保险中copula模型的一种重要抽样方法

根据拒绝抽样方法，我们将把校准限制在对角线上，以获得一个易于处理的优化方案，我们使用假设ψ（u）≈ Ψmax{u，…，ud}1. 因此（5.7）降低了toKZt1- λdF∧（λ）≈ ψ（t1），t∈ [0, 1]. （5.8）在下文中，我们提出了校准F∧的方法，以满足近似关系（5.8）。我们用第5.2.1节和第5.2.2.5.3.1节中所述的F∧的两种选择来说明这种校准，在离散情况下，我们得到KN∧Xk=11{Xk≤ t} pk1- xk≈ ψ（t1），t∈ [0,1]。（5.9）我们建议通过强制（5.9）中的等式来确定pk，该等式仅适用于t=x，…，xn∧，这导致三角形系统kkxl=11- xlpl=ψ（xk1），k=1，n∧。在拒绝抽样方法中选择xk，我们可以使用以下算法求解pk：算法5.8.1。选择n∧∈ N2.定义xk=1- （1/2）k-1，k=1，n∧；3.定义ep=ψ（0，…，0）和epk=（ψ（xk1）- ψ（xk）-11)) (1 - xk），对于k=2，n∧；4.定义pk=epk/（Plepl）。5.3.2连续F∧在连续情况下，不幸的是，优化不能像离散情况下那样容易和明确地完成。在这种情况下，K上的优化∈ R、 γ∈ （0,1）和β>1被执行为“1+γ”1.- β(1 - t） β-1.β - 1#≈ ψ（t1），t∈ [0, 1]. （5.10）罕见事件分析中copula模型的重要抽样方法由于重要抽样技术旨在用于与罕见事件相关的函数ψ为大集合的情况，我们可能希望在罕见事件设置中研究算法的效率。我们将把ψ（s）（u）看作一个只在小概率集上取非零值的函数。设p（s）=Eψ（s）（U）是兴趣的可能性。罕见的事件背景假设LIM→1p（s）=0。

对于每个s，我们将选择一个新的混合分布F（s）∧，因此改变建议分布F（s）的校准及其采样成本，我们将表示T（s）。在直接抽样算法中，见第5节，该抽样成本在s中是有限且恒定的，其阶数为E[（1- Λ)-1] ，参见第4节“拒绝采样算法”中的定理4.3。设bu（s）n=n-1Pni=1ψ（s）（Vi）w（s）（Vi）为重要抽样估计。在罕见的事件设置中，我们理想的目标是有界相对误差，如s→ 参见Asmussen and Glynn（2007）中的第六章，islim sups→1varhbu（s）nip(s)T（s）<∞. （6.1）用其上限n替换varhbu（s）NiB-1Eψ（s）（V）w（s）（V）, 我们的目标是找到一种能够满足需求的算法→1n-1Eψ（s）（V）w（s）（V）p(s)T（s）<∞. （6.2）首先注意，最优性条件（4.4）保证ψ（s）（V）w（s）（V）/p(s)∝ 1.我们现在假设F（s）∧的校准条件温和，这将是获得效率标准（6.2）所需的条件。条件B.对于所有s>0，构造∧的离散分布，使得存在sk∈ {1，…，n∧}，其中xk=s，pk>0。我们首先研究了第4节中的拒绝抽样情况，将我们自己局限于∧的离散分布设置。虽然文献中典型的罕见事件集考虑了边缘的总和，但我们将考虑最大值，这使我们能够保持在{maxiui>s}的罕见事件框架内 {Piui>s}，u∈ [0,1]d.定理6.1。假设ψ（s）（u）=1{maxiui>s}，并且建议分布fv和相应的权重函数w（u）如第4节所示。此外，假设F∧是一个离散分布，原子数n∧为P[∧=xk]=pk，k=1，n∧，0=x<···<xn∧<1，按照算法4.6进行校准，条件B保持不变。表示k*u=max{1≤ K≤n∧：xk≤ maxiui}，u∈ [0,1）d。

那就吃吧→1Eψ（s）（V）w（s）（V）p(s)< ∞.保险证明中copula模型的一种重要抽样方法。在条件B下，我们有xk*U≥ 事件{maxiui>s}上的s。因此，Z[0,1]dψ（s）（v）w（s）（v）dFV（v）=Z[0,1]dψ（s）（u）w（s）（u）dC（u）=Z[0,1]dψ（s）（u）n∧Xk=1epk！n∧Xk=11{Xk≤ maxiui}epk1- C（xk1）！-1dC（u）=Z[0,1]dψ（s）（u）n∧Xk=1ψ（s）（xk1）（C（xk1）- C（xk-11))!ψ（s）（xk）*u1）-1dC（u）=Z[0,1]dψ（s）（u）（C（xn∧1）- C（s1））dC（u）≤ (1 - C（s1））Z[0,1]dψ（s）（u）dC（u）=（p（s）），（6.3）证明了该定理。请注意，定理6.1保证了（6.1）中的有界相对误差→1吨（s）<∞. 对于拒绝算法来说，这是不成立的。事实上，自从E[（1- Λ)-1] =Pn∧k=1pk/（1）-xk），我们根据定理4.3得出→1T（s）=∞ 在条件B下，在直接抽样的情况下，我们可以证明定理6.1的相应版本，对任何i=1，…，取ψ（s）（u）=1{ui>s}，d和k*u=max{1≤ K≤ n∧：xk≤ ui}，u∈ [0,1）d.由于该算法的计算成本T（s）常数为s，因此在罕见事件设置中，应优先使用该算法，而不是拒绝采样算法，尽管它可能需要更多的实施效果。建议分布Fv的校准是基于以下假设进行的：≈ψ（maxiui1）。在定理6.1中，我们已经能够证明当ψ（u）=1{maxiui>s}对于一些s∈ （0，1），即当假设成立且相等时，则e[ψ（V）w（V）]≤ E[ψ（U）]。ByJensen不等式我们得到了E[ψ（V）w（V）]≤ E[ψ（U）]，因此var（bun）≤ var（un），因此估算值的方差较小。尽管假设ψ（u）≈ ψ（maxiui1）是保险数学中的典型应用，它通常不具有相等性，因此不容易合并到一个分析框架中，以证明某种方差折减因子。

然而，我们在第7节的数值案例研究中说明，对于几个典型的保险问题，我们得到了实质性的方差减少。7案例研究在本节中，我们将说明与保险应用相关的泛函ψ的重要性抽样算法的性能。我们将在同一示例中使用第4节和第5节中定义的两种重要抽样算法。我们使用三个随机向量，分别为d=2、d=5和d=25。我们的案例研究将假设X=（X，…，Xd）的边际分布为对数正态分布，参数化为Xj~ LN（10）-0.1j，1+0.2j），j=1，d、 每个利润率的预期收益率，即e[Xj]=36315.5和标准偏差e[Xj]√e1+0.2j- 1.我们将考虑两个连接词的例子，即Clayton和Gumbel。Kendall的tau值，例如，见Nelsen（2006）中的第5.1.1节，每对边距之间的值为1/3，由此得出Clayton参数为1，Gumbel参数为1.5。请注意，我们的重要性抽样方法并不依赖于对copula的特定假设。因此，算法的一般行为不会随着依赖程度的增加而发生显著变化。本案例研究已使用R包copula实现。我们研究了以下五个X函数的估计。所有这些函数都是根据总损失S=Pdj=1Xj制定的，这是受精算实践中经常出现的风险聚合问题启发得出的：oE[max{S- T、 0}]，这是具有免赔额T的止损保险的公平保费。

对于T，我们使用T=10d，约为S预期值的3倍；保险中copula模型的一种重要抽样方法17oVaR0。995（S）和ES0。99（S），分别是确定偿付能力资本低于偿付能力II和瑞士偿付能力测试的风险度量（见FOPI（2006）和CEIOPS（2010））E[X | S>F-1S（0.99）]和E[Xd | S>F-1S（0.99）]，代表根据欧拉原理分配给第一个和最后一个保证金的资本，见Tasche（2008）。为了便于校准和模拟，我们使用F∧的离散框架。由于我们希望使用相同的样本来估计所有目标函数，因此我们只对每个问题维度进行一次F∧校准。回想第2节，VaRα和ESα不能写成E型[ψ（X）]的预期。因此，我们使用停止损失目标函数eψ（u）=max{Pdj=1F来校准F∧-1j（uj）-T、 0}。仅当Pdj=1F时，该值为非零-1j（uj）高于免赔额T，因此使用此功能进行校准将有利于我们的应用感兴趣区域内高浓度的畸变样品。注意，F∧的校准取决于copula和重要抽样算法的选择，见第4.3.1节和第5.3.1节。离散点的数量设置为n∧=10。如表1所示，最高点x=1- (1/2)≈ 0.998，远远超出了考虑中的最高VaR水平。为了满足条件A，我们手动将XT的重量设置为p=0.1，并按比例减少其他重量。pkk=1的权重。

，n∧由使用Gumbel copula和拒绝采样方法进行的校准产生，如表1所示，尺寸d=2、5和25。k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10xk0。000 0.500 0.750 0.875 0.937 0.968 0.984 0.992 0.996 0.998d=2 pk0。100 0.000 0.000 0.000 0.115 0.325 0.206 0.128 0.787 0.048d=5 pk0。100 0.000 0.000 0.000 0.129 0.302 0.202 0.131 0.084 0.053d=25 pk0。100 0.000 0.000 0.000 0.022 0.252 0.216 0.174 0.135 0.102表1：使用Gumbel copula校准的概率权重pk。图2中绘制了权重函数ew（·）=w（·1）和5000个V样本的散点图，其中参考copula为Gumbel，并使用了拒绝采样方法。考虑到本案例研究的设置，很容易检查引理3.2是否满足要求。由于FV的构造，与copula样本相比，更多样本位于上边界或右边界附近。由于目标函数使用S分布函数的估计，我们将样本权重归一化为和1。这进一步减少了Geweke（2005）第4.2.2节或Liu（2008）第2.5.2节中提出的估算误差。为了评估重要性抽样带来的改进，我们对d∈ {2, 5, 25}. 我们使用n=10000的样本量来计算两种算法中每一种算法的重要性抽样器bu，以及所有目标函数的标准蒙特卡罗估计值u。总共500次重复被用来获得这些估计器的经验分布，从而估计它们的方差。虽然样本大小对样本方差的值有影响，但在算法效率的研究中，它不应扮演重要角色。表2、3给出了使用拒绝算法的Gumbel和Clayton情况的结果，表4、5给出了使用直接算法的Gumbel和Clayton情况的结果。

尽管估计值可能因用于采样的算法而异，但由于我们的实证研究显示了不可忽略的差异，我们仅给出了从普通蒙特卡罗模拟中获得的参考值。这些表格中的主要结果以方差缩减因子的形式出现，它表示普通蒙特卡罗估计量的样本方差除以我们的重要抽样估计量的样本方差。表2、3、4和5表明，重要性抽样算法大大降低了所有目标函数的估计误差。这并不奇怪，因为F∧被校准为这个函数，所以最大的减少是停止损耗。通过对其他函数进行特定校准，可以实现更大的缩减。