全球股票和波动的制度转换vine copula模型

由于其允许不对称尾部依赖的特性，我们将进一步关注甘贝尔copula及其定义为θ的逆时针旋转∈[1,∞)安度，v，∈[0,1]viaCGumbel（u，v）=exp-(-对数（u））θ+(-对数（v））θθCGumbel90（u，v）=v-CGumbel（1）-u、 v）CGumbel180（u，v）=u+v-1+CGumbel（1-u、 一,-v） （4）CGumbel270（u，v）=u-CGumbel（u，1-v） 我们通过回顾Kendall的τ来结束这一小节，这是copula理论中最广泛使用的依赖性度量，因为它对于边际分布的严格单调变换是不变的。因此，第1节中的ARMA-GARCH滤波不影响肯德尔τ。事实上，如果C是二元随机向量（X，Y）T的对应copula，那么τ（X，Y）=4∫[0,1]C（u，u）dC（u，u）-1.（5）对于给定的样本数据（x，y）T。（xn，yn）T，n≥2，肯德尔τ的估计值由^τ（X，Y）=Nc给出-钕√Nc+Nd+NX·√Nc+Nd+NY。（6） 其中，Nd和Nc分别表示不协调对和协调对的数量，而NX（NY）表示xi=xj（yi=yj）的对数量，其中i，j∈{1，…，n}，我≠j（Kurowickkaand Cooke（2006））。对于没有关系的数据集，也有更简单的公式。我们将^τ（X，Y）称为经验肯德尔τ2.2。四分之一尾相依性正如前面所指出的，本文的主要目的是在股权和隐含波动率指数之间的关系中识别“正常”和“异常”相依性机制。可以预见，在市场动荡时期，尤其是股票之间左尾的依赖结构会增加。同样，两个波动率指数的右尾也是如此。这两种效应都可以通过众所周知的（双变量）下尾依赖系数和上尾依赖系数来描述：定义4（尾依赖系数）。

对于随机向量（U，V）的三边分布函数Fand F的copula C，我们通过λU（C）=limu定义其上下尾相关系数（TDC）↗1P（V>F）-1（u）U>F-1（u））=limu↗11-2u+C（u，u）1-u、 （7）λL（C）=limu↘0P（V≤F-1（u）U≤F-1（u））=limu↘0C（u，u）u.（8）度量λu（C）和λL（C）能够在[0,1]的倒立第三象限内捕捉（双变量）关系。因此，并不是每个copula家族都有非零的上尾或下尾相关性，参见表3。例如，考虑Gumbel copula及其旋转：所有四个copula都描述了不同的尾部依赖特性。上尾依赖系数仅在Gumbel copula中为非零，而下尾依赖系数在除Gumbel180之外的所有情况下均为零。Copula族λLλUGauss-Student-t2tv+1-√v+11.-θ1+θ 2tv+1-√v+11.-θ1+θ甘贝尔-2-21/θGumbel90-Gumbel180 2-21/θGumbel270-表3：不同copula家族的尾部依赖系数。θ是Gumbel/Student-t族的copula参数，v表示Student-t copula的自由度。然而，当涉及权益和波动性之间的（不对称）关系时，我们预计Gumbel90或Gumbel270会更好，因为在金融市场中观察到的“正常”关系通常如下：一方面，股市动荡通常伴随着波动性水平的急剧上升。另一方面，繁荣的市场往往与波动性下降有关，尽管这种影响通常不那么强烈。正如上文所示，这种不对称关系不能被下尾或上尾相关系数捕捉到。此外，我们也在考虑商品指数。

在全球增长停滞或放缓的时期，伴随着低或负资产和高波动率回报，人们可以预计，对工业金属和能源等的需求将大幅下降。因此，商品波动率指数对的尾部依赖性应该类似于股票波动率对。有多种方法可以描述这种不对称依赖结构（参见Salazarand Ng（2013），他考虑了尾部连接）。出于我们的目的，我们将稍微调整尾部依赖系数的定义，以获得上述关系的合适度量：定义5（四分之一尾部依赖）。设（U，V）是一个具有均匀分布边的随机向量。我们特别假设（U，V）皮重相应地转化为权益回报率（Eq）、波动率（Vol）或商品（Com）指数，从现在起使用符号U，V∈（Eq，V-ol，Cmd）。此外，让（U，V）的copula C为Gauss（Ga）、Student-t（St-t）、Gumbel或它的一个旋转（Gu、Gu90、Gu180或Gu270）。然后，四分之一尾相关性（QTD）由λQTD（U，V，C）定义=λqtd（C），if（U，V）T=（V ol，V ol）Tλqtd（C），if（U，V）T∈{（Eq，vol）T，（Cmd，vol）T}λqtd（C），if（U，V）T∈{（Eq，Eq）T，（Cmd，Eq）T，（Eq，Cmd）T}λqtd（C），if（U，V）T∈{（vol，Eq）T，（vol，Cmd）T}（9），其中λqtd（C）=λU（C），λqtd（C）=λU（St(-θ、 如果C=St（θ，ν），τ<0λU（Gu(-θ） ，如果C=Gu90（θ）0，否则λQT D（C）=λL（C），（10）λQT D（C）=λU（St(-θ、 如果C=St（θ，ν），τ<0λU（Gu(-θ） ，如果C=Gu270（θ）0，否则，其中λLandλude注意定义4中所述的、表3中所选copula族的上下尾相关系数。

此外，θ是Gumbel/Student-t copula参数，而ν表示Student-t copula的自由度。可以看出，（经典的）上尾依赖系数，它描述了依赖λQT D（U，V，C）∶=λqtd（C）λqtd（U，V，C）∶=λQT D（C）表示（U，V）T∈{（Eq，vol）T，（Cmd，vol）T}：对于（U，V）T=（vol，vol）T:λqtd（C）=λU（St(-θ、 如果C=St（θ，ν），τ<0λU（Gu(-θ） ，如果C=Gu90（θ）0，否则λQT D（C）=λU（C（θ，ν））“Eq/Cmd下降，Vol上升”“两个Vol指数上升”λQT D（U，V，C）∶=λqtd（C）λqtd（U，V，C）∶=U，V的λQT D（C）∈{Eq，Cmd}:for（U，V）T∈{（vol，Eq）T，（vol，Cmd）T}：λqtd（C）=λL（C（θ，ν））λqtd（C）=λU（St(-θ、 如果C=St（θ，ν），τ<0λU（Gu(-θ） ，如果C=Gu270（θ）0，则“Eq和Cmd/Eq都下降”“Eq/Cmd下降，Vol上升”表4：不同索引对和copula族的四分之一尾相关性λQT D（X，Y，C）：高斯、Student-t和Gumbel，包括旋转。图形示例基于甘贝尔copula及其旋转的等值线图，肯德尔τ分别为0.3和-0.3。第一象限中的数据用于计算波动率对的QTD。对于股票和股票商品对，我们感兴趣的是第三象限，它使用较低的尾部依赖系数来衡量。最后，股票波动或商品波动关系位于第二和第四象限，由λQT D（C）和λQT D（C）捕捉。表4.3给出了QTD定义的说明。确定合理的R-vine树结构在本节中，我们将首先静态查看我们的索引数据。考虑到第1节中的过滤收益序列，我们首先应用了Dissmann等人（2013）的R-vine结构选择技术（该技术基本上是连接那些具有Kendallτ测量的最高依赖性的节点），即。

没有对树结构和选择的copula族（Gaussian（Ga）、Student-t（St-t）和Gumbel（Gu）施加任何限制，包括所有旋转（Gu90、Gu180和Gu270））。我们将其称为R-vine模型（依赖于1），其前两棵树如图3所示。即将推出的具有预先定义的树结构的静态全局模型将用“（2-…）”表示当我们使用“（3-…）”对于最终的政权转换模型。措辞“依赖”或“独立”应表明我们是否允许在连续性之间存在潜在的依赖结构。正如我们所看到的，股票指数与其对应的波动性指数直接相关，表明两者之间存在强烈的依赖结构。在更宏观的层面上，这也适用于所考虑的地理区域，因为来自同一个大陆的指数似乎“粘在一起”——商品指数是唯一的例外，这可以解释为英国广播公司是一个全球指数，其基础期货价格在纽约、芝加哥和伦敦确定。此外，正如预期的那样，Kendall的τ表明股权和股权商品之间存在正相关性，而股权波动率则存在负相关性。除了英国广播公司与欧洲指数相连外，各大洲主要通过两对股票指数相连，即HSI-SX5E和DAX-SPX，这可以通过考虑全球交易时间（参见。

表5）。证券交易所开盘-收盘时间（UTC）亚洲东京证券交易所00:00-06:00香港证券交易所01:30-08:00欧洲法兰克福证券交易所（Xetra）08:00-16:30欧洲交易所（适用于SX5E指数期权）08:00-16:30美国纽约证券交易所14:30-21:00表5：国际交易时间（忽略可能的午休时间）。图3：模型（依赖于1）：第一和第二棵树，对应的二变量copula族和肯德尔τ值。最后，肯德尔τ测量的连接水平在第二棵树上低于第一棵树，而每个区域内的依赖结构似乎比大陆之间的依赖结构更强。在后面的分析中，它建议对大陆内部和大陆之间的行为进行更详细的调查。因此，准备一个潜在的（而且是合理的！）对于我们的区域切换设置预先定义的树结构，我们首先分别调查所有三个区域内的依赖关系。仅在第二步中，我们将添加一个全局树结构。从亚洲开始，我们考虑四种设置，即图4所示的亚洲。前两个模型，亚洲和亚洲，都是D-vines，其中的连接分别通过股票（NKY-HSI）或波动率（VNKY-VSHI）实现。在C-vine模型中，亚洲的中心节点是香港股票交易所的股票指数HSI，而在亚洲，其角色由日本NKY接管。从现在起，对于agiven树结构，使用Schepsmeier等人（2015）从VineCopula包中选择的函数RVineCopSelect，基于最大似然度和AIC进行估计和copula选择。欧洲和欧洲的建筑与亚洲地区的相似。C-vine Europeis的中心节点被选为更广泛的欧洲股票指数SX5E。

由于DAX部分包含在SX5E中，Europeis被视为另一个D-vine，其“中间”节点是DAX及其隐含波动率指数VDAX。这种特殊设置的另一个原因是，这种结构也是在（1-dependent）中选择的，我们想测试单独分析欧洲时，这是否是最优的。所有模型如图5所示。最后，北美、美国和美国的考虑结构如图6所示。两者都是C-vine模型，其中第一棵树中的中心节点是SPX或VIX。对于所有设置，对数可能性和信息标准如表6所示。通常，亚洲、欧洲和美国的D-vine模型具有最高的对数概率和最佳的AIC图4：亚洲模型的树结构和Kendallτ的值。图5：欧洲模型的树结构和肯德尔τ的值。图6:Kendallτ模型和值的树结构。以及BIC值。图7：模型（依赖于2）：第一和第二棵树，相应的二变量copula族和肯德尔τ值。最后，我们结合之前的结果建立了一个全球模型：在每个区域内，第一棵树的结构从表6继承而来，而大陆之间的连接是通过与（1-依赖）相同的配对来实现的，即HSI-SX5E和DAX-SPX，从而形成图7所示的模型（2-依赖）。特别是，就对数似然性以及AIC和BIC而言，新的树结构似乎略优于表7总结的（1-依赖）。不出所料，它的表现也优于（2-独立）这是建立在亚洲，欧洲杜萨比假设独立的大陆。4.

马尔可夫转换R-vine copula模型在本节中，我们回顾了基于St"oberand Czado（2014）的R-vine copula的制度转换设置，该设置稍后将用于模拟指数数据集的依赖结构内的潜在变化。由于我们对描述“正常”和“异常”市场状态特别感兴趣，为了便于记谱，我们现在将自己限制在两种不同的制度下。马尔可夫转换模型最初由汉密尔顿（1989）提出，其基本思想是基于控制时间序列依赖结构的潜在马尔可夫链。在我们的例子中，后面的一个将由{Ut=（Ut，…，Udt）}t给出∈{1，…，T}与{Uit}T∈{1，…，T}beingi。i、 d.制服。确切地说，让{St}t=1，。。。，这是一个齐次离散时间马尔可夫链，它可以有两种不同的状态k=1和k=2，我们也称之为区域。稍后，k=1表示“正常”状态，而k=2表示“异常”状态。转换矩阵应为AIC BIC模型ASIA2027.61-4041.22-3998.24-ASIA2014.13-4012.25-3963.12-ASIA1997.10-3978.21-3929.08-ASIA1973.17-3932.35-3889.36-EUROPE8973.48-17924.95-17857.40-EUROPE8758.88-17495.76-17428.21-17428-17428.21-17906.11-17838.55-17864.17-17864.17-17764.27-17726-2017-4026-2017-2017-2017-2017-2017-2017-2017-2017-2017-2017-2017-2017-2017-2017-2017-2017-2017-2017-2017-2017-2014-2017-2017-2014-2017-2017-2014-2014--4002.69模型USA2009.69-4013.37-3994.95表6：考虑的R-vine模型亚洲、欧洲和美国地理区域的对数似然、AIC和BIC。

将粗体模型结合在一起会产生（2个独立的）。对数似然AIC BIC（1-依赖）14578.12-29010.24-28561.94（2-独立）13018.72-25993.44-25858.33（2-依赖）14618.70-29091.40-28643.09表7：所考虑的R-vine模型（1-依赖）、（2-独立）和（2-依赖）的对数似然、AIC和BIC。由P表示，具有为k，k′给定的元素∈{1,2}由Pk，k′决定∶=P（St=k′）圣-1=k），即在时间t从状态k开始的转移概率-最后，考虑两个不同的藤蔓copula模型（V，C，θ）和（V，C，θ），其中Vi，i={1,2}，是各自的树结构和对应的多元连接函数，其参数存储在向量θi中。因此，我们的双区马尔可夫切换R-vine（MS-RV）模型由两个R-vine连接函数规范和描述潜在马尔可夫链的2×2转移矩阵P给出。条件copula密度由c（ut）给出（Vi，Ci，θi）i∈{1,2}，St）=∑k=1{k}（St）·c（ut）（Vk，Ck，θk）），ut∈[0,1]d.（11）继St"ober和Czado（2014）之后，MS-RV copula模型的全似然函数可以通过f（u，…uT）分解为条件密度θ、 θ，P）=∑k=1f（u）S=k，θk）P（S=kP）×T∏t=2∑k=1f（ut）St=k，θk）P（St=ku1∶（t）-1） ，P） （12） u1在哪里∶T∶=（u，…，ut）对于t={1，…，t}。为了解决上述可能性最大化的问题，St"ober和Czado（2014）根据Aas等人（2009）的程序提出了以下逐步期望最大化（EM）算法：1。给定当前参数（θ1，l，θ2，l，Pl），迭代计算所谓的“平滑”概率(OhmT∣T（（θ1，l，θ2，l，Pl））st∶=P（St=Stu1∶T、 （θ1，l，θ2，l，Pl）），st∈{1,2}，（13）通过汉密尔顿滤波器（详见汉密尔顿（1989）和斯特伯与查多（2014））。最大化伪对数似然函数Q（（θ1，l+1，θ2，l+1，Pl+1）；u1∶T、 （θ1，l，θ2，l，Pl））∶=∑s=1。

.∑sT=1logf（u1∶T、 s1∶T（θ1，l+1，θ2，l+1，Pl+1））P（S1∶T=s1∶Tu1∶T、 （θ1，l，θ2，l，Pl））∝T∑t=1∑s=1。∑sT=1logf（ut，St=St，（θ1，l+1，θ2，l+1））P（S1∶T=s1∶Tu1∶T、 （θ1，l，θ2，l，Pl））+∑s=1。∑sT=1T∑t=1logP（St=St圣-1，Pl+1）+对数（P（S=S）l+1）×P（S1）∶T=s1∶Tu1∶T、 （θ1，l，θ2，l，Pl））（14）逐步进行，从（θ1，l+1，θ2，l+1）开始，在葡萄树上依次进行。然后，可以通过Kim和Nelson（2006）的公式分析Pl+1的最大化。确定“正常”和“异常”区域上一节概述了我们的MS-RV模型设置，该模型需要预先定义两种区域的R-V结构作为输入因素。因此，从模型中的树（2dependent）开始，我们需要确定indexdata的依赖结构中随着时间的推移可能发生的变化。为了做到这一点，我们将遵循St"ober和Czado（2014）的观点，对大陆内部和大陆之间的双变量copula进行详细的滚动窗口分析（RWA）。之后，我们开始分别估算每个区域的MS-RV设置，从而得出假设独立大陆的全球模型，我们称之为（3-independent-MS）。最后，（3-dependent-MS）将是（2-dependent）的相应马尔可夫切换设置，到目前为止，它的性能最好。5.1. 滚动窗口分析在下面的过程中，我们选择未来的250天窗口，并考虑高斯、Student-t和所有Gumbel旋转中哪一个是最好的。此外，还计算了Kendallτ的值和定义5中的QTD。