基于马尔可夫调制利维动力学的货币衍生品定价

（41）让Ji（t，t）表示在[t，t]期间处于Ei状态的ξ的占据时间，t<t。我们引入了几个新的量，将在未来的计算中使用：Rt，T=T- tZT（rds）- rfs）ds=T- tnXi=1（rdi- rfi）Ji（t，t），（42）其中Ji（t，t）：=RTt<ξs，ei>ds；Ut，T=T- tZTtσsds=T- tnXi=1σiJi（t，t）；(43)λθ*Jt，T=T- tnXi=1λθ*JiJi（t，t）；(44)λθ*t、 t=t- tZTt（1+kθ）*Js）λθ*Jsds=T- tnXi=1（1+kθ*Ji）λθ*JiJi（t，t）；（45）Vt，T，m=Ut，T+mσJT- t、 （46）式中σJis是跳跃分布的方差。Rt，T，m=Rt，T-T- tZTtλθ*Jskθ*Jsds+T- tZTlog（1+kθ）*Js）T- tds=（47）Rt，T-T- tnXi=1λθ*Jikθ*冀+山- tnXi=1log（1+kθ）*Ji）T- tJi（t，t），其中m是区间[t，t]中的跳跃数，n是马尔科夫链ξ的状态数。注意，在我们的考虑中，上述所有通用公式（42）-（47）都因以下事实而简化：kθ*对于新的风险中性度量，Jt=0，Esscher变换参数由（39）、（40）给出。

根据inMerton（1976，[29]）的定价公式，让我们定义（见[8]）π（S，K，T；R0，T，U0，T，λθ*0，T）=∞Xm=0e-Tλθ*,J0，T（Tλθ）*0，T）嗯！×（48）BS（S，K，T，V0，T，m，R0，T，m），其中BS（S，K，T，V0，T，m，R0，T，m）是标准的布莱克-斯科尔斯价格公式（见[6]），包含初始即期外汇汇率S、履约价格K、无风险利率r、波动率平方σ和时间T。然后，欧式看涨期权定价公式的形式为∏（S，K，T）=Z[0，T]n∏（S，K，T；R0，T，U0，T，λΘ）*,J0，T）×（49）ψ（J，J，…，Jn）dJ。。。dJn，其中ψ（J，J，…，Jn）是占用时间的联合概率分布密度，由以下特征函数确定（见[14]）：经验胡，J（t，t）i= hexp{（π+diag（u））（T- t） }·E[ξ]，1i，（50）式中1∈ Rn是1的向量，u=（u，…，un）是变换变量的向量，J（t，t）：={J（t，t），…，Jn（t，t）}。3对数双指数过程的货币期权定价Zt的对数双指数分布-（eZt）-- 1是（2）中的跳跃，在数学金融中起着基础作用，描述了一段时间内的即期汇率变动。它由密度函数的以下公式定义：ν（x）=pθe-θx十、≥0+(1 - p） θeθxx<0。（51）这个分布的平均值是：平均值（θ，θ，p）=pθ-1.- pθ。（52）该分布的方差为：var（θ，θ，p）=2pθ+2（1）- p） θ-pθ-1.- pθ. （53）Kou在[24]中首次研究了双指数分布。他还提出了在数学金融中使用这种分配的经济理由。双指数分布有两个有趣的性质：轻量级特征（见[22]，§3；[24]）和无记忆性质（X的概率分布是无记忆的，如果对于任何非负实数t和s，我们有Pr（X>t+s | X>t）=Pr（X>s），见示例[45]）。

最后一个属性继承自指数分布。如果峰值（更高的峰度）高于正态分布，则统计分布具有轻量级特征。这个高峰值和相应的脂肪尾表明，与正态分布相比，分布更集中在平均值周围，标准偏差更小。有关厚尾分布及其在数学金融中的应用的详细信息，请参见[44]。轻量级分布意味着微小变化的可能性较小，因为历史价值以平均值为中心。然而，这也意味着在厚尾中，大的波动有更大的可能性。图1：双指数分布（绿色）与正态分布（红色），均值=0，偏差=2在[27]中，该分布适用于模糊环境下的资产定价模型。包括对数双指数分布跳跃在内的模型与L’evy过程所描述的其他模型（见[24]）相比，具有以下优点：1）该模型恰当地描述了股票和外汇市场的一些重要实证结果。双指数跳跃扩散模型能够反映收益分布的波动特征。此外，在[36]中进行的实证检验表明，对数双指数跳变扩散模型比对数正态跳变扩散模型更好地拟合股票数据。2） 为便于计算，该模型给出了显式解。3） 该模型具有经济性解释。4） 大量的实证研究表明，市场往往对好消息或坏消息反应过度或反应不足。模型的跳跃部分可以被认为是市场对外部消息的反应。在没有外部消息的情况下，资产价格（或即期外汇汇率）随时间呈几何布朗运动变化。

好消息（在我们的例子中，外汇市场的外部冲击）根据泊松过程到达，即期外汇汇率根据跳跃大小分布而变化。由于双指数分布既有高峰也有重尾，因此它可以用来模拟对外界新闻的过度反应（描述重尾）和反应不足（描述高峰）。5） 对数双指数模型是自洽的。在数学金融学中，这意味着模型是无套利的。制度转换埃舍尔变换参数族由（39）、（40）定义。让我们定义θJ，*t、 （第一个参数θc，*这与一般情况下的公式相同：ZRe（θJs+1）xpθe-θx十、≥0+(1 - p） θeθxx<0dx=（54）ZReθJsxpθe-θx十、≥0+(1 - p） θeθxx<0dx我们需要对（54）中积分的收敛性进行额外限制：-θ<θJt<θ。（55）那么（54）可以用以下形式重写：pθ- θJt- 1+(1 - p） θ+θJt+1=pθ- θJt+（1）- p） 我们得到了二次方程：（θJt）（pθ）- (1 - p） θ）+θJt（pθ+2θ）- (1 - p） θ）+（57）pθ+pθ- θθ+ θθ= 0.如果pθ- (1 - p） θ6=0我们有两个解，其中一个满足约束（55）：θJt=-pθ+2θ- (1 - p） θ2（pθ）- (1 - p） θ）±（58）p（pθ+2θ）- (1 - p） θ）- 4（pθ）- (1 - p） θ）（pθ+pθ- θ+θ）2（pθ- (1 - p） θ）那么泊松过程强度（见（19））是：λθ，Jt=λtpθ- θJt+（1）- p） θ+θJt. （59）在一般情况下，新的平均跳跃大小（见（20））为：kθ，Jt=0（60）。当我们进行一个新的风险中性度量Q时，我们得到了一个新的跳跃密度νν（x）=pθe-θx十、≥0+(1 - ~p）θeθxx<0。（61）新的概率p可以使用（36）：pθ计算-θJt-1+(1-p） θ+θJt+1pθ-θJt+（1）-p） θ+θJt=~pθ- 1+(1 - ~pθ）θ+1。（62）从（62）中，我们得到了一个明确的公式-θJt-1+(1-p） θ+θJt+1pθ-θJt+（1）-p） θ+θJt-θθ+1θθ-1.-θθ+1.

（63）4对数正态过程的货币期权定价[8]研究了跳跃的对数正态分布与uj均值、σj偏差（见[46]）及其在货币期权定价中的应用。有关这些分配以及适用于外汇市场的其他分配的更多详细信息，请参见[47]。我们在这里给出了[8]结果的简图，将其与本文讨论的跳跃对数双指数分布的情况进行比较。本文的主要目的是将这个结果推广到任意L’evy过程。[8]区域提供的结果如下：定理2.3。为了0≤ T≤ T（9）中定义的埃舍尔变换的密度Lθc，θJt由θc，θJt=exp给出ZtθcsσsdWs- 1/2Zt（θcsσs）ds×（64）经验ZtθJs-Zs-域名解析-ZtλseθJsuJ+1/2（θJsσJ）- 1.ds,式中，uJ，σJ分别为跳跃的平均值和偏差。此外，therandom-Esscher变换密度Lθc，θJt（参见（9）、（10））是指数（Ht）0≤T≤t满足以下SDEdLθc，θJtLθc，θJt-= θctσtdWt+（eθJt-Zt-- 1） dNt- λteθJtuJ+1/2（θJtσJ）- 1.dt。（65）定理2.4。让随机埃舍尔变换由（9）定义。那么鞅条件（对于Sdt，见（5））成立的当且仅当马尔可夫调制参数（θct，θJt，0≤ T≤ T）满足所有0≤ T≤ 条件：rfi- 对于所有i，1，rdi+ui+θciσi+λθ，Jikθ，Ji=0≤ 我≤ Λ. （66）其中泊松过程的随机Esscher变换强度λθ，jire和平均跳跃大小百分比kθ，jire分别由λθ，Ji=λieθJiuJ+1/2（θJiσJ），（67）kθ，Ji=euJ+1/2σJ+θJiσJ给出- 1对于所有i.（68），满足鞅条件（66）的区域切换参数由以下公式给出：θc，*与（39）中的相同，θJ，*我=-uJ+1/2σJσJ对于所有i.（69），具有这样一个参数θJ的值，*i:kθ*,Ji=0，λθ*,Ji=λi-uJ2σJ+σJ尽管如此。

（70）注意，这些公式（67）-（70）直接遵循我们对于一般L’evy过程的公式（见（19）、（20）、（40））。特别是，kθ*,Ji=0，将（40）代入kθ的表达式，Jiin（20）。从（40）我们得出：RRe（θJ，*i+1）xν（dx）RReθJ，*ixν（dx）=1（71）AsZReθJ，*ixν（dx）=p2πσJZReθJ，*伊克斯-（十）-uJ）2σJdx=e（σJθJ，*i） +θJ，*iuJ（72）我们从（71）中得到以下等式：e（σJ）（θJ，*i+1）+（θJ，*i+1）uJ=e（σJθJ，*i） +θJ，*iuJ.（73）埃舍尔变换参数θJ值的表达式，*iin（69）紧跟在（73）之后。插入θJ的这个值，*对于λθ的表达式，我们得到了公式（70）。在数值模拟中，我们假设隐马尔可夫链有三种状态：向上、向下、侧向，并使用13年期间的实际外汇数据计算相应的汇率矩阵：2000年1月3日至2013年11月。为了计算所有概率，我们使用Matlab脚本（见附录）。5数值模拟在图2-4中，我们将提供跳跃幅度由对数双指数分布描述的情况下的数值模拟。这三张图显示了欧洲看涨期权价格对S/K的依赖性，其中S是初始即期汇率，K是不同到期时间T年的履约汇率：0.5、1、1.2。我们在Matlab中使用以下函数：Draw（S_0，T，approx_num，steps_num，teta_1，teta_2，p，mean_normal，sigma_normal）来绘制这些图。

该函数的参数是：S/K比率中定义第一点的起始点FXrate，T是到期时间，Abrox num描述在欧洲看涨期权定价公式中计算积分平均值的尝试次数（见第2节（49）），steps num表示在（49）中计算积分的时间间隔次数；teta 1，teta 2，p是对数双指数分布中的θ，θ，p参数（见第3节，（51））。平均正态分布、西格玛正态分布是对数正态分布的平均值和偏差（见第4节）。在这三个图中：θ=10，θ=10，p=0.5；平均正常值=0，西格玛正常值=0.1。蓝线表示对数双指数，绿线表示对数正态，红线表示无跳跃的绘图。S/K比范围为0.8至1.25，阶跃为0.05；期权价格范围为0到1，阶梯为0.1。时间间隔数：num=10。从这三个图中，我们得出结论，将跳跃风险纳入即期汇率模型是很重要的。由Black-Scholes方程（无跳跃）描述，图中的红线明显低于蓝线和绿线，分别代表跳跃的对数双指数分布和对数正态分布。对于两种类型的跳跃：对数正态和对数双指数，所有三个图的平均值均为0，偏差大致相等。

当它不成立时，我们调查该案例（见图5-7）。正如我们所见，对数双指数曲线相对于对数正态和无跳跃期权价格上升。如果我们将对数双指数分布中的θ参数值乘以s/K=1，相应的曲线图如图8所示。图9显示了欧式看涨期权价格与对数双指数分布中参数θ、θ值之间的依赖关系，同样S/K=1。所有绘图的Matlab脚本可根据要求提供图2:S=1，T=0.5，θ=10，θ=10，p=0.5，平均正常值=0，西格玛正常值=0.1图3:S=1，T=1.0，θ=10，θ=10，p=0.5，平均正常值=0，西格玛正常值=0.1图4:S=1，T=1.2，θ=10，θ=10，p=0.5，平均正常值=0，西格玛正常值=0.1图5:S=1，T=0，T=0.5，θ=0，平均值=0，p=0.0，西格玛正态分布=0.1图6:S=1，T=1.0，θ=5，θ=10，p=0.5，平均正态分布=0，西格玛正态分布=0.1图7:S=1，T=1.2，θ=5，θ=10，p=0.5，平均正态分布=0，西格玛正态分布=0.1图8:S=1，T=0.5，θ=10，p=0.5图9：欧洲看涨期权价格：S=1，T=0.5，p=0.56结论：，我们将[8]的结果推广到FXrate的动力学由一般的L’evy过程驱动的情况。我们的主要研究结果如下：1）我们推广了[8]中关于Esscher变换参数的公式，这些公式确保了贴现汇率的鞅条件是广义过程的鞅。利用这些参数的值，我们进行了风险神经测量，并提供了跳跃分布、平均跳跃大小和与测量有关的泊松过程强度的新公式。

还给出了欧洲看涨外汇期权的定价公式（它们与[8]中的公式类似，但新的风险中性度量的平均跳跃大小和泊松过程强度不同）；2） 我们将所得公式应用于对数双指数过程的情形；3） 我们还提供了不同参数的欧洲看涨外汇期权价格的数值模拟。还提供了用于期权价格数值模拟的Matlab函数代码。参考文献[1]亚当斯·P.和怀亚特·S.（1987）：期权价格的偏差：来自外汇期权市场的证据。J.银行和金融，12月11日，549-562。[2] Ahn C.，Cho D.和Park K.（2007）：跳跃扩散过程下的外币期权定价。J.期货市场，27,7669-695。[3] Amin K.和Jarrow R.（1991）：在随机利率下的外汇期权定价。实习医生。《货币与金融》，10310-329。[4] 贝茨，D.S.，1996年。跳跃和随机波动：德国马克期权中隐含的汇率过程。金融研究综述9，69-107。[5] Benth F.，Benth J.和Koekebakker S.（2008）：电力和相关市场的随机建模。世界科学[6]比约克·T.（1998）：连续时间套利理论。第二版牛津大学出版社。[7] 布莱克、F.和M.肖特。（1973）：期权定价和公司负债，政治经济学杂志81637-659。克拉克，P。。1973，从属随机[8]Bo L.，Wang Y.和Yang X.（2010）：货币期权定价的马尔可夫调制跳差。保险：数学与经济学，46461-469。[9] Brace A.，Gatarek D.和Musiela M.（1998）：Heath，Jarrow和Morton的多因素Gauss-Markov实现。数学金融，7127-154。[10] Garman M.和Kohlhagern S.（1983）：外汇期权价值。J

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