债务抵押债券期限结构模型的单调性

h（·，xi）∈ 每个xi的H1、γ∈ I.赋范sk h kL2，γ：=nXi=1k h（·xi）kL2，γ，k h kH1，γ：=nXi=1k h（·xi）kH1，γ。它们变成了希尔伯特空间。根据定理2.2，如果损失过程{Lt，t的每条路径都存在HJMM方程的解，则CDO模型是无套利的≥ 而且它在0处是点态单调的，即r（t，0，xi）≥ r（t，0，xi+1），i=1，2。。。，N- 1.几乎所有的t≥ 0.（3.20）我们还要求（3.14）给出的（T，xi）-债券价格在T中下降≥ 0并在xi增加∈ I.4主要结果的表述描述无套利和单调CDO期限结构模型的我们的条件要求（3.17）和（3.19）给出的变换G，F为局部Lipschitz，并满足H中的线性增长条件（LGC），其中H代表状态空间，即它等于L2，γnor H1，γn。精确地说，F，G是局部Lipschitz（LC），如果任何R>0存在≥ 0这样的k F（t，x）- F（t，y）kH≤ CRk x- y-kH，k-G（t，x）- G（t，y）kH≤ CRk x- y kH（4.21）表示任何x，y∈ 这样kxkh，kykh≤ R、 如果存在，则满足线性增长条件≥ 0例如k F（t，x）kH≤ kxkh，kg（t，x）kH≤ C k x kH（4.22）对于任何x，y∈ H.第一个结果与sp ace L2，γn有关。回想一下，supp{ν}代表L\'evy度量的支持。定理4.1 Let（A1）- （A4）满足。假设F和G是局部Lipschitz变换，在L2，γn中线性增长。那么以下陈述成立。a） 对于损失过程的任何路径，空间L2，γn.b）中的HJMM方程存在唯一的弱解，如果r=（r，r，…，rn），r≥ R≥ ...

≥ rn，t，z≥ 0，l∈ 一、 u∈ supp{ν}，i=1，2。。。，N- 如果ri=ri+1，（M2），则保持（M1）gi（t，z，l，r）=gi+1（t，z，l，r）gi+1（t，z，l，r）- gi（t，z，l，r）U≤ 里- ri+1。andZ{|y|≥1} |y |ν（dy）<+∞, （4.23）那么HJMM方程的解在零处是逐点单调的。因此，由此产生的CDO模型是无套利的。c） 如果r=（r，r，…，rn），r≥ 0，t，z≥ 0，l∈ 一、 u∈ sup p{ν}，i=1，2。。。，n保持（P1）gi（t，z，l，r）=0，如果ri=0，（P2）ri+gi（t，z，l，r）u≥ 与（M1）、（m2）和（4.23）一起，得到的CDO模型是单调的。第二个结果与H1，γn值远期利率有关。定理4.2 Let（A1）- （A4）满足。假设F和G是局部Lipschitz变换，在H1，γn中线性增长。那么以下陈述成立。a） 对于损失过程的任何路径，HJMM方程在空间H1中存在唯一的弱解，γn.b）如果（p1）和（p2）保持不变，则HJMM方程的解在零处是逐点单调的，因此得到的CD O模型是无套利的。此外，该模型是单调的。定理4.1和定理4.2中的两点（a）直接来源于最近的结果，即在局部Lipschitz条件和线性增长下，一般SPDE解的存在性，参见[2]中的定理4.1。第4.1节致力于直接说明HJMM方程的波动率G，以及（4.21）和（4.22）保持的L’evy过程的特征三元组，见命题4.5和命题4.6。这对条件（p1），（p2）和（m1），（M2）对应于HJMM方程在L2，γn中的解的正性和耳鸣性。它们来自Milian结果的广义版本，参见[8]，该结果与Wiener过程驱动的一般SPDE有关。在HJMM方程的情况下，我们将介绍如何传递到L’evy过程。

更精确地说，我们在第5.2节的定理5.3中证明，（M1），（m2）等价于r的单调性，即对于每个t≥ 0r（t，z，xi）≥ r（t，z，xi+1），i=1，2。。。，N- 1、（4.24）适用于几乎所有z≥ 0，而（p1），（p2）对r的正性，则为每t≥ 0r（t，z，xi）≥ 0，xi∈ 一、 （4.25）适用于几乎所有z≥ 这里的一个微妙之处是CDO模型无套利所需的解在零处的点态单调性。实际上（3.20）并没有从（4.24）开始。我们称之为L2，γ中解的点态单调性问题，并通过提供以下条件来解决。命题4.3假设变换F，G:L2，γn→ （3.19），（3.17）的L2，γngiven是局部Lipschitz，满足线性增长条件。设Z满足{| y |>1}| y |ν（dy）<+∞. （4.26）和解r（t），t≥ （3.16）中的0取L2中的值，γnbe单调。然后每个z≥ 0，i=1，2。。。，N- 1个控股公司（t、z、xi）≥ r（t，z，xi+1），对于几乎所有的t≥ 这个结果清楚地暗示了r在0处的单调性，因此定理4.1中的陈述（b）如下。同样明显的是，（4.24）和（4.25）意味着债券价格的单调性，所以（c）在OREM 4.1中成立。注意，在定理4.2中，我们不需要（M1）或（m2）。当然，从定理4.1（b）可以看出，如果（m1）和（M2）保持不变，那么H1，γn值解在零也是单调的，因为r（t，·，xi）是连续的。然而，从H1中元素的连续性来看，γn证明了条件（p1）和（p2）暗示了r在0处的单调性，以及m在相应CDO模型上的单调性。