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楼主: kedemingshi
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[量化金融] 快变长记忆随机波动下的期权定价 [推广有奖]

能者818 在职认证  发表于 2022-5-14 23:42:21 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
接下来,我们将从校准的角度总结本文的主要结果,即在由具有长期相关性的快速过程建模的随机波动的背景下,隐含波动率曲面的形式。我们将首先总结建模的一些方面。我们考虑一个连续时间随机波动模型,它是高斯长程过程的光滑函数。明确地说,我们将分数随机波动率(fSV)建模为分数O rnstein–Uhlenbeck(fOU)过程的光滑函数。fOU-proc-e ss是具有分形长程相关结构的平稳过程的经典模型。这个过程可以用fBm过程的积分来表示。fBm过程的分布用赫斯特指数H表示∈ (0, 1). 对于所有的H′<H,fBm过程都是指数H′的局部H¨older连续,这一性质由fOU过程继承。在这方面,OFBM过程WHt也是自相似的WHαt,t∈ R区=αHWHt,t∈ R对于所有α>0。(1.3)fOU过程在小于fOU过程平均回复时间的时间尺度上近似继承了自相似性,我们在下面用ε表示。从这个意义上讲,我们可以将fOU过程称为短时间sca les上的多尺度过程。案例H∈ (1/2,1)给出了一个长程的fOU过程。该机制对应于一个持续的过程,其中fBm的连续增加正相关。随着H值的增加,相关fBm过程的连续增量具有更强的正相关性,这将提供一个更平滑的过程,其自协方差函数将缓慢衰减。有关fBm和fOU流程的更多详细信息,请参阅读者toBiagini等人(2008);库廷(2007);Doukhan等人。

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大多数88 在职认证  发表于 2022-5-14 23:42:24 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
(2003); 曼德布罗特和范内斯(1968);Cheridito等人(2003年);Kaarakka和Salminen(2011年)。波动驱动过程是由zεt=ε定义的ε-标度fOU过程-HZt-∞E-T-sεdWHs。(1.4)这是一个零均值、平稳的高斯过程,显示了Hur st指数H的长期相关性∈ (1/2, 1). 需要注意的是,这是一个“自然时间尺度”为ε的过程,即过程达到平衡分布之前的平均再转化时间为ε级。同样重要的是要注意,c相关的衰减(在ε时间尺度上)是多项式而不是指数衰减,就像标准的Ornstein–Uhlenbeck过程一样。明确地说,时间t和t+之间的过程的相关性t会随着时间的流逝而衰变(t/ε)2H-2.过程的方差与ε无关。在本文中,我们考虑了一个随机波动率模型,它是具有Hur-st系数H的快速变化fOU过程的光滑函数∈ (1/2, 1). 它由∑εt=F(Zεt),(1.5)给出,其中F是一个光滑的、正的、一对一有界函数,具有bounded导数,并带有等式(3.5)中给出的附加技术条件。σε的过程反映了fOU Zεt的长期相关性。第5节中的主要结果是对欧洲看涨期权的隐含波动率的一个明确定义,即行使K、到期日t和当前时间t,It=EhT- tZTt(σεs)dsFti1/2+σaFττH-1/2+ττH-3/2日志KXt. (1.6)此处af=ε1-HeσρhFF′i′τH3/2σΓ(H+3/2),(1.7)τ=T-t是成熟时间,ρ是驱动fBm的布朗运动和驱动下垫面的布朗运动之间的相关性,τ=σ(1.8)是特征扩散时间。

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大多数88 在职认证  发表于 2022-5-14 23:42:27 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
此外,我们还有σ=F=ZRF(σouz)p(z)dz,eσ=hfi=ZRF(σouz)p(z)dz,hF F′i=ZRF(σouz)F′(σouz)p(z)dz,其中σou=1/(2sin(πH))和p(z)是标准正态分布的概率密度函数(pdf)。换句话说,我们形成了关于fOU过程Zεt不变分布的平均波动函数矩。等式(1.6)中的第一项实际上是当前条件下到期前的预期有效波动率。第二项是非零偏态项,只有当波动过程和波动率相关时,该项才是非零的,因此ρ是非零的。请注意,分数项结构的指数取决于赫斯特指数,它决定了波动驱动过程Zεt的平滑度和去相关率。过程越平滑,长期到到期的隐含波动率越大。在这里呈现的快速波动的情况下,隐含的波动性表现为短期到期。事实上,短期到期意味着到期时间小于扩散时间(1.8),但大于平均回归时间ε。因此,短期到期涉及短期内的巨大波动性波动,导致货币性修正,从而爆发并主导纯到期期限。在到期时间较短或较长的情况下,条件预期有效波动率的贡献较小,我们有较短的到期时间和k6=XtIt~σaFhττH-3/2日志KXti、 (1.9)并在很长一段时间内~σaFττH-1/2. (1.10)我们在这里注意到,等式(1.6)中偏斜度的分数标度正好是对应于inGarnier和Solna(2015)给出的长时间到期和小波动率波动情况的分数标度。

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kedemingshi 在职认证  发表于 2022-5-14 23:42:32 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
这意味着,随着成熟期的延长,我们的情况会让人想起我们现在的快速波动。然而,与inGarnier和Solna(2015)认为的小波动率相比,这里的波动率波动较大。我们还指出,混合波动率的情况,以及波动率波动的可积相关函数,将对应于H1/2。然而,请注意,我们的推导仅对H有效∈ (1/2, 1). 如果我们考虑∑φ的公式(4.10),该公式确定了式(1.6)中第一项的方差,我们观察到当H1/2时,它消失了,这表明式(1.6)中的第一项具有确定性。在混合情况下,隐含波动率的一阶修正是确定的,而波动率协方差函数的不可积性使其在一般的长期情况下成为一个随机过程,方差为H1/2,变为零。实际上,在极限情况H1/2中,我们得到的结果与(Fouque等人,2000年,第5.2.5节)中关于混合情况的结果类似。明确地说,我们考虑了波动驱动过程是反常的Ornstein-Uhlenbeck过程的混合情况;此外,波动风险的利率和市场价格为零。n(Fouque et al.,2000,eq.(5.55))给出了(Fouque et al.,2000,第5.2.5节)中定义的系数Vd的隐含可用性,它=σ- Vh2σ+στ测井KXti、 (1.11)具有与H1/2相同的形式(1.6)。然而,给出系数Vd的平均表达式与我们通过形式极限H1/2得出的解释不一致。这是因为我们考虑的奇异摄动情况在H=1/2时实际上是“奇异的”,并且重要项的顺序发生了变化。

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nandehutu2022 在职认证  发表于 2022-5-14 23:42:35 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
然而,从校准角度来看,重要的是,隐含波动率参数化及其格式H=1/2具有连续性,这为渐近框架提供了稳健性。在第6节中,我们给出了随机修正系数的完整统计描述,它决定了价格修正的随机成分和隐含波动率(等式(1.6)中的第一项)。它是一个成熟度T和当前时间T的随机函数,具有高斯统计和我们详细描述的协方差函数。该协方差函数具有有趣的、非平凡的、自相似的性质,并且该函数对于构造和刻画隐含波动率曲面的估计量非常重要。概述论文的概要如下。在第二节中,我们描述了分数Ornstein–Uhlenbeck过程,并推导了一些基本的先验界。在第三部分中,我们描述了随机波动率模型。在第四节中,我们推导了快速均值回复分数情形下的价格表达式。推导基于鞅方法。也就是说,我们把价格作为一个过程来做一个ansatz,这个过程具有正确的支付效果,它的主序项是鞅。然后,这个过程是价格的主序表达式,其误差是非鞅部分的序。该方法引入了修正子,使非鞅部分仅限于一个小项;我们在第4节给出了分解结果。根据价格的表达式,我们在第5节推导出了相关的隐含波动率,并在第7节给出了我们的结论。我们对附录a中的波动性进行了方便的Hermite分解。附录B.2证明了许多技术引理。快速分式奥恩斯坦-乌伦贝克过程。

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可人4 在职认证  发表于 2022-5-14 23:42:38 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
我们使用快速分数Ornstein–Uhlenbeck(fOU)过程作为波动因子,并描述如何用分数布朗运动表示该过程。因为分数布朗运动可以用普通布朗运动来表示,所以我们也得出了快速fOU过程作为布朗运动的过滤形式的表达式。分数布朗运动(fBm)是z-均值高斯过程(WHt)∈r的协方差[WHtWHs]=σH|t | 2H+| s | 2H- |T- s | 2H, (2.1)式中σHis为正常数。我们使用以下移动平均值对fBm(Mandelbrot a and Van Ness(1968))WHt=Γ(H+)ZR进行了总体表示(t)- s) H-+- (-s) H-+dWs,(2.2)式中(Wt)t∈Ris是R上的标准布朗运动∈Ris实际上是一个协方差为(2.1)的阿泽罗-梅恩高斯过程,我们有σH=Γ(H+)赫兹∞(1+s)H-- 嘘-ds+2Hi=Γ(2H+1)sin(πH)。(2.3)我们引入ε-scale d fOU asZεt=ε-HZt-∞E-T-sεdWHs=ε-HWHt- ε-1.-HZt-∞E-T-sεWHsds。(2.4)因此,fOU过程实际上是一个分数布朗运动,其r e存储力为零。这是一个零均值、平稳的高斯过程,方差e[(Zεt)]=σou,σou=Γ(2H+1)σH=2sin(πH),(2.5)与ε无关,协方差e[ZεtZεt+s]=σouCZsε,这只是s/ε的函数,Cz(s)=Γ(2H+1)hZRe-|v | | s+v | 2Hdv- |s | 2Hi=2sin(πH)πZ∞cos(sx)x1-2H1+xdx。这表明ε是fOU Zεt的自然变化尺度。请注意,随机过程Zε既不是鞅过程,也不是马尔可夫过程。对于H∈ (1/2,1),它具有长程相关性质cz(s)=Γ(2H)- 1) s2H-2+os2H-2., s>> 1.(2.6)这表明相关函数在本质上是不可积的。

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大多数88 在职认证  发表于 2022-5-14 23:42:42 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
在本文中,我们主要关注H的情况∈ (1/2, 1).我们注意到,如果H=1/2,那么标准或nstein–Uhlenbeck过程(用标准布朗运动合成)是一个具有指数相关性的平稳y高斯n马尔可夫过程,因此是一个混合过程。可以使用Cholesky方法(见图e2.1)或其他在Mre等人(1993)中描述的众所周知的方法来模拟fOU过程的路径;Ba rdet等人(2003)。0 2 4 6 8 10t-2疗法0 2 4 6 8 10s0。5相关函数图。2.1. 上图显示了一个实现,Zεt,t∈ (0,10),即Hurst indexH=0.6且相关时间ε=1(蓝色实线)的fOU过程,以及H=1/2且ε=1(红色虚线)的标准Ornstein–Uhlenbeck过程的实现。越大,轨迹越规则。下图显示了相应的相关函数CZ(s),在H=0.6的情况下,蓝色实线的“重”尾给出了长程特性。使用Eqs。(2.2)和(2.4),我们得到了标度fOU asZεt=σouZt的移动平均积分表示-∞Kε(t)- s) dWs,(2.7),其中kε(t)=√εKtε, K(t)=Γ(H+)σouhtH--Zt(t- s) H-E-sdsi。(2.8)在我们的上下文中,内核K的主要特性如下(对anyH有效∈ (1/2,1)):-K是非负值,K∈ L(0,∞) 带∞K(u)du=1,但k6∈ L(0,∞),- 短时间内<< 1K(t)=Γ(H+)σoutH-+ OtH+, (2.9)-长期>> 1K(t)=Γ(H)-)σoutH-+ OtH-, (2.10)尤其是K(t)-σouΓ(H)-)tH-∈ L(0,∞).3.随机波动率模型。风险资产的价格遵循随机微分方程dxt=σεtXtdW*t、 (3.1)其中随机波动率为σεt=F(Zεt),(3.2)且Zε是上一节中引入的标度fOU,适用于布朗运动Wt。

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何人来此 在职认证  发表于 2022-5-14 23:42:45 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
此外,W*这是一个布朗运动,它与股票的波动性有关*t=ρWt+p1- ρBt,(3.3),其中布朗运动Bt与Wt无关。函数F被假定为一对一、正值、smo oth、有界和有界导数。因此,(Bt,Wt)产生的过滤也是Xt产生的过滤。事实上,它相当于(W*t、 Wt),或(W)*t、 Zεt)。因为F是一对一的,所以它等于(W)生成的过滤*t、 σt)。因为F是正值,所以它相当于(W)产生的过滤*t、 (σεt),或Xt。我们用Ck,Ck=ZRHk(z)F(σouz)p(z)dz,Hk(z)=(-1) kez/2dkdzke-z/2,(3.4)带p(z)=exp(-z/2)/√2π. 我们在附录A中使用这些公式来推导一些技术性规则。事实上,有一个技术原因要求F满足以下条件:存在一些α>2,因此∞Xk=0αkCkk!<∞. (3.5)如上所述,波动驱动过程ss Zεt具有长期相关性。正如我们现在所展示的,波动过程σεtitself继承了这一特性。引理3.1。我们表示,对于j=1,2,Fj=ZRF(σouz)jp(z)dz,DF′jE=ZRF′(σouz)jp(z)dz,(3.6),其中p(z)是标准正态分布的pdf。1.过程σε是一个平稳随机过程,平均值E[σεt]=hF i,方差Var(σεt)=F- hF i,与ε2无关。formCov过程σεtis的协方差函数σεt,σεt+s=F- hF iCσsε, (3.7)其中相关函数Cσ满足Cσ(0)=1和Cσ(s)=Γ(2H)- 1) σouhF′ihFi- hF为2H-2+os2H-2., 对于s>> 1.(3.8)因此,过程σεt具有长程相关特性(即其相关函数在本质上不可积)。证据

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大多数88 在职认证  发表于 2022-5-14 23:42:49 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
考虑到σεt的定义(3.2),σε是一个具有平均hF i的平稳随机过程这一事实很简单-1ou(Zεt,Zεt+s)是一个均值为(0,0)且协方差矩阵为2×2ε的高斯随机向量=1 CZ(s/ε)CZ(s/ε)1.因此,表示Fc(z)=F(σouz)-hF i,过程的协方差函数σεtisCov(σεt,σεt+s)=EFc(σ)-1ouZεt)Fc(σ-1ouZεt+s)=2π√det CεZZRFc(z)Fc(z)exp-(z,z)Cε-1(z,z)Tdz=ψCZsε,ψ(C)=2π√1.- CZZRFc(z)Fc(z)exp-z+z- 2Czz2(1)- C)dzdz。这表明cv(σεt,σεt+s)只是s/ε的函数。此外,对于小的C,函数ψ可以用C的幂展开,ψ(C)=2πZZRFc(z)Fc(z)exp-z+zdzdz+C2πZZRzzFc(z)Fc(z)exp-z+zdz+O(C),C<< 1,它与(2.6)给出了σεt.4的相关函数的形式(3.8)。期权价格。我们的目标是计算定义为MATINGALEMT=E的期权价格高(XT)|英尺, (4.1)其中h是光滑函数。事实上,对于h,较弱的假设是可能的,因为我们只需要控制下面定义的函数Q(0)t(x),而不是ht+σxx、 (4.2)即零利率和(恒定)波动率σ下的标准d Black–Scholes算子。接下来,我们通过构造一个显式函数Qεt(x),利用价格过程是获得近似值的一个参数这一事实,使得Qεt(x)=h(x)和Qεt(Xt)是一个高达一阶的鞅。然后Qεt(Xt)给出了这个阶的近似值。以下命题给出了小ε区域中的马廷加Mt表达式的一阶对应关系。提议4.1。当ε很小时,我们有mt=Qεt(Xt)+o(ε1)-H) 式中Qεt(x)=Q(0)t(x)+十、xQ(0)t(x)φεt+ε1-HeσρQ(1)t(x)。(4.4)函数Q(0)t(x)是确定性的,由布莱克-斯科尔斯公式给出,具有常数波动率σ,LBS(σ)Q(0)t(x)=0,Q(0)t(x)=h(x)。

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可人4 在职认证  发表于 2022-5-14 23:42:54 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
(4.5)参数σ和eσ是确定性的,由σ给出=F=ZRF(σouz)p(z)dz,eσ=hF i=ZRF(σouz)p(z)dz,(4.6),其中p(z)是标准正态分布的pdf。随机分量φεt由φεt=EhZTt给出(σεs)-σdsFti。(4.7)函数Q(1)t(x)是确定性校正Q(1)t(x)=x十、十、xQ(0)t(x)Dt(4.8),Dt定义为D(T- t) H+,D=hF F′iΓ(H+)=hF(H+)ZRF′(σouz)p(z)dz。(4.9)如引理B.3(第一项)所示,为ε→ 0,零均值随机变量εH-1φεT是收敛于σφ(T)的方差- t) 2H,σφ=hF F′iΓ(2H+1)sin(πH)-2HΓ(H+). (4.10)此外,它在分布上收敛于均值为零且方差为σφ(T)的高斯随机变量-t) 2小时。这表明(4.4)中的两个修正项具有相同的ε1阶-H、 但第一种是随机的、零均值的、近似高斯分布的,而第二种是确定性的。证据对于任何光滑函数qt(x),我们都可以用^o的公式qt(Xt)=tqt(Xt)dt+十、xqt(Xt)σεtdW*t+十、xqt(Xt)(σεt)dt=LBS(σεt)qt(Xt)dt+十、xqt(Xt)σεtdW*t、 最后一个学期是马丁加乐。在(4.5)之前,我们有dq(0)t(Xt)=(σεt)-σ十、十、Q(0)t(Xt)dt+dN(0)t,(4.11),其中N(0)是鞅dN(0)t=十、十、Q(0)t(Xt)σεtdW*t、 还要注意,在等式(4.11)(及以下)中,我们使用了符号十、十、Q(0)t(Xt)=十、十、Q(0)t(x)x=Xt。设φεt由(4.7)定义。我们有φεt=ψεt-Zt(σεs)-σds,其中鞅ψε由ψεt=EhZT定义(σεs)-σdsFti。

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