碳的社会成本与经济和气候风险

引爆点事件可能对经济产生非常大的影响（见IPCC 2014；Smith et al.2009），但其规模存在很大的不确定性。很少有研究试图估计高潮损害，因为我们依赖于文献中呈现的各种观点。Stern（2007）回顾了现有的模型，其中包括临界点事件的风险，并估计了约占世界总产值5%-10%的影响。诺德豪斯（2008年）假设灾难性损害的金额高达世界总产值的30%，霍普（2011年）校准了倾翻造成的损害范围，将其包括在5%到25%之间，中心水平为世界总产值的15%。偏好参数数据不确定替代ψ的跨时间弹性和风险厌恶参数γ的正确值。Bansal和Yaron（2004）将消费数据和资产收益结合起来，得出ψ在0.5到1.5之间，γ在7.5到10之间。Bansal和Ochoa（2011）使用ψ=1.5和γ=10。Vissing-Jorgensen和Attanasio（2003）发现γ介于5和10之间，ψ>1。Vissing-Jorgensen（2002）和Campbell及Cochrane（1999）发现了ψ<1的证据。Barro（2009）使用sψ=2和γ=4，Pindyckand Wang（2013）使用ψ=1.5和γ=3.066。Nordhaus（2008）的骰子模型是确定性的，其效用函数相当于我们的Epstein-Zin效用函数中的ψ=0.5。不确定性指标的缺失意味着爱泼斯坦-辛偏好不依赖于γ，效用是时间可分离的。由于缺乏关于偏好的精确知识，我们为γ0.5的大范围值求解DSICE≤ γ ≤ 对于ψ，为0.5≤ ψ ≤ 2.0，重新审视碳的社会成本如何取决于风险偏好。在我们的基准参数规范中，我们遵循Bansal和Yaro n（2004），并假设ψ=1.5，γ=10。

然而，由于缺乏对前置词的精确了解，我们将在0.5的范围内求解我们的模型≤ γ ≤ 风险规避参数为20，风险规避参数为0.5≤ ψ ≤ 2.0的跨时期替代弹性。我们将研究碳的社会成本如何取决于风险偏好。5.3数值解方法我们使用值函数迭代法解决（16）中规定的九维问题。将三个状态变量（ζ、χ、J）离散化，并将随机冲击建模为有限状态马尔可夫链的转移。生产率过程状态（ζ，χ）使用具有足够状态的马尔可夫链，以确保产生的消费过程与消费数据中观察到的条件方差和自相关相匹配，并对J进行校准，以代表气候文献中讨论的过程。在（ζ，χ，J）空间的每个离散点上，六个连续状态（K，M，T）上的值函数用多元正交多项式ls近似。选择每个连续状态变量的范围，以便所有模拟路径都在该范围内。这是一个很大的问题，但使用并行编程方法和硬件使其易于处理。有关数学和计算细节的更广泛讨论，请参见本文附录B和E以及Cai et a l.（2015）。5.4 VVUQ文献（如Oberkampf和Roy 2010）中的一个主题的验证测试是检查计算机代码正确性的测试值。一个常见的测试是将代码应用于我们知道解决方案的特殊情况。如果消除了所有的不确定性，那么我们的模型就简化为一个确定性的最优控制问题，这个问题可以用非线性规划方法来解决。

我们将这些最优控制解与我们的值函数迭代结果进行比较，看看值函数是否暗示了一条与非线性规划结果相等的最优路径。我们的测试表明，值函数所暗示的路径至少具有三种数字精度，通常显著更高。详见附录F。5.5结果展示我们对要素生产率增长中随机成分和随机气候的描述都是对气候变化经济学的全新贡献。因此，我们首先单独研究每个组成部分对气候政策的影响，然后再研究它们的相互影响。在第6、7和8节中，我们分别分析了随机增长、随机气候以及随机增长和随机气候组合对气候政策的影响。我们将我们的随机示例与一个确定性基准示例进行比较，其中CRRA实用程序使用ψ=0.5，如No rdhaus（2008）中所述。DICE系列模型基于Schneider和Thompson（1981）的连续时间微分方程系统。基于诺德豪斯（2008）的骰子模型，蔡等人。（2012b）分析替代时间步长，发现一年步长为连续时间系统提供了极好的解决方案。因此，我们的确定性基准示例被选为Cai等人（2012b）中的示例，带有年度时间步长。DSICE在本文的所有示例中也将使用一年的时间段。在以下三个部分中，我们分别定义了基准参数规格，并说明了碳的社会成本和其他变量的最佳动态路径的分布情况。

我们还对一些参数进行了敏感性分析，并在表格中报告了不同参数选择对当今碳和其他变量的社会成本的最佳水平的影响。最佳路径的模拟如下：在时间t=0时，我们根据今天观测到的资本存量水平、大气、上层海洋和下层海洋中的三种碳质量，以及大气和海洋中的两种温度水平，指定六种连续状态的水平。我们还假设今天的随机生产率状态是其观测平均值，其增长率为零。就气候而言，我们还假设一个临界点尚未升高。在初始化状态空间之后，我们使用值函数来计算当前的最优决策（即t=0）。通过最佳社会决策和当前时期冲击的再实现，我们可以获得下一年的状态变量水平（即t=1）。我们继续这个模拟过程直到最后一刻。在我们的基准案例中，我们模拟了10000条这样的路径，以检查状态、决策的分布，尤其是碳的社会成本。6碳的社会成本（仅）随机增长本节分析了随机增长和风险偏好对碳的社会成本以及气候和经济系统组合的其他特征的影响。在本节中的任何模型运行中，我们都不考虑气候转换点的风险。我们首先描述了一个基准示例，其中包含生成与历史数据匹配的消费过程的参数。我们称之为我们的随机增长基准。

这种随机增长基准使我们能够揭示结果动态过程的关键特征，如消费、产出、生产率、气候状态和碳的社会成本。然后，我们对经验上合理的替代偏好参数进行敏感性分析，重点是偏好假设在初始阶段如何影响碳的社会成本。附录A给出了初始时间的九个状态变量（K、M、T、ζ、χ、J）的值。为了与Nordhaus（2008）和类似研究进行比较，我们将2005年作为第一年。我们的经验表明，以2010年为起始日期不会改变定性结果。6.1随机增长基准在这个随机增长基准示例中，我们假设Epstein–Zin偏好ψ=1.5，γ=10，并通过求和来描述随机增长过程 = 0.035，r=0.775，=0.08。作为第一步，我们给出了表1，其中列出了从我们对动态规划问题解决方案的10000条模拟路径得出的变量的平均值和标准偏差，如人均产出增长gy、t、碳SCCt的社会成本（对数标度）和人均消费增长gc，以及2020年、2050年和2100年。在去趋势化之后，我们还进行了la g-1线性自回归分析。也就是说，对于时间序列Xt（可以表示表1中的任何变量），我们假设Xt+1-xt+1=∧（xt- xt）+t，（18）其中，x是时间t时10,00个模拟点的x的平均值。对于每个模拟路径，通过其前100年的数据，我们得到了∧的估计值，以及la g-1自回归残差的标准偏差，表示为σ（），也被称为提前一个周期的条件标准偏差。总之，我们得到了∧和σ（）的10,000个估计。

表1还报告了它们的平均值和标准误差。表1告诉我们，对数的平均值和标准偏差（SCCt）都随着时间的推移而扩大。然而，2020年至2100年之间的对数标准差（SCCt）增加了三倍多，因此其增长速度远快于其平均值的增长速度。此外，log（SCCt）的∧平均值大于1，这意味着log（SCCt）随时间是非平稳的。类似地，减量试验条件与总产量之比ψt/Yt也被证明是非静态的，随着时间的推移，平均值和标准偏差不断扩大。表1还显示，其他四个变量（即人均产出增长gy、t、人均消费增长gc、t、消费与总产出的比率Ct/Yt以及资本投资与总产出的比率It/Yt）的平均值和标准差几乎与时间无关。此外，对于这四个变量中的每一个，它们的∧均值都小于1，标准误差很小，因此它们的95%置信水平也低于1。

这一发现表明，这四个变量是平稳的，具有回复特性。gy，tCt/YtIt/Ytψt/Ytlog（SCCt）gc，t 2020年的平均值为0.013 0.697 0.302 9.0(-4） 2050年的平均值为1.924 0.014 0.013 0.705 0.293 2.1(-3） 2.153 0.013平均值为21000.012 0.704 0.290 6.1(-3） 2.457 0.012 2020年的标准偏差0.038 0.027 0.026 3.2(-4） 0.087 0.024 2050年时的标准偏差0.039 0.028 0.027 1.5(-3） 0.184 0.024 21000.039 0.029 0.027 5.9时的标准偏差(-3） 平均值∧0.184 0.854 0.847 1.008 1.003 0.458标准误差∧0.117 0.057 0.056 0.077 0.015 0.135σ（）平均值0.037 0.014 0.013 2.3(-4） 0.013 0.021σ（）的标准误差0.003 0.001 0.001 2.7(-4） 0.001 0.002表1：来自10000条模拟路径的统计数据（a(-n） 表示a×10-n） 对于gy，t（人均产出增长）、Ct/Yt（消费与总产出之比）、It/Yt（资本投资与总产出之比）、ψt/Yt（减排支出与总产出之比）、log（SCCt）（对数尺度上的碳社会成本）和gc，t（人均消费增长）。请注意，我们对有气候影响的最优控制下的消费增长的统计数据与没有气候影响的消费增长的统计数据非常接近，我们将其用于校准，并在附录B中进行描述。这意味着这些统计数据也接近于美国1930年至2008年的观测数据。经验数据的平均值、标准偏差、∧和σ（）为0.019，分别为0.022、0.46和0.018，完全被我们模拟的统计数据的90%置信区间所覆盖；见附录B中的表14。与纯确定性增长模型相比，我们的模型意味着消费与世界总产出的比率较低，资本积累和减少的投资比率较高。

图1给出了详细信息，显示了前100年三个比率的最佳动态分布，以及10000个分位数的动态编程问题解决方案模拟（16）。例如，黑色虚线代表10%的分位数，表示每个分位数的比值。类似地，蓝色虚线、红色虚线、蓝色实线和绿色实线分别表示每次的2.5%、5.0%、75%和9.0%分位数。黑色实线代表样本平均路径。如前所述，DSICE的一个特例（即所有变量均为零且ψ=0.5）使其与Nordhaus的确定性模型（20 08）具有可比性。我们用红色实线表示这种特殊的决定论情况。灰色区域的下（上）边缘代表1%（99%）分位数；灰色区域re表示每个比率的98%概率范围e。从图1中，我们可以看到，与纯确定性模型（红色实线在黑色虚线下方）相比，其概率大于90%。此外，我们发现，在最初的时候，它/YIT为32%，比确定性增长假设下高出约8%，到本世纪末，预期差异约为5%。

总的来说，假设随机要素生产率增长具有持续性，会导致资本投资的显著预期增长，从而导致资本存量的预防性累积。此外，在对我们的模型进行的10000次模拟中，我们发现它/年的范围大约在22%到33%之间，我们将对所有描述随机过程的图使用相同的图形说明。世界总产出、资本和人均消费增长的模拟路径如附录G中的图8所示。分布结果如表1所示。年份A：投资与总产出之比（%）2020 2040 2060 2080 21002424262830323436年份B：减排支出与总产出之比（%）2020 2040 2060 2080 210000.511.522.5年份C：消费与总产出之比（%）2020 2040 2060 2080 21006466870727678年份D：碳的社会成本与总产出之比（%）2020 2040 2060 2080 21000.060.070.080.090.10.110.120.13！\"#$%&\'(&)\"*+,%&+\"-.)/01&-\'&221345%6\"$%071&89\"#-:,%;<1&89\"#-:,%<71&89\"#-:,%=<1&89\"#-:,%271&89\"#-:,%>\',9-:\'#&\'(&?%-%6*:#:)-:@*\'?%,&/!A7B<3图1：随机增长基准比率与世界总产出的模拟结果面板C呈现了与Ct/Yt完全相反的统计图。我们看到，在超过90%的概率下，Ct/YT将低于纯确定性模型，在本世纪末，Ct/YT似乎稳定在70%左右；与确定性模型相比减少了约6%。总的来说，这一减少并不是由更高的人均投资决定的，正如B小组所指出的，这一差异被分配到了排放量的增加上。我们发现，后者（用ψt/Yt表示）通常非常低，在本世纪确定性情况下不超过0.2%。

然而，正如B组中的黑色实线所示，有50%的可能性表明，到2100年，当对增长进行随机建模时，排放税支出将至少高出三倍。此外，由于超过20%的可能性，到2100年，世界总产出的1%以上应该被缓解。世界总产出的最优分配是一个投资组合选择问题，其中减排支出是一种投资形式。因此，储蓄分为投资股本或减少资本存量。总而言之，图1表明，包含持久性的随机增长将对全球产出的最优分配产生重大影响，确定性规格，甚至确定性等效公式都很可能无法考虑这些影响。我们已经研究了经济变量的动态，现在我们研究了它们之间的关系。表2报告了五个经济变量的增长率的相关矩阵：20年和2100年的全球产出、消费、资本投资、减排支出和碳的社会成本。我们看到，在2020年和2100年，所有报告的相关数几乎相同。