资本充足率测试与金融机构有限责任

如果 L∞是一个连贯的剩余不变接受集，它是σ（L∞, 五十） 闭的，然后b（A）={Z∈ L+；E[X-Z] =0， 十、∈ A}。（4.13）证据。根据σAin（4.3）的表示，对于所有X∈ A和Z∈ L+σA（Z）=infY∈AE[-Y-Z]≤ -E[X-Z]≤ 0 . （4.14）因为B（A）={Z∈ L+；σA（Z）=0}通过注释4.3，我们立即得到（4.13）。定理4.9。设A是L中的一个连贯的剩余不变接受集∞这与σ（L）有关∞, 五十） 拓扑结构。然后存在一个∈ 使A=SPAN（A）={X∈ L∞; X1A≥ 0} . （4.15）证据。验收集A可以表示为（4.2）中的γ：=σA。根据表4.8，很容易显示A=\\Z∈B（A）{X∈ L∞; E[X-Z] =0}。（4.16）由于Lis是可分的，所以[2]中的推论3.5意味着存在B（a）的可数稠密子集（Zn）。我们声称a=\\n∈N{X∈ L∞; E[X-Zn]=0}。（4.17）我们只需要证明包含“” 因为逆包含紧随其后（4.16）。为此，以X为例∈ L∞满足E[X]-Zn]=0表示所有n∈ N让Z∈ B（A）。根据密度，在L中存在一个（Zn）的子序列（Yn）收敛到Z。这意味着X-伊恩→ 十、-Zin L，表明E[X-Z] =0。因此，从（4.16）可知X属于a，因此（4.17）中a的双重表示成立。最后，设置A:=Sn∈N{Zn>0}∈ 如果我们得到a=\\n∈N{X∈ L∞; P（{X<0}∩ {Zn>0}）=0}={X∈ L∞; X1A≥ 0}，（4.18）这是证明的结论。因为正锥体∞+如果是唯一一个定律不变的跨度接受集，我们立即得到以下结果。推论4.10。设A是一个连贯的剩余不变接受集∞这与σ（L）有关∞, 五十） 拓扑结构。如果A定律不变，那么A=L∞+.备注4.11。例3.6中介绍的基于短缺风险的凸接受集是盈余不变和定律不变的。

这表明，要求一个凸的、剩余不变的接受集成为bealso定律不变量并不像相干情况那样具有限制性。5有限维的剩余不变性一个重要的例子，特别是从实用的角度来看，是Ohm 是有限的，F是离散的σ-代数，即Ohm. 在这种情况下，我∞可以用RN标识，其中N是Ohm. 我们证明了RNA中的闭、凸、剩余不变接受集本质上是正锥RN+的变换。我们首先将引理3.3改编成这个例子Ohm 最后，略去屋顶。引理5.1。录取决定了胜负 Rn是剩余不变的当且仅当（δx，…，δNxN）∈ 外汇∈ A和（δ，…，δN）∈ {0，1}N.对于本节的其余部分，我们假设 Rn是一个封闭的剩余不变接受集。为每个j∈ {1，···，N}vj:=infx∈Axj∈ [-∞, 0] . （5.1）我们用ej，j表示∈ {1，··，N}，RN的正则基向量。引理5.2。假设vj=···=vjR=-∞ 对于j，年少者∈ {1，…，N}和R∈ {1，…N}，thenPRi=1xjieji∈ A对于每个xj，xjR∈ R.证明。以xj，xjR为例∈ R.假设每个i∈ {1，…，R}我们发现∈ 一个如此之易=Rxji。引理5.1表示Rxjieji∈ A和A的凸性，然后yieldsPRi=1xjieji∈ A，是的。请注意，上述情况意味着如果vj=-∞ 每一个j∈ {1，…N}那么A=RN，这是不可能的，因为A是正确的。因此，存在j∈ {1，…，N}这样vj>-∞. 在重新编号之后，如果必要，我们可以假设存在1≤ K≤ N这样v，vK∈ R和vK+1=···=vN=-∞. 我们用π：RN表示→ 由π（x，…，xN）定义的正则投影：=（x，…，xK）。（5.2）由（a，z）：=（a，…，aK，z，…，zN）-K） ，a∈ RK和z∈ 注册护士-K、 我们表示RK×RN的一个泛型元素-引理5.3。

集π（A）是一个闭的、凸的、剩余不变的接受集i n RKandA=π（A）×RN-K.（5.3）证据。显然，π（A）是RK的一个非空的真子集。吃点什么∈ π（A）因此存在sz∈ 注册护士-K如此（a，z）∈ A.如果b∈ 和b一起≥ a、 然后（a，z）≤ （b，z）并且我们从（b，z）的A的单调性推断∈ A.这反过来意味着b∈ π（A），因此π（A）是一个接受集。此外，由于π的线性，它是凸的。为了证明π（A）是剩余不变的，取A∈ π（A）。ByLemma 5.1我们得到（a，0）∈ A.由于A是盈余不变量，因此(-A.-, 0) ∈ A因此-A.-∈ 通过引理3.3证明π（A）是剩余不变量。最后，为了证明π（A）是封闭的，我们在π（A）中取一个序列（an）收敛到某个A∈ RK。注意（an，0）∈ A引理5.1再次给出。因此，既然A是闭合的，我们必须有（A，0）∈ A所以A∈ π（A）。自从 π（A）×RN-Kis显然是正确的，为了证明（5.3），我们只需要建立逆包含。为此，采取（a，z）∈ π（A）×RN-由引理5.2可知（0，αz）∈ A表示每α>0。此外（a，0）∈ 引理5.1给出的A。A的凸性现在意味着（（1）- λ） a，λαz）∈ 对于每λ∈ （0,1）且每α>0。特别是，（（1）- λ） a，z）∈ A代表所有λ∈ (0, 1). 因为A是闭合的，所以让λ→ 我们得出结论（a，z）∈ A.暂时 RN，我们用锥（A）表示包含A的最小凸锥，用锥（A）表示其闭包。下一个结果表明，有限维的剩余不变接受集本质上是正锥的平移。提议5.4。设置w:=（v，…，vK，0，…，0）。Thencone（A）- w） =RK+×RN-K.（5.4）证据。显然是 {a∈ RK；aj≥ vj，j=1，K} ×RN-K.因此，圆锥体（A）-w） RK+×RN-注意，对于每一个j=1，··，我们有（vj+m）ej∈ A每m≥ 0，这意味着λ（vjej-w） +λmejbelongs到圆锥体（A- w） 对于每λ>0和m≥ 0

选择m:=λ，我们可以看到λ（vjej- w） +ejalso属于cone（A- w） 对于每一个λ>0→ 0，我们获得ej∈圆锥体（A）- w） 对于所有的j=1，K.因为，通过引理5.2，向量±ej∈ A表示j=K+1，N我们得到Rk+×RN-K圆锥体（A）- w） 。证据到此结束。备注5.5。在下列情况下，相应的结果不成立：(Ohm, F，P）是一个有限概率空间。事实上，对于任何成对不相交的序列（An），正概率定义的可测量集：={X∈ L∞; X1An≥ -n1An， N∈ N} 。（5.5）集合A很容易被看作是凸的、剩余不变的接受集，即σ（L）∞, 五十） 关门了。然而，不可能存在W∈ L∞用一个- W L∞+, 因为这意味着Aare中的元素从下面一致有界。6个正的、剩余不变的风险度量到目前为止，我们将注意力集中在剩余不变的接受集上 L∞以及ρA，S形式的盈余不变量风险度量，以及合格资产S。在最后一节中，我们试图澄清这些对象与Cont，Deguest&He在[6]和Staumin[19]中研究的风险度量类别之间的关系，重点关注我们认为从资本充足率角度最相关的那些资产。为了进行比较，我们使用了现金附加风险度量，即合格资产被取为beS=（1,1）Ohm). 回想一下，在这种情况下，我们写的是ρA，而不是ρA，S。备注6.1。让我们 L∞作为一个接受集，那么ρAis是众所周知的具有完整价值和连续性的。此外，ρA=ρAandA={X∈ L∞; ρA（X）≤ 0}. 在续集中，我们使用这些事实，而无需进一步参考。定义6.2。如果风险度量ρ被归一化，即ρ（0）=0，且仅取正实值，则称为正风险度量。备注6.3。（i） 正的盈余不变风险度量与[19]中引入的短缺风险度量一致。

这是因为，对于正风险度量，su-rplus不变性等价于ρ（X）=ρ(-十、-) 每X∈ L∞. （6.1）（ii）[6]中引入的基于损失的风险度量是正的、盈余不变的风险度量ρ，满足现金损失性质：ρ(-α） =对于每个α≥ 0.6.1ρa形式的风险度量和ρa形式的风险度量的截断可以是正的，因为现金可加性意味着ρa不受下面的约束。然而，有两种从ρA构造正风险度量的自然方法。除了[6]和[19]中考虑的一个例子之外，我们在下面回顾的所有例子都是基于这两种构造原则之一。例6.4。让我们 L∞成为一个被接受的人。1.映射ρ∧A:我∞→ [0, ∞) 通过设置ρ来定义∧A（X）：=ρA（X∧ 0）=ρA(-十、-) 为了X∈ L∞. （6.2）如果ρA（0）=0，则ρ∧Ais是一个正的、盈余不变的风险度量。这种风险度量被称为基于损失的ρAin[6]版本和ρAin[19]的超额不变对应物。映射ρ∨A:我∞→ [0, ∞) 通过设置ρ来定义∨A（X）：=ρA（X）∨ 0=最大{ρA（X），X为0}∈ L∞. （6.3）如果ρA（0）≤ 0，那么ρ∨Ais是一种积极的风险度量，但并不总是盈余不变的。在下面的第6.7节中，我们描述了这种情况。例6.5。下表列出了[6]和[19]中处理的风险度量ρ的主要示例。注意，所有这些风险度量可以写成ρ∧A这里有一个 L∞是（不一定是剩余不变的）接受集A（ρ）。有关更多详细信息，请参考[6]和[19]。（基于情景的保证金要求[6]）与∈ F是由ρ（X）：=ess sup（1AX）定义的正的盈余不变风险度量-) , （6.4）其中ess s up（X）表示随机变量X的本质上确界∈ L∞.2.

（看跌期权溢价[6]）看跌期权溢价是由ρ（X）：=E[X]定义的正盈余不变风险-] 为了X∈ L∞. （6.5）Jarrow在[16]中研究了这种风险度量。（光谱损耗测量，[6]）设φ：（0,1）→ [0, ∞) 是一个递减函数，r k（x）dx=1。与Д相关的光谱损失度量是由ρ（X）：=Z（VaRβ（X）定义的正盈余不变风险度量∨ 0）ν（β）dβ（6.6）=ZVaRβ(-十、-) ψ（β）dβ代表X∈ L∞. （6.7）Acerbi[1]中引入了相应的非运行版本。注意，（6.6）中的等式是由于风险值的urplus不变性。特别是，对于给定的α，设置φ（β）：=α（0，α）（β）∈ （0，1）我们得到ρ（X）：=TVaRα(-十、-) 为了X∈ L∞, （6.8），在[6]中称为预期尾部损失。（短缺风险[19]）让u:R→ R是u（0）=0的递增函数。短缺风险度量是由ρ（X）定义的正的盈余不变风险度量：-E[u](-十、-)] 为了X∈ L∞. （6.9）这种类型的风险度量是由福尔默提出的，并在[13]中提出。[6]中的以下示例令人感兴趣，因为它显示了一个不能以ρ形式书写的正风险度量∧A为任何接受设定一个 L∞.示例6.6（损失确定性当量[6]）。让你[0，∞) → R是严格递增的，d是严格凸的。损失确定性等价物是由ρ（X）：=u定义的正的urplus不变风险度量-1（E[u（X-)]) 为了X∈ L∞. （6.10）如[6]所述，损失确定性当量通常不能写成ρ的形式∧一套合适的验收标准。我们现在提供ρ形式的风险度量的特征∨Aare剩余不变量，与su rplus不变量接受集建立链接。提案6.7。让我们 L∞成为一个被接受的人。

以下陈述是相等的：（a）ρ∨Ais盈余不变量；（b） A是剩余不变的。如果ρA（0）=0，则上述（A）和（b）等价于（c）ρ∨A=ρ∧A.证据。假设（a）成立。对于任何X∈ 我们有ρA（X）≤ 0，hen-ceρ∨A（X）=0。自ρ∨Ais盈余不变，这意味着ρ∨A(-十、-) = 因此，ρA(-十、-) ≤ 0所以-十、-∈A和（b）分别为3.3。因此，（a）意味着（b）。相反，假设（b）成立。那么ρAis剩余不变量由命题3.12确定，因此ρAsinceρA=ρA也是如此∈ L∞. 如果ρA（X）≥ 0那么ρ∨A(-十、-) = ρ∨A（X）紧随其后，因为ρAis盈余不变。否则，如果ρA（X）<0，我们有X∈ A所以-十、-∈ A由A的剩余不变性决定。因此，ρA(-十、-) ≤ 0意味着ρ∨A(-十、-) = 0 = ρ∨A（X）。总之，（b）意味着（a）。假设ρA（0）=0，且（b）成立。由于ρA=ρA，r isk度量ρAis剩余不变量再次由命题3.12确定。如果ρA（X）≥ 0那么ρ∨A（X）=ρA（X）=ρA(-十、-) = ρ∧A（X）。另一方面，如果ρA（X）<0，那么X∈ A和剩余不变性意味着-十、-∈A.因此0=ρA（0）≤ ρA(-十、-) ≤ 0，因此ρ∧A（X）=0=ρ∨A（X）。因此，（b）意味着（c）。最后，由于ρ∧Ais总是剩余不变量，（c）暗示（a），结束证明。现金可加性取决于p正性在本节中，我们确定了正的盈余不变风险度量的形式为ρ∨A对于s-不变接受集A L∞. 为此，我们回顾了文献[19]中介绍的现金可加性服从正性的性质。定义6.8。正风险度量ρ：L∞→ [0, ∞ ) 如果ρ（X+α）=ρ（X），则称为正的现金加法- α（6.11）对每X都成立∈ L∞和α∈ 使得ρ（X）>α∨ 0.提案6.9。

对于正的盈余不变风险测度ρ：L∞→ [0, ∞) 以下陈述是等效的：（a）ρ=ρ∨A对于一些剩余的库存，请设置A L∞;（b） ρ为正的现金加法。在（a）中设置的验收总是可以被认为是a:=a（ρ）。证据ρ的现金可加性意味着ρ∨Ais现金添加剂受积极影响。因此，（a）意味着（b）。现在假设（b）保持不变，取X∈ L∞. 我们认为ρ=ρ∨A（ρ）。如果ρ（X）=0，那么ρA（ρ）（X）≤ 因此ρ（X）=0=ρ∨A（ρ）（X）。如果ρ（X）>0，则所有ε>00的现金可加性服从拓扑性≤ ρ（X+ρ（X））≤ ρ（X+ρ（X）- ε） =ρ（X）- ρ（X）+ε=ε。（6.12）特别是X+ρ（X）- ε /∈ 所以ρA（ρ）（X）≥ ρ（X）- ε表示所有ε>0。让ε→ 0，我们得到ρA（ρ）（X）≥ ρ（X）。此外，让ε→ 在（6.12）中，我们也得到ρ（X+ρ（X））=0，所以ρA（ρ）（X）≤ ρ（X）。这表明ρ（X）=ρA（ρ）（X）=ρ∨A（ρ）（X），得出（b）意味着（A）的证明。备注6.10。之前的结果适用于任何正风险度量ρ：L∞→ [0, ∞) 如果我们不要求（a）中的验收是剩余不变的。现金损失可加性[6]中引入的现金损失可加性的性质表征了ρ形式的正的盈余不变风险度量∧A.定义6.11。正风险度量ρ：L∞→ [0, ∞) 如果对everyX来说≤ 0和α>0满足ρ（X- α） =ρ（X）+α。（6.13）[6]第4.2节在凸性假设下证明了以下结果，然而，凸性假设对于证明是不必要的。提案6.12。设ρ：L∞→ [0, ∞) 是一个正的、盈余不变的风险度量。以下是等效的：（a）ρ=ρ∧A对于一些剩余的库存，请设置A L∞;（b） ρ是现金损失的加法。在（a）中设置的验收总是可以被认为是a:=a（ρ）。备注6.13。

（a）中设置的验收总是满足ρa（0）=0，这是ρ的必要条件∧这是一个积极的风险度量。6.2资本充足率：可接受性和运营意义在本节中，我们重点讨论将正风险度量ρ解释为资本要求时需要解决的两个重要问题：ρ中隐含的可接受性标准是什么？ρ（X）的操作意义是什么？可接受性如前所述，当正风险度量ρ被解释为资本要求时，有一个与之相关的自然资本充足性测试或可接受性标准：可接受的头寸正是那些不需要任何额外资本的头寸，即属于a（ρ）：={X的头寸∈ L∞; ρ（X）=0}。（6.14）由正的、剩余不变的风险度量引起的可接受性标准始终是剩余不变的。这个简单的结果在[6]和[19]中考虑的风险度量类型与本文开发的理论之间建立了关键联系。引理6.14。如果ρ：L∞→ [0, ∞) 是一个正的盈余不变风险度量，那么接受集a（ρ）是盈余不变的。证据如果X∈ A（ρ）然后ρ(-十、-) = ρ（X）=0，表明-十、-∈ A（ρ）。因此，A（ρ）是引理3.3的盈余不变量。以下结果在理解与[6]和[19]中考虑的正、盈余不变风险度量相关的隐性可接受性标准方面起着关键作用。回想一下，如果ρ（X）>0表示所有非零X，则风险度量ρ称为敏感∈ L∞这就是X≤ 0.提案6.15。设ρ：L∞→ [0, ∞) 是一个正的、盈余不变的风险度量。如果ρ是敏感的，那么A（ρ）=L∞+.证据显然，我们有∞+ A（ρ）。的确，如果X∈ L∞+然后0≤ ρ（X）≤ ρ（0）=0，表示x∈ A（ρ）。为了证明逆包含，取X∈ A（ρ），假设P（X<0）>0-不是零。

由于ρ是敏感的，因此ρ（X）=ρ(-十、-) > 0，因此是X/∈ A（ρ）。备注6.16。例6.5中的看跌期权溢价和光谱损失度量，以及例6.6中的损失确定性等式，都是敏感的。因此，前面的命题意味着相应的接受集坍缩到正锥。当u严格增加时，这也是示例6.5中引入的短缺风险的原因。ρ形式的正剩余不变风险测度的情况∨α和ρ∧人工智能特别有趣。在这里，验收集A是预先指定的。研究从ρAtoρ转换时是否保留了最初的可接受性标准是很自然的∨α和ρ∧A、 分别。当通过fr omρAtoρ∨a验收集在关闭前保持不变。然而，asProposition 6.17显示，在转变为ρ的过程中∧a当且仅当ifA为s urplus不变量时，基本可接受性标准保持到闭合。在这种情况下ρ∧α和ρ∨A提案6.7的内容。如果不是盈余不变，则可接受性标准可能会大幅改变，如下面的示例6.18所示。因此，由于接受集a已经体现了监管者对风险的态度，因此似乎ρ形式的风险度量∧a从资本充足率的角度来看，它不如ρ形式的资本充足率有趣∨A.提案6.17。让我们 L∞成为一个被接受的人。以下陈述成立：（i）A（ρ）∨A） =A；（ii）如果ρA（0）=0，则A（ρ∧（A）A.M oreover，A（ρ∧A） =A当且仅当A是剩余不变的。证据（i） 它紧接着sinceA={X∈ L∞; ρA（X）≤ 0}={X∈ L∞; ρ∨A（X）=0}=A（ρ∨A） 。（6.15）（ii）自A（ρ∧A） ={X∈ L∞; ρA(-十、-) = 0}，我们立即得到A（ρ∧（A）A.因此，我们只需要描述平等何时成立。