信用风险模型

我们表明，假设违约概率和违约相关性均对应于未知信用损失概率分布的经验矩，丛林模型“自然”产生，无需输入有关所考虑的信用组合组成部分之间信用互动的特定知识。2015年12月2日MV19˙续˙201509232。数据我们使用穆迪所有评级的1920年至2010年年度发行人加权公司违约率，参见（穆迪投资者服务2011）和（Giesecke等人2011）1866年至2008年美国国内非金融公司发行的债券的价值加权违约率。正如文献和从业者中经常讨论的那样，违约率数据往往存在将其解释为违约损失的问题。对于我们使用的这种长期数据集，情况更是如此。我们的方法是务实的：（Moody’s Investors Service 2011）和（Giesecke et al.2011）数据并非无稽之谈，因为即使数据定义过程可能不够“严格”（也不可能），数据可能足够稳健（这两种情况下的数据都包含几个完整的商业周期）。其中一个原因是，我们使用的数据集比文献中惯用的更长（Azizpour等人，2014年）使用的数据始于1970年；（Das等人，2007年）1979年；（Lando等人，2010年），1982年；（杜菲特等）。

我们的模型不需要使用宏观经济数据或企业特定数据，因此我们可以在仍然存在违约率经验数据的情况下，尽可能地倒退。相反，例如，标准普尔500指数于1957年推出，因此研究人员需要大量的真实性才能找到几十年前相应的宏观经济和企业特定数据。从（穆迪投资者服务2011）开始，使用投机级债券的违约率以及投机级债券对应的违约数量，我们可以大致计算出每年投机级债券的总额。在本文的其余部分，当我们尝试对投机性等级债券建模时，我们将使用接近800的平均数。遗憾的是，本文没有提供单一评级的相应数据。按照顺序，当我们处理Caa-C评级时，我们任意将投机性等级债券的数量减少一个数量级，即80.3。信用组合模型信用组合由N种信用工具组成。信贷组合模型是一种理论结构，提供给定信贷组合损失的无条件概率分布作为输出（我们将在本文的其余部分重点关注未知）。穆迪的KMV（Merton 1974）、CreditMetrics（Gupton et al.1997）、CreditRisk+（CreditSuisse1997）和CreditPortfolioView（Wilson 1997）是商业上可用的信贷组合模型。此外，高斯copula（Li 2000）成为一种广泛使用的信用衍生品估值工具。这些信贷组合模型都无法充分模拟美国或美国金融危机期间的尾部风险。美国次贷危机或欧洲外围国家的主权和银行危机。

特别是，一些观察家认为高斯copula是一个“灾难配方”，见（Wired 2009），（FT 2009），在对信贷尾部风险进行建模时。信用组合的损失可以计算为：L=NXi=1Li=NXi=1Ei（1- RRi）li（1）其中表示违约风险敞口，即信用工具i的最大潜在损失（通常是债券或贷款的名义损失），（1）- RRi）表示违约损失（RR代表恢复率），描述了当第i个借款人违约时，违约风险敞口中最有效的部分，LI是一个以{0,1}为单位取值的指标，它描述了第i个借款人是否违约。一般来说，现实世界中的情况下，生命变量是随机的，恢复率也是随机的，并且投资组合是不均匀的（一般来说，Ei6=EJ，最后一些I6=j）。2015年12月2日MV19˙cont˙20150923相关损失概率分布的建模具有挑战性。当我们找到该投资组合损失的概率分布L时，我们将说明我们的信贷投资组合模型已得到解决。本文其余部分的目标将是激活、计算和分析L的概率分布。从现在起，直到第7节，我们将简化分析同质投资组合（默认风险敞口设置为1），我们不会对回收率进行建模（假设回收率是恒定的，所有借款人的回收率都是相同的，这是很自然的）。在第7节中，我们将讨论非齐次投资组合和依赖于状态的回收率的一般情况。我们将表明，上述简化并不代表通用性的丧失。因此，状态空间简化为一组取值为0或1的离散变量，Ohm = {（l，l，…，lN）|li∈ {0,1}，i=1,2，N}。

损失简化为`=NPi=1li。一般来说，随机变量的概率分布是未知和不可观测的。一种可能的推导方法是将随机变量下面的动力学“微观”过程聚合起来。例如，现代物理学已经成功地从第一原理（量子力学和量子场论）阐明微观动力学定律，并通过一个称为统计力学的平均过程找到相关的宏观方程（热力学）。然而，在社会科学中，这个过程充满了困难。一般来说，其背后的动力学过程是未知的。通常的方法如下：随机变量的概率分布是不可观测的。但随机变量也有可观测性，可以理解为使用概率分布进行的直接计算。例如，随机变量的期望值是相应概率分布的第一个时刻。方差和相关性对应于概率分布的二阶矩。偏态和峰度是分布的三阶和四阶矩，是广泛使用的经验可观测值。数学上表现良好的概率分布可以完全用其矩来描述。特别是，我们的基本随机变量，即信贷组合中的损失，是一个有界变量，因此我们不担心当无界概率分布的尾部“足够大”时，时刻变得有限的可能性，参见（Bouchaud et al.2003）。

因此，有必要假设，尽管概率分布不可观测，但分析人员最终可以通过其矩的经验知识（或通常，通过一般函数的预期值的知识；矩是多项式的预期值）来恢复概率分布。那么，问题是：鉴于对其全部或部分矩的了解，有没有办法找到基本随机变量概率分布的一般形式？最大熵原理（Maxent）为这个问题提供了一个具体的答案。Maxentasserts：给定一个有限的状态空间Ohm, 中的概率分布Ohm 这将最大化熵，并满足以下m<卡(Ohm) 约束条件，给定Ohm, fk（x）和固定数字fk:hfk（x）i:=Xx∈OhmP（x）fk（x）=fk，k=1,2，···，m（2）以及一个归一化条件：h1i:=Xx∈OhmP（x）=1（3）2015年12月2日MV19˙cont˙20150923is:P（x）=Z（λ，λ，···，λm）exp-mXi=1λifi（x）！（4） 其中Z称为配分函数：Z（λ，λ，···，λm）=XOhm经验-mXi=1λifi（x）！（5） 拉格朗日乘子λi是通过反转以下m方程组得到的：Fk=hfk（x）i=- 对数Z（λ，λ，···，λm） λk，k=1,2，···，m（6）Maxent背后的直觉是P（x）是分析师可以得出的“最佳”概率分布，假设所有关于手头问题的经验证据都总结为函数的预期值（分别是fk数和fk（x）函数）。期望值取（未知）概率分布P（x）。附录A进一步讨论了上述主张。通常情况下，虽然给定系统的“真实”概率分布未知，但一些约束条件自然是已知的。

例如，在掷骰子的小例子中，我们知道无论正确的概率分布是什么，每个状态（骰子的六个面中的每一个）的概率加起来都必须是一。事实上，骰子的Maxent给出了一个统一的概率分布，每个骰子的面都有一个p=。同样地，如果我们知道，除了所有的概率加起来必须等于一之外，随机变量的期望值，Maxent产生了二项式分布。下面我们将看到，除了所有概率加起来必须等于一的事实之外，随机变量的预期值及其相关性都是已知的，Maxent给出了Junglemodel。Maxent是贯穿科学的一个普遍原理，参见（Jaynes 2004）。因此，我们认为，Maxent是选择信贷组合损失概率分布的一个合理原则，这与现有的经验数据一致，这让我们感到足够舒服。让我们将Maxent应用于给定的信贷组合：我们的状态空间是Ohm = {（l，l，…，lN）|li∈ {0,1}，i=1,2，N}，一组离散变量li，取值为0或1，表示第i个信用的默认/非默认状态。作为一个序列，我们可能从损失的（未知）概率分布中得出的潜在矩是：o一阶矩hlii。这是第i个借款人的违约概率pio二阶矩hlilji，对于I6=j。这与第i个借款人和第j个借款人之间的违约相关性ρij=qij直接相关- pipjppi（1- pi）ppj（1- pj），qij:=hlilji（7）我们将“最佳”概念留待2015年12月2日MV19˙cont˙20150923o二阶矩，hlilji=hlii，对于i=j。

然而，由于Lio只取{0，1}中的值，所以li=li是真的，所以这第二个时刻的知识变得无关紧要。一般来说，li，lki的任何幂，当k是一个自然数时，就变成了li。假设第j和第k个借贷者都违约，那么第i个借贷者的信用度会受到三阶矩hliljlki的影响。这种影响在理论上是可以想象的。然而，据我们所知，信贷文献中没有对这一现象进行严肃的讨论任何高于三阶矩的阶矩都必然与上述第三阶矩的阶矩进行相同的讨论。从业者普遍认为，信贷组合的相应可用经验信息可以概括为：o借款人违约的概率通常可以通过清算名称的CDS进行估计，或者根据非流动性债券或贷款的内部评级模型。估计往往不会太吵o两个借款人之间的违约相关性更难估计相应的违约概率。没有类似于CDS的金融工具可以暗示违约相关性，或者如果有，它们往往是非流动性和场外交易（不透明信息），并提供嘈杂的估计。

话虽如此，尽管其估计存在实际困难，但共识是存在违约相关性，至少在某些情况下可以测量，这是理解违约聚类的一个关键变量o第三阶和更高阶矩在信用领域没有特定名称，我们声称（至少在我们的思维框架中，它包括忽略动态“第一原理”方程，只考虑对Maxent施加经验约束所产生的概率分布），信贷组合的经验可用信息可以总结为违约概率及其组成部分的违约相关性。Maxent选择丛林模型作为其信贷损失的首选概率分布，与可用的经验数据一致，如下一节所示。4.丛林模型和信用风险我们考虑了一个由N个信用工具组成的信用组合，具有空间状态Ohm = {（l，l，…，lN）|li∈ {0,1}，i=1,2，N}。我们考虑集合“标记”N个节点，Θ={1，2，…，N}和集合“标记”然后（N- 1） 节点对Φ={（i，j）|i=1，2，…，N&j>i}（对ij和对ji被认为是相同的），以及它们的两个子集θ∈ Θ和φ∈ Φ。与前一节一致，我们假设相应信贷组合的全部可用经验信息可以总结为违约概率及其组成部分的违约相关性。我们将始终考虑θ=Θ，或者换句话说，我们假设可以对投资组合中所有成分的违约概率进行估计，但φ通常是Φ的适当子集，这意味着可以估计部分（但不是全部）违约概率。

一般情况下，1 卡片（φ）N（N）- 1).使用Maxent的框架，我们声称，鉴于以下经验数据，包括违约概率和违约相关性：opi，我∈ θ、 用圆周率∈ [0,1]oρij，（i，j）∈ φ、 带ρij∈ [-1, 1]; 我们确定双方关系为2015年12月2日MV19˙cont˙20150923qij- pipjppi（1- pi）ppj（1- pj）=ρij，（i，j）∈ φholdsle考虑到以下经验约束：opi=hlii，我∈ θoqij=hlilji，（i，j）∈ φMaxent在所有符合以下条件的概率分布中选择丛林模型：P（l，l，…，lN）=Zexpxi∈θαili+X（i，j）∈伊里尔（8） 式中z=XOhm经验xi∈θαili+X（i，j）∈伊里尔（9） 未知参数α和βij必须通过强制概率分布为我们所掌握的经验信息提供正确的估计来找到，即满足以下约束条件：pi=hlii= 对数Zαi（10）qij=hlilji= 对数Zβij（11）5。丛林模型，在展示了Maxent原理后，选择丛林模型作为选择的概率分布来分析信用风险（假设信用组合的全部经验信息可以总结为违约概率及其组成部分的违约相关性），我们尝试并激励丛林模型，通过研究一般模型的一些特定实例。为了实现这一目标，本节介绍了一般丛林模型的几个特殊情况：二项式模型，在二项式模型、蒲公英模型和戴蒙德模型中添加了小的传染。如第3节所述，我们将说明，一旦通过分析或数值计算概率分布，概率信用模型就已经求解。求解一个模型有两种方法：oZ，配分函数，已通过解析求和。

下面我们将展示蒲公英模型的Z的显式计算。我们将在第5节的其余部分使用这种方法。在物理学文献中，丛林模型被称为具有外场的伊辛模型，同时具有空间相关外场和空间相关局部相互作用2015年12月2日MV19˙cont˙20150923o如果配分函数不能解析求和，马尔可夫链蒙特卡罗方法可能允许生成基本概率分布P，不必知道它的显式形式。有了这些认识，就可以计算出各种分布的平均值。我们将在第7节中应用这种方法，处理不均匀投资组合和依赖于状态的回收率。在本节中，我们将展示丛林模型能够以标准信贷组合模型无法做到的方式引入信贷传染。特别是，丛林模型将显示为“正常经济条件”下的信用相关性建模（以类似于高斯copula的方式，至少在非定量层面上），但也会内生产生准相位转换，这可以理解为系统性信用危机建模，“不知从何而来”，这种现象通过定义，高斯copula无法应对（换句话说，高斯copula下的模型永远无法应对系统性危机）。二项模型对于违约概率已知且彼此相等的信贷组合，{pi:=p|i=1,2，…，N}但违约相关性{ρij |i=1,2，…，N&j 6=i}未知的信贷组合，根据最大熵原理选择的概率分布为：p（l，l，·l，·lN）=ZexpαNXi 1li！（12） 由于同质性，上述分布成为二项分布：PNXi=1li=`=N`p`（1）- p） N-`（13） 识别为p=1+e-α.