计算最坏风险值的改进算法：数值模拟

特别是，在θ6=1的情况下，最差的_VaR_hom（…，method=“Wang.Par”）选择Cl/2作为下端点（clas在命题2.7中）。这些问题在vignetteVaR_界限的第1.4节中有详细描述，我们还展示了将辅助函数转换为（1，∞) 如初始间隔中所述，并且面临取消问题（尽管可以解决）；另请参见图6的左侧，在对这些数字问题进行筛选后，我们将这种方法与Worst_VaR_hom（…，method=“Wang.Par”）进行了比较。简言之，在齐次情况下，在计算VaRα（L+）或VaRα（L+）时，在实施所谓的“显式解决方案”时，应非常小心，且具有PAR（θ）（很可能也是其他）裕度。例2.9（Par（θ）风险方法的比较）让我们再次考虑Par（θ）风险和置信水平α=0.99。图4比较了Wang\'sapproach（使用数值积分；Seebest_VaR_hom（…，method=“Wang”））、Wang\'s方法（与积分I（c）butuniroot（）的默认公差的分析公式）；参见vignetteVaR_界），Wang的方法（将积分I（c）和辅助函数的分析公式转换为（1，∞); 参见vignetteVaR_界限），Wang的方法（带有积分I（c）的分析公式，smalleruniroot（）公差和调整后的初始间隔；最差的RA（绝对公差为0）；参见第3节andRA（）。所有结果均除以从双限法获得的值，以便于比较。这两个图（分别为ford=8和D=100）表明，通过不同的方法可以获得可比的结果，以及为什么在Wang的方法中对uniroot（）使用较小的公差很重要。让我们再次强调初始间隔[cl，cu]的重要性。

人们可能会想简单地说- α） /d通过设置M等方式，强制辅助功能与CU相反。Hofer，A.Memartolie，D.Saunders，T.Wirjanto1 2 3 4 50.95 1.00 1.05 1.10θ标准化（通过双重方法）VaR0。99对于d=8 Par（θ）marginsWang（num.int.）Wang Pareto（直截了当）Wang Pareto（转换）Wang Pareto（wo num.int.）下RA边界上RA边界1 2 3 51 2 3 4 5 6 7θ标准化（通过对偶方法）VaR0。99对于d=100 Par（θ）marginsWang（num.int.）Wang Pareto（直截了当）Wang Pareto（转换）Wang Pareto（wo num.int.）下RA边界上RA边界Wang方法的比较（使用数值积分；Seebest_VaR_hom（…，method=“Wang”））、Wang方法（使用积分I（c）butuniroot（）默认公差的分析公式；参见vignetteVaR_界），Wang的方法（将积分I（c）和辅助函数的分析公式转换为（1，∞);参见vignetteVaR_界限），Wang的方法（带有积分I（c）的分析公式，smalleruniroot（）公差和调整后的初始间隔；参见最差的VaR_hom（…，method=“Wang.Par”）），以及从RA获得的上下限；所有结果均除以从双限法获得的值，以便于比较。左侧显示案例d=8，右侧显示案例d=100。用于计算最坏VaRh（cu）的改进算法。机器两美元。xmin，一个正的但很小的数字。图5显示了与图3（仅限butVaRα（L+）和图4（根据从RA获得的上限进行标准化）左侧类似的图形。

特别是，VaRα（L+）在α中不再是单调的（参见图5的左侧），并且计算的VaRα（L+）值不再正确（参见图5的右侧）。0.001 0.005 0.050.5001e+01 1e+04 1e+07 1e+101- d=8，F为Par（θ）θ=0.5θ=1θ=2θ=40123451.015.022.052θ。99（L+）比较（标准化），d=8，F为Par（θ）Wang（数值int.）Wang Pareto（数值int.）Wang Pareto（数值int.）Wang Pareto（单根（）tol.）Wang Pareto（转换）对应于图3（仅VaRα（L+）和图4（根据从RA获得的上界进行标准化）左侧的双边界下RA边界图，但对于H（（1- α） /d）调整到。机器两美元。克敏。在仔细考虑了所有的数值问题之后，我们现在可以从不同的角度来看待Varα（L+）和Varα（L+）了。图6的右侧显示了在维度D中的Varα（L+）和Varα（L+）函数。对数标度中Varα（L+）的线性表明Varα（L+）实际上是一个幂函数。据我们所知，这一点尚不清楚（理论上也不合理）。3重排算法我们现在考虑在非均匀情况下计算Varα（L+）和Varα（L+）的RA；和之前一样，我们这里主要关注VaRα（L+）。3.1关于算法VarαL+，见马卡洛夫【18】，他提供了两个随机变量之和的分布函数的界，并给出了Varα（L+）的界。后来，Firpo和Ridder[14]利用copula理论证明了这些结果，在上述框架中引入了依赖结构（尽管他们没有证明边界的尖锐性）。Williamson和Downs[27]开发了计算随机变量函数分布的卷积和依赖边界的新方法；它们使用期望分布的上下近似值，包含表示误差，并提供误差的界限。M

霍弗特，A.梅马托利，D.桑德斯，T.维坎托200 400 600 800 1000dVaR0。99（L+）直接（固态）或带转换h（虚线）的Par（θ）边缘10-210410101016102210281034104010461052θ=0.1θ=0.5θ=1θ=5θ=10θ=502 5 10 20 50 100 200 500 1000dVaR0。99（L+）（虚线）和VaR0。99（L+）（固体）用于Par（θ）边缘10-3103109101510211027103103910451051θ=0.1θ=0.5θ=1θ=5θ=10θ=50A比较VaRα（L+）的计算采用最差的VaR_hom（…，method=“Wang.Par”）（实线）和基于将辅助函数转换为（1，∞) （虚线）如命题2.7（左侧）的证明所述。VaRα（L+）（虚线）和VaRα（L+）（实线）作为对数刻度的函数（右侧）。Denuit等人[6]扩展了上述二维框架，并展示了如何计算L+=L+·L+LDD分布函数的边界≥3例。在一项类似的工作中，Cossette等人提出了（L，L）的结构。他们进一步将其结果推广到一般的多元情形，并提出了连续单调函数和成分单调函数的组合，假设theLjFjj∈ {，…，d}Embrechts等人[13]提出的关于聚合函数的连续性假设使用copula理论对这些结果进行了解释。在后一篇文章中，证明了在没有关于依赖结构的任何先验信息的情况下，只能找到风险总和的分布函数的界，并且当≥ 2.Embrechts和Puccetti[8]基于Rüschendorf[23]对连续分布函数F的对偶结果，在齐次情形F=·····=Fd=F中提供了更好的FL+边界，见第2.2节。等利润率的假设是相当严格的，尤其是对大利润率的假设。

为了解决这个问题，Embrechts和Puccetti[7]将双界方法扩展到一般投资组合，并描述了一个数值程序，用于计算非齐次投资组合算法的FL+下界，对于该算法，无法保证在合理且可预测的时间内收敛到全局最优值；更重要的是，其中许多人的表现质量在下降的同时也在上升。由于这些原因，这种方法的应用≥50在某些情况下是不可分割的。上述问题可以在完全可混合矩阵的背景下研究，即矩阵行和。Wang和Wang[25]介绍并讨论了完全混合性的概念。如果矩阵不是完全可混合的，则确定最小最大值和最大最小值（改进的算法用于计算最坏的VaRVaRαL+VaRαL+）。这些minimax和maximin问题分别与边缘分位数函数的离散逼近有关。Haus[15]指出，这种计算Varα（L+）和Varα（L+）的方法与多维瓶颈分配问题有关，完全混合性通常是P-完全的。因此，无法保证在多项式时间内收敛到最优解。如果我们用N点离散每个风险因子的尾部，分析上述问题的基础空间就变成了anN×D矩阵，而对除一列以外的所有列进行排列所产生的可能矩阵总数的计数在应用中就变得很难处理，因为有（N！）D-1可能的矩阵。我们可以很容易地观察到，对于一个只有10个头寸且n=20的投资组合，这样的矩阵的总数是（20！）∈ O（10）。

注意，Hn=20和D=10的选择非常保守，仅用于说明目的；N、 40种仪器；大型金融机构可以拥有数千种工具的投资组合。给定任意的边际分布和较高的运行时间是使用双界方法获得Varα（L+）的上下限的主要缺点。就像走道一样。RA和Puccetind Rüschendorf[20]中引入的计算VaRα（L+）和VaRα（L+）的数值近似的最初想法源自Rüschendorf[22]，与之前的方法相比，它的简单实现使得RA成为获得VaRα（L+）和VaRα（L+）的一个有吸引力的替代方法，当（仅）边际损失分布F，使用各种测试用例测试性能。3.2重排算法的工作原理RA可用于近似任何边缘集的RiskVaRα（L+）的最佳值或RiskVaRα（L+）的最差值∈ {，…，d}。接下来我们主要关注Varα（L+）；我们在R包qrmtoolso中的实现RA（）地址为Varα（L+）。要理解算法，请注意两列A，b∈如果foralli，j∈ {，…，N}我们有（ai- aj）（bi）- （北京）≤0.给定边际分位数函数的若干离散点-, . . . , F-daboveα（参见下面算法3.1的步骤2.1）和3.1），RA构造两个（N，d）-矩阵，用xα和xα表示；第一个矩阵旨在从下面构造Varα（L+）的近似值，第二个矩阵用于构造VarαL+列。重复此操作，直到最小行和（X）=min1≤我≤NX1≤J≤dxij（forX=（xij）是上述（N，d）-矩阵之一，其变化小于给定（收敛）公差ε≥因此，RA forVaRα（L+）旨在解决maximin问题。

这背后的直觉是最小化L+|L+>F的条件分布的方差-L+（α）To浓缩更多的1- 尾部的α质量OFF+。这进一步推动了ESVarα（L+）的上升。AsEmbrechts等人[11]指出，一个矩阵通常以两个矩阵结束，其最小行总和彼此接近，大致等于Varα（L+）。请注意，如果一次迭代覆盖所有列。Hofer，A.Memartolie，D.Saunders，T.Wirjanto的排序与所有其他行和的排序相反，因此最小行和也没有变化（但相反的排序不一定正确，见下文）。下面给出的RA版本包含的信息比Embrechts等人[11]的略多；e、 例如，如何处理有限分位数。要了解实际实现的更多功能，请将ra（）重新排列（）max.raε（Absol=）null排序为所有其他函数的总和。后者通常（到目前为止）不是ε=0所暗示的，但不会带来更好的精度（例如，见vignetteVaR_界限中讨论的应用），并且通常非常耗时（因此引入了max.ra）。算法3.1（计算VaRα（L+）的RA）1确定了置信水平α∈（0,1），边际分位数函数-, . . . , F-d、 整数∈所需（绝对）收敛公差ε≥ 0.2）计算下限：2.1）确定Xαij=F的矩阵Xα=（Xαij）-Jα +(1-α） （一）-1） N, 我∈ {1，…，N}，j∈ {1，…，d}.2.2）随机排列Xα.2.3）每列中的元素1≤ J≤ d、 排列矩阵xxα的第j列，使其与所有其他列之和的顺序相反。调用得到的矩阵Yα。2.4）重复步骤2.3），直到s（Yα）- s（Xα）≤ ε、 然后设置sN=s（Yα）。3）计算上限：3.1）为xαij=F定义矩阵xxα=（xαij）-Jα+(1-α） 在,我∈ {，…，N}，j∈ {，…，d}。如果（对于i=N和）对于任何j∈ {1, . . .

，d}，F-j（1）=∞, 调整到F-Jα +(1-α） （N）-1/2）N.3.2）随机排列Xα各列中的元素。3.3）1≤ J≤ d、 迭代地重新排列矩阵xxα的第j列，使其与所有其他列的总和成正序。调用得到的矩阵Yα。3.4）重复步骤3.3），直到s（Yα）- s（Xα）≤ ε、 然后设置sN=s（Yα）。4）返回（sN，sN）。如前所述，RA的主要功能是迭代所有列，并根据所有其他列的总和对每个列进行相反的排序（参见步骤2.3）和3.3）。此过程旨在减少每次重新排列时行和的方差。注意，它不一定能达到maximin问题的最优解（例如，参见Haus[15，引理6]中的一个计数器示例），因此收敛| sN- sN|→不保证为0。为了减少这种情况在实践中发生的可能性，在步骤2.2）和3.2）中对初始输入的随机化VaR_限制了可能重新排列的输出矩阵，以及底层排序算法对结果的影响。3.3概念和数字上的改进这里有一些警告。除了置信水平α和边际量化函数-, . . . , F-d、 RA依赖于两个输入源，即namelyN∈Nandε≥0，而Brechts等人[11]并未就合理违约提供指导。值得注意的是，算法中明显使用了绝对公差ε。有两个问题。第一个问题是计算最差公差的改进算法，在这种情况下，使用相对公差而不是绝对公差更为自然。在（大致）不知道步骤2.4）和3.4中的最小行和的情况下，预先规定的绝对公差不能保证最小行和从xα到toYα的变化顺序正确（这种顺序至少取决于所选的分位数函数）。

如果ε选择得太大，则不一定会产生很长的运行时间；后者似乎是Embrechts等人[11，表3]的情况，其中选择的ε=0.1约为计算VaR0的0.000004%。99（L+）。εgence of snand of sn。它不能保证SNA和SNA足够接近，以获得Varα（L+）的合理近似值。我们知道算法背后的理论障碍，在这一点上仍然是悬而未决的问题（例如，SANDSNTOVARα（L+）或thatVaRα（L+）的收敛概率）≤ sn表示足够大），但从计算的角度来看，仍然应该检查sn和sna是否彼此接近。此外，该算法还应返回收敛性和其他有用信息，例如，相对重排范围|（sN）- sN）/sN |，计算sN和sN时达到的实际单个绝对公差，使用的列重新排列的数量，指示是否达到单个绝对公差的逻辑变量，nandsn的列重新排列的数量，XαXαYαRA（）qrmtools信息。RA的另一个次优设计是，在检查最后一个考虑列的列重新排列的TerminationRegulation（）跟踪之前，迭代所有的数据列，因此可以在之后终止（尽管有“跟踪”开销）。我们建议感兴趣的读者查看source CodeOfRecreat（），以获得进一步的数值和运行时改进（快速访问列Vialist；避免计算除当前列以外的所有列的行和；扩展跟踪功能），其中一些在vignette VaR_界限中提到。3.4不同情景下的实证表现为了实证研究RA的表现，我们考虑了两项研究，每项研究涉及四种情况；因此，我们考虑八种情况。作为研究，我们考虑以下内容：研究1:N∈ {2, 2, . . .

，2}和d=20；研究2：N=2=256，d∈ {2, 2, . . . , 2}.这些选择使我们能够调查上尾离散化参数（研究1）的影响，以及风险因素D的数量（研究2中）对RA性能的影响。作为案例，我们考虑以下基于帕累托分布函数Fj（x）=1的不同边际尾部行为- （1+x）-θj：情况HH:θ，θd形成0.6到0.4的等距序列；这个案例代表了一个所有边际损失分布都是重尾分布（重尾略微增加）的投资组合。情况LH：θ，θd形成1.5到0.5的等距序列；这种情况代表了一种具有不同边缘尾部行为的Portfolio，其分布范围从比较轻的尾部分布到非常重的尾部分布。例LL：θ，θd形成1.6到1.4的等距序列；这种情况代表了一种投资组合，所有边际损失分布都是相对的轻尾分布。M.Hoffert，A.Memartolie，D.Saunders，T.WirjantoCase LH:θ，θd-1在LL和θd=0.5的情况下选择；这种情况下，除了最后一种情况，所有边际损失分布都是轻尾的投资组合。为了保持研究的可控性，我们将重点放在所有情况下的置信水平α=0.99和绝对收敛容忍度ε=0上。此外，我们考虑B=100次重复模拟运行，以提供估算量的经验95%置信区间；请注意，其中一些非常紧密，在下面的图中几乎看不到。只有在算法3.1的步骤2.2）和3.2）中，由于列的不同排列，才会产生不同的复制，其他一切都是确定性的；这使我们能够研究这些（初始）随机化步骤对RA（收敛）结果的影响。