在本文中,我们主要关注H的情况∈ (1/2, 1).我们注意到,如果H=1/2,那么标准或nstein–Uhlenbeck过程(用标准布朗运动合成)是一个具有指数相关性的平稳y高斯n马尔可夫过程,因此是一个混合过程。可以使用Cholesky方法(见图e2.1)或其他在Mre等人(1993)中描述的众所周知的方法来模拟fOU过程的路径;Ba rdet等人(2003)。0 2 4 6 8 10t-2疗法0 2 4 6 8 10s0。5相关函数图。2.1. 上图显示了一个实现,Zεt,t∈ (0,10),即Hurst indexH=0.6且相关时间ε=1(蓝色实线)的fOU过程,以及H=1/2且ε=1(红色虚线)的标准Ornstein–Uhlenbeck过程的实现。越大,轨迹越规则。下图显示了相应的相关函数CZ(s),在H=0.6的情况下,蓝色实线的“重”尾给出了长程特性。使用Eqs。(2.2)和(2.4),我们得到了标度fOU asZεt=σouZt的移动平均积分表示-∞Kε(t)- s) dWs,(2.7),其中kε(t)=√εKtε, K(t)=Γ(H+)σouhtH--Zt(t- s) H-E-sdsi。(2.8)在我们的上下文中,内核K的主要特性如下(对anyH有效∈ (1/2,1)):-K是非负值,K∈ L(0,∞) 带∞K(u)du=1,但k6∈ L(0,∞),- 短时间内<< 1K(t)=Γ(H+)σoutH-+ OtH+, (2.9)-长期>> 1K(t)=Γ(H)-)σoutH-+ OtH-, (2.10)尤其是K(t)-σouΓ(H)-)tH-∈ L(0,∞).3.随机波动率模型。风险资产的价格遵循随机微分方程dxt=σεtXtdW*t、 (3.1)其中随机波动率为σεt=F(Zεt),(3.2)且Zε是上一节中引入的标度fOU,适用于布朗运动Wt。
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