投资组合质量的界限

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英文标题：
《Bounds on Portfolio Quality》
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作者：
Steven E. Pav
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  The signal-noise ratio of a portfolio of p assets, its expected return divided by its risk, is couched as an estimation problem on the sphere. When the portfolio is built using noisy data, the expected value of the signal-noise ratio is bounded from above via a Cramer-Rao bound, for the case of Gaussian returns. The bound holds for `biased\' estimators, thus there appears to be no bias-variance tradeoff for the problem of maximizing the signal-noise ratio. An approximate distribution of the signal-noise ratio for the Markowitz portfolio is given, and shown to be fairly accurate via Monte Carlo simulations, for Gaussian returns as well as more exotic returns distributions. These findings imply that if the maximal population signal-noise ratio grows slower than the universe size to the 1/4 power, there may be no diversification benefit, rather expected signal-noise ratio can decrease with additional assets. As a practical matter, this may explain why the Markowitz portfolio is typically applied to small asset universes. Finally, the theorem is expanded to cover more general models of returns and trading schemes, including the conditional expectation case where mean returns are linear in some observable features, subspace constraints (i.e., dimensionality reduction), and hedging constraints.
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中文摘要：
p资产组合的信噪比，其预期收益除以风险，被描述为球面上的一个估计问题。当使用噪声数据构建投资组合时，对于高斯回报的情况，信噪比的预期值通过Cramer-Rao界由上而下。“有偏”估计量的界成立，因此，对于最大化信噪比的问题，似乎不存在偏差-方差权衡。给出了Markowitz投资组合的信噪比的近似分布，并通过蒙特卡罗模拟证明，对于高斯收益以及更奇异的收益分布，该分布相当准确。这些发现意味着，如果最大总体信噪比的增长速度慢于宇宙大小的1/4次方，则可能没有多元化的好处，而预期的信噪比会随着额外资产的增加而降低。作为一个实际问题，这或许可以解释为什么马科维茨投资组合通常适用于小型资产领域。最后，该定理被扩展以涵盖更一般的收益和交易方案模型，包括条件期望情况，其中平均收益在一些可观察特征中是线性的，子空间约束（即维度缩减）和对冲约束。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
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2022-5-14 21:03:04 上传

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关键词：投资组合 distribution Quantitative Optimization Constraints

投资组合质量的界限Steven E.Pav*2018年8月28日摘要p资产组合的信噪比（其预期收益除以其风险）在sphere Sp上表示为一个估计问题-1.当使用噪声数据构建投资组合时，对于高斯回报的情况，信号噪声比的预期值通过克拉姆-拉奥界从上而下。“有偏”估计量的界成立，因此，对于最大化信噪比的问题，似乎没有偏差-方差权衡。本文给出了马科维茨投资组合的信号噪声的近似分布，并通过蒙特卡罗模拟证明，对于高斯收益和更为奇异的收益分布，该分布是相当准确的。这些发现意味着，如果最大总体信噪比的增长速度慢于宇宙大小对功率的增长速度，则可能不会产生分流效益，而预期的信噪比会随着额外资产的增加而降低。作为一个实际问题，这或许可以解释为什么马科维茨投资组合通常适用于小型资产。最后，该定理被扩展以涵盖更一般的收益和交易方案模型，包括条件期望情况，其中平均收益在一些可观察特征中是线性的，子空间约束（即维度缩减）和对冲约束。1简介假设p资产的预期收益率为u，收益协方差为∑，则投资组合定义为ν*=df∑-1u，（1）被非正式地称为“马科维茨投资组合”，在投资组合理论中起着核心作用。[20,3]在规模上，它解决了经典的均值-方差优化，以及（总体）夏普比最大化问题：maxνν>u√ν>Σν. （2） 在实践中，马科维茨投资组合的声誉受损，而且很少（如果有的话）在未经修改的情况下使用。

未知的人口参数u和∑必须根据样本进行估计，从而产生价值可疑的可行投资组合。米肖甚至把均值-方差优化称为“误差最大化”[23]取而代之的是，人们提出了许多投资组合构建方法来取代马科维茨的投资组合，有些*spav@alumni.cmu.edu作者感谢罗摩克里希纳·卡卡拉分享他的研究成果。基于修补推测的理论缺陷，其他人则依赖简单的神经学。[7,30,3]实践工作者通常采用降维启发法来缓解估计误差，有效地减少了组合优化问题中的自由变量数量。这种策略的一个版本将数十种甚至数百种股票的回报描述为少数“因子”回报（加上一些“特殊”术语）的线性组合；然后将投资组合问题归结为对要素投资组合的优化。如果确定了总体参数，缩小可行投资组合的集合只会降低最优投资组合效用。然而，总体参数通常只能进行弱估计，降维是常见的做法。在本文中，一个上界是建立在一个可行投资组合的信噪比的预期值上的，定义为投资组合的预期收益除以其风险，收益和风险使用（未知）总体参数来衡量，以及用于估计投资组合的样本实现的“预期值”。这个界限平衡了“效应大小，\'pnu>∑”-1u，随着资产数量的增加，p和justifies以某种形式减少了维度。

例如，可以确定，如果通过向投资领域添加额外资产，pu>∑-1u以低于p1/4的速率增长，预期信噪比的上限会降低。2投资组合信噪比T x是p资产的相对收益向量，期望值为u，协方差为∑。这些资产的投资组合的预期收益率为^ν>u，方差为∑ν>u。将投资组合的信噪比定义为投资组合收益率的信噪比：x:q（^ν）=df^ν>up^ν>∑^ν（3）人们可以将信噪比视为投资组合的一种“质量”指标，如下所示：未来收益率的夏普比统计在所定义的信噪比中是“随机单调的”，即如果q（^ν）≤ q（^ν）然后^ν>x（一阶）的夏普比随机决定了^ν>x的夏普比。请注意，投资组合信噪比受总体马科维茨投资组合实现的信噪比的限制*:|q（^ν）|≤ ζ*=dfpu>∑-1u=q（ν）*) = QΣ-1u. （4） 我们可以在“风险空间”中通过引入一个风险变换来几何地解释投资组合信噪比：q（^ν）=^ν>∑-1up^ν>∑∑ν=Σ>/2^ν>Σ>/2ν*QΣ>/2^ν>Σ>/2^ν. （5） 现在通过q（^ν）可以取的最大绝对值进行归一化：q（^ν）ζ*=Σ>/2^ν>Σ>/2ν*QΣ>/2^ν>Σ>/2^νQΣ>/2ν*>Σ>/2ν*,=∑>/2^νqΣ>/2^ν>Σ>/2^ν>Σ>/2ν*QΣ>/2ν*>Σ>/2ν*,= 财政司司长∑>/2^ν>财政司司长Σ>/2ν*,式中fs（x）=dfx√x> x（6）是将非零向量x带到单位球面的投影算子。也就是q（^ν）/ζ*可以视为单位球面上两个向量的点积（假设^ν和ν*是非零向量），即fSΣ>/2^ν财政司司长Σ>/2ν*. 设θ为fS之间的夹角Σ>/2^ν财政司司长Σ>/2ν*,因此q（^ν）=ζ*cosθ。实际上，投资组合^ν是使用随机变量x的NI.i.d.观测值建立的。

用n×p矩阵X表示这些观测值，通过滥用旋转，用^ν（X）表示给定X的^ν的估计量。用同样的符号，写出θ（X）。我们将限制^ν（X）的期望值。为了吸引克拉姆-拉奥界，人们通常必须假设估计量是无偏的。对于这个问题，需要一个较弱的条件。假设2.1（方向独立性）。假设是这样∑>/2^ν（X）i=cnζ*财政司司长Σ>/2ν*+ bn（u，∑），（7），其中bn（u，∑）是与fS正交的“偏差”项Σ>/2ν*, 和可以是u和∑的任意函数。注意，通过bn（u，∑）和fS的正交性Σ>/2ν*, 期望值的线性，E[cosθ（X）]=Eq（^ν）ζ*= E财政司司长∑>/2^ν（X）>财政司司长Σ>/2ν*= cnζ*. （8） 因此| cn（x）|≤ 1，我们期望cn（x）≥ 0表示“理智”的投资组合估值器。此外，我们期望cn（x）→ 0作为nx→ 0，对于非零x，cn（x）→ 1 asn→ ∞.当bn（u，∑）是零向量时，该估计器在Watson的术语[15]中是“并行估计器”，或者在Hendricks的意义上是“无偏的”。[12,11]注意，等式7对于任何方向等变投资组合估值器都是满足的，即对于任何正交H，（H>H=Ip=HH>），一个具有XH>= H^ν（X）。然而，我们应该认识到，并不是所有的投资组合估值器都满足这个假设。例如，假设一个估值器的集中度永远不会大于p-其在任何一项资产中的总配置比例；该估计量不具有方向独立性，因为当ν*= ζ*e、 “一对N分配”估计器也不适用。[7] 我们必须排除其他“病理”病例。假设2.2（剩余独立性）。

假设剩余物的分布∑>/2^ν（X）- EhfS∑>/2^ν（X）iis独立于∑>/2ν*.这种假设可以防止我们对1/N分配做出错误的断言，例如，在1/N分配几乎等于ν的情况下*. [7] 设y为p-变量随机变量。Thentr（Var（y））=tr呃(y)- E[y]）（y- E[y]）>i,= trEyy>- trE[y]E[y]>,= Ey> y- E[y]>E[y]。（9） 通过方程7，并使用bn（u，∑）和fS的正交性Σ>/2ν*, 然后我们就有了变量财政司司长∑>/2^ν（X）= 1.-cnζ*+ b> n（u，∑）bn（u，∑）≤ 1.- cnζ*, （10） 我们将约束fS的方差∑>/2^ν（X）通过一个Cram’er-Rao下界，从而在cn上建立了一个上界ζ*.定义η=df∑>/2ν*= Σ-1/2u. （11） 注意η>η=u>∑-1u = ζ*. 使用方程式10左侧的Cram!er-Rao下界，然后使用期望中η的定义，我们得到[24]ntrDI-1ηD>≤ 1.- cnη>η, （12） 式中D=dfdcnη>ηη√η> ηdη。（13） 这里我们采用导数来遵循“分子布局”惯例，这意味着梯度是一个行向量。该导数的形式为d=cnη>ηpη>ηη>+cnη>ηIpη>η-ηη>η>η!. （14） 为了计算Fisher信息Iη，我们必须计算回报的可能性x。虽然正态分布对资产回报率来说是一个很差的函数[6]，但它是一个便于处理的分布。假设2.3（正常回报）。假设x是多元正态分布，x~ N（u，∑）。对于多元正态收益率，且以∑为条件，对数概率取形式log f（η| x）=c-（十）- u)>Σ-1（x）- u），=c（x）+η>∑-1/2倍-η> η，（15）从似然函数中删除“干扰参数”。FisherInformation是Hessian对η的对数可能性的负期望。在这种情况下，我们有simplyIη=-E对数f（η| x）ηη>= Ip。

（16） 这从根本上简化了解释，因为方程式12的克拉姆-拉奥界现在可以表示为NTRDD>≤ 1.- cnη>η. （17） 利用等式14中给出的D形式，并注意到交叉项是正交的，我们得到了DD>= trcnη>ηηη>+cnη>η“Iη>η”-ηη>(η>η)#!,=cnη>ηη> η+cnη>ηP- 1η>η，（18）使用以下事实：yy>= y> y.对于等式17，这给出cnη>ηη> η+cnη>ηP- 1η>η≤ N1.- cnη>η. （19） 术语cnη>ηη> η是非负的，所以我们可以舍弃它，得到一个不涉及cn:cn导数的粗碳化合物η>ηP- 1η>η≤ N1.- cnη>η. （20） 这个yieldscnη>η≤nη>ηp- 1+nη>η，（21）证明下列定理。定理2.4。设^ν（X）是基于多变量高斯收益X的NI.i.d.观测值的估计量，满足方向独立性和剩余独立性的假设。ThenE[q（^ν（X））]≤√nζ*聚丙烯- 1+nζ*. （22）定理2.4平衡了估计量p的“自由度”-1，其中一个丢失，因为只有方向重要，而“可观察的影响大小”，nζ*.影响大小是一个无单位的量。如果ζ*以交易日计算，则n应为交易日数；如果ζ*用“年化”的术语来衡量，那么n应该是年数。这个界限相当苛刻。考虑一个典型的积极管理的投资组合。慷慨地说，我们可以估计ζ*= 1年-1/2超过p=10的资产，使用n=5年的历史数据。那么q（^ν（X））的期望值以0.6年为界-1/2;如果出现同比亏损，则为“0.6西格玛”事件。定理2.4表明，对于比较投资而言，夏普比率平方的大小是一个限制因素，而不是夏普比率本身（假设它为正）。

也就是说，在定理的界下，ζ*= 2年-1/2是ζ的四倍“好”*= 1年-1/2，也就是说，这样的影响大小可以“平衡”四倍的自由度。3马科维茨组合信号噪声的近似分布在我们建立数量q（^ν）/ζ的近似分布之前*= 样本Markowitz投资组合的cosθ，^ν*=df^∑-1μu，其中∑，μu通常样本估计为∑和μ。通过假设∑的错误估计不会对投资组合造成误差来构造近似值。假设∑=∑，那么∑>/2∑*= Σ-1/2^u = Σ-1/2u +√新西兰，（23）其中z~ N（0，I）。然后，用q（^ν（X））/ζ*= cos（θ（X）），我们应该有cot（θ（X））=Σ-1/2u+√nzqnP2≤我≤pzi，（24），其中Zi是独立的标准正态随机变量。这可以用阿斯坦来表达阿辛q（^ν（X））ζ*~√P- 1t√nζ*, P- 1., （25）式中，t（δ，ν）是一个非中心t分布，具有非中心参数δ和ν自由度。近似值25表示以下近似值：q（^ν（X））~ ζ*Bnζ*,,P- 1., （26）其中，B（δ，p，q）是一个非中心β分布，具有非中心性δ和“形状”参数p和q。[31]然而，通过描述q（^ν（X））的平方分布，我们无法轻松地对其为负的概率（有时显著）建模。然而，由于非中心贝塔的动量已知，这种形式确实给出了近似值25下q（^ν（X））方差的界。[31，第30.3节]在近似值25下，wehaveEq（^ν（X））= ζ*E-nζ*ΓΓΓPΓp+2FP2+p；nζ*, （27）其中F（·，·；·，·；·；·）是广义超几何函数。

[26，第16.2节]这是q（^ν（X））方差的粗略上界；利用定理2.4中中值的上界可以得到一个下界。由于非中心t分布的中值与非中心性参数近似相等，[14,16]通过近似值25，样本马科维茨投资组合的q（^ν（X））中值近似为ym≈ ζ*罪阿尔克坦√nζ*√P- 1.=√nζ*聚丙烯- 1+nζ*, （28）这正是定理2.4的上界！3.1蒙特卡罗模拟通过蒙特卡罗模拟检查近似值25的准确性：10使用n=1012（4年的每日观察）、p=6和ζ对马科维茨投资组合的构建进行模拟*= 1.25岁-1/2; 这是正态分布。由于已知总体马科维茨组合，因此可以精确计算组合的信噪比。图1中的Q-Q图证实，对于N，p，ζ的选择，近似值25是非常好的*.Kolmogorov-Smirnov检验不是依赖于“图形证明”，而是针对高斯回报下产生的信噪比值进行计算。[21]在10次模拟中，计算出的统计数据，即经验CDF和理论ALCDF在近似值下的最大差异为0.004。虽然这看起来很小，但由于样本量太大，计算出的p值在空下会变为0。然后使用从均匀分布、具有4个自由度的t分布、参数h=0.15的Tukey h分布和参数γ=-0.2. [8,9]首先从零均值、同一协方差分布生成i.i.d.p-变量图，其边缘遵循上述命名定律，然后缩放和移动以获得适当的ζ，由此产生回报*.

对于每个公式，∑都是从Wishart随机变量中随机抽取的。均匀分布不是一个现实的市场收益模型，但它被用来检验普拉特库尔特收益的近似值。t和更奇异的分布是更现实的市场回报模型，并且是轻量级的。Lambert W具有非零倾斜。同样，在这些分布中的每个分布下，用相同的n，p，ζ值进行10次模拟*以上。表1显示了这些模拟中的一些经验分位数，以及近似值25中的近似分位数。不同分布的Kolmogorov-Smirnov检验统计数据如表2所示。