵循dr（t）=（θ（t）- ar（t））dt+σdW（t）。

（2.28）该方法的详细解释见附录B。有关Neville算法的详细信息，请参阅“C++中的数字配方”[21]第3.1节。本节基于Pelsser[16][19]。您将在第3.2.3.10节马尔可夫函数模型2中看到这种近似的有效性检查。通过一些代数，我们根据平均回归参数a，通过关系式corr（r（t），r（s））推导出短期利率的自相关结构=qtsif a=0qe2at-1e2as-1如果a 6=0，（2.29）对于t<s。如果我们将方程2.13中的X（t）过程的波动函数设置为τ（t）=eat，（2.30），我们将得到过程X（t）Corr（X（t），X（s））的自相关性的等价表达式=qtsif a=0qe2at-1e2as-1如果a 6=0，（2.31）表示t<s。因此，参数a可以解释为过程x（t）的平均回归参数。我们可以从方程2.31中看出，增加均值回归参数a具有降低不同流入日期Tn的X（Tn）值之间的自相关性的效果。因此，增加均值回归参数会降低终端掉期利率Sn（Tn）之间的自相关性。2.3.2由于其他外来资产的流动性不佳，均值回归参数的估计利率衍生品包含共同终端互换利率的终端相关性信息，我们只需通过历史数据分析来估计终端相关性。对数Sn（Tn）和对数Sk（Tk）的相关性，对于n<k，相当于它们的对数差异logSn（Tn）Sn（0）和logSk（Tk）Sk（0）的相关性。这是因为Sn（0）和Sk（0）在今天是已知的，用它除法是一种标准化。一种方法是通过分析logst+Tn（t+Tn）st+Tn（t）和logst+Tk（t+Tk）st+Tk（t）的最近历史时间序列来估计相关性。

然而，由于计算差异需要较长的滞后时间，这种方法得出的估计值具有较大的标准偏差（见[16]）。因此，我们转而分析具有较短滞后的时间序列，即logst+Tn（t+u） st+Tn（t）和LOGST+Tk（t）+u） st+Tk（t），其中u代表滞后大小。如果U→ 我们实际上是在分析具有微小滞后的时间序列，即d log st+Tn（t+u）和d log st+Tk（t+u）。如果我们坚持对数正态假设，即（dSTn（u）=σnSTn（u）dWn，N+1udSTk（u）=σkSTk（u）dWk，N+1u，（2.32），通过应用它的^o引理，我们将得到（d log STn（u）=σndWn，N+1u）-σndud log STk（u）=σkdWk，N+1u-σkdu，（2.33）有关推导，请参考附录C.2。有关推导，请参考附录C.2。本节基于Pelsser[16]。注：我们使用小写字母s表示掉期利率的时间序列，因为它们是市场报价。2.4马尔可夫函数下的百慕大互换期权定价11如果我们应用Girsanov变换，即我们设置（dWu=dWn，N+1u-σndudWu=dWk，N+1u-σkdu，（2.34）其中wu和wu表示新度量下的布朗运动，我们将得到（d log STn（u）=σndWud log STk（u）=σkdWu。（2.35）让我们表示WuWu和Wubyρ之间的瞬时相关性，即dWudWu=ρdu。（2.36）那么我们感兴趣的相关性可以表示为asCorr（logSTn（Tn）Sn（0），logSTk（Tk）Sk（0））=Corr（Wu（Tn），Wu（Tk））=ρrTnTk。（2.37）因此，问题转化为瞬时相关性ρ的历史估计。实际上，我们可以通过选择尽可能小的滞后大小来近似估计ρu、 也就是说，有一天。

这种方法的有效性取决于对数正态假设的有效性，以及通过历史上每天估计相关性来近似瞬时相关性的有效性。2.4马尔可夫函数下的百慕大互换期权定价在本节中，我们首先讨论评估美国式期权的一般反向归纳法，然后说明MF框架下的定价程序。2.4.1离散时间模型中的美式期权定价让我们在掉期/掉期期权上下文中表达所有内容。假设我们在某个风险中性度量Q下，以B（t）为基准，允许美式互换期权在任何浮动重置日期Tn（n=1，…，n）行使。然后，时间Tn的美式交换选项BSN（Tn；K）的值可以按如下[24]向后计算，BSN（Tn；K）=ESNN（Tn；K）BSN（Tn-1.K） B（Tn）-1） =max{ESNn-1（Tn）-1.K） B（Tn）-1） ，EQTn-1[BSN（Tn；K）B（Tn）]}（2.38）BSN（0；K）=B（0）EQT[BSN（T；K）B（T）]。有关Girsanov定理的详细信息，请参阅Bjork[3]第11章。在实际测量和风险中性测量下，瞬时相关性ρ是相同的，因为这两种测量下的动力学仅因漂移项而不同。应用于一组离散时间点的美式期权实际上仍然是百慕大期权，因此我们在这里使用符号BSN。12马尔可夫函数模型2，其中到期时欧洲掉期期权的支付额tnissnn（Tn；K）=max{SV（Tn；K），0}，（2.39），其中SV（Tn；K）是时间Tn时的掉期价值（见a.1节的符号）。2.4.2百慕大掉期期权定价与MF模型图2.3：伦敦同业拆借利率“树”与MF模型。假设N=4，在数字映射之后有LIBOR“树”，如图2所示。3.我们可以计算相应的掉期价值“树”和期权估值“树”，分别如图2.4和2.5所示。

换句话说，我们应该确定sv（Xn；K）DN+1（Xn）和BSN（Xn；K）DN+1（Xn）的函数形式，以确定今天的期权价值BSN（0；K）。货币贴现掉期价值SV（Xn；K）DN+1（Xn）的函数形式可以通过图2.4：MF模型的掉期价值“树”确定。BSN（Tn；K）B（Tn）实际上是一个Q-超复数，意思是eqtn[BSN（Tn+1；K）B（Tn+1）]6BSN（Tn；K）B（Tn）。Ln（Xn）由方程式A.1确定。显然，得到SV（Xn；K）DN+1（Xn）和BSN（Xn；K）DN+1（Xn）的函数形式比得到SV（Xn；K）和BSN（Xn；K）的函数形式更方便。2.4马尔科夫函数13反向归纳下的百慕大互换期权定价：SV（Xn+1；K）DN+1（TN+1）=SV Xn+1；K）=~n[αN（r（Xn）- K） [SV（Xn；K）DN+1（Xn）=EN+1Tn[SV（Xn+1；K）DN+1（Xn）]-1（r（Xn）-1) - K） ]DN+1（Xn）（2.40）SV（0；K）DN+1（0）=EN+1[SV（X；K）DN+1（X）]，其中支付方掉期为1，接收方掉期为-1。注：T时无现金兑换。图2.5：MF模型的期权价值“树”。从TNT到TNT，可以反向确定基准贴现期权价值BSN（Xn；K）DN+1（Xn）的函数形式：如果TN不是行使日期，则我们有BSN（Xn；K）DN+1（Xn）=EN+1Tn[BSN（Xn+1；K）DN+1（Xn+1）]。（2.41）如果TN是一个锻炼日期，我们有BSN（Xn；K）DN+1（Xn）=max{ESN（Xn；K）DN+1（Xn），EN+1Tn[BSN（Xn+1；K）DN+1（Xn+1）]max{max[SV（Xn；K）DN+1（Xn），0]，EN+1Tn[BSN（Xn+1；K）DN+1（Xn+1）]}=max{SV（Xn；K）DN+1（Xn；K）DN+1（Xn），EN+1）DN+1（Xn+1）n+1），其中，n+2+BSN+1=0。现在我们可以获得今天的百慕大互换期权值BSN（0；K）。BSN（0；K）=DN+1（0）EN+1[BSN（X；K）DN+1（X）]。（2.43）波动率的整合。1将波动性微笑纳入MF模型在MF模型中，微笑可以非常自然地纳入。

这需要什么，isa模型在给定有限数量的市场报价的连续罢工中获得互换期权价格。3.1.1隐含波动率的内插人们想到的第一种方法是保持Black-Scholes映射，并对市场报价进行内插/外推，以获得隐含波动率随罢工而变化的连续性，即‘∑n（K）。然后，假设第2.2.1节中的假设2仍然成立，我们唯一需要改变的是第2节中描述的映射过程。2.3是用∑n（Sn（Xn））代替等式2.23中的∑。更准确地说，我们用数值方法求解以下方程，即Sn（Xn），Sn（Xn）=Sn（0）exp{-\'\'σn（Sn（Xn））Tn+\'\'σn（Sn（Xn））pTnΦ-1（^DSNn（0；Xn）Pn（0））}。（3.1）在参考文献[14]中，使用了一种方法来插值与中间行权相对应的价格，以便保留ATM欧洲掉期期权的价格。然而，正如Johnson[14]所指出的，这些平滑方法可能并不完全满足无套利约束。3.1.2不确定波动率置换扩散模型另一种方法是将数字映射建立在包含微笑的期权定价模型的基础上。换句话说，我们使用另一个分布而不是对数正态分布来近似掉期利率的终端密度，这使得我们能够很好地预测市场中观察到的波动率。在本项目中，我们将使用Brigo Mercurio Rapisarda[6]提出的不确定波动率置换扩散模型（以下简称UVDD）。在对数正态情况下，σ为常数。16波动率的整合在下文中，我们将首先描述置换扩散模型，它是对数正态模型的最简单扩展，可以包括倾斜效应。