高维金融时间序列的依赖性建模

CDCV模型参数的选择包括aKendall基于Tau的距离度量、自适应的单连锁标准、固定数量的聚类设置为15，以及波动加权平均指数构造，噪声参数为Υ=1/λ=11。这些参数是根据粗略的性能分析选择的，在我们分析第3.8节中的最佳参数选择之前，将在本节中使用。如图10所示，我们首先根据市场指数和行业/集群指数调整数据，然后记录资产回报时间序列各部分之间剩余的双变量斯皮尔曼Rho秩相关性的分布。表2中总结了所有850个时间步的分布统计数据，作为模型在数据集中捕捉依赖性能力的指标。这些结果表明，尽管CDCV实施的市场指数调节略高于CAVA实施的市场指数调节，但CDCV实施的完全调节结果仍优于CAVA实施的市场指数调节结果，尽管只进行了粗略的参数分析。特别是，CDCV的实施导致0.0936的标准差略低于CAVA的0.0950。当考虑绝对秩相关性时，平均值、标准偏差和所有分位数值均低于相应的CAVA结果，剩余的最大绝对相关性比等效CAVA值低6.2%。CDCV模型的绝对q50百分位值表示剩余的双变量相关性下降2.8%，而绝对q25百分位值表示下降3.0%。这些结果的图形摘要如图10所示，说明CDCV和CAVA的实施也会导致剩余的二元相关性的类似分布。

然而，为了更全面地评估这两个模型的性能，我们必须分析这些分布随时间的变化。3.3稳定性分析在图11中，我们展示了表2中CDCV双变量秩相关分位数值的演变，说明了数据中秩相关的范围如何随时间变化。图11：资产之间的所有二元相关性的分布统计（q1、q25、q50、q75、q99）在CAVA和启发式优化的CDCV模型在150天滚动学习期内进行调整过程的不同阶段随时间的演变。与图10一致，图11中的市场指数条件似乎一致地将条件分布的平均值和中值移向零，同时在相关分布中引入正偏态。随后对簇指数的调节显著减少了倾斜，同时将第25和第75个分位数更紧密地聚焦在零附近。虽然模型拟合在很大程度上是稳定的，但由于CDCV模型结构的灵活性，在分位数中引入了一些微小的变化，允许在每个时间步中变化。然而，该分析还表明，CDCV模型比CAVA结构产生更稳定的值，这可能是由于在构造CDCV模型的衍生指数时使用的噪声项的阻尼效应（见第2.2节）。图11还表明，我们的两种实现都同样无法捕捉到2008年末发生的最极端的正相关性。

由于我们的分析主要是比较性的，因此我们在这里不进一步讨论这一点，但需要进一步研究的一个领域是，是否可以进一步改进模型，以捕获这些最极端的依赖关系，例如，通过从更大的二元copula集合中进行选择。模型8-8-05 9-1-06 12-6-06 9-11-06 17-4-07 17-9-07 19-2-08 21-7-08 18-12-08是指CDCV 166 177 166 168 186 190 179 192 215 182CAVA 157 172 172 181 177 176 185 220 157表3：经过启发式优化（15个簇；噪声参数，Υ=11）的CDCV和CAVA模型随时间的变化而设置的copula参数数量。该分析的最后一部分在表3中详细说明，该表说明了随着时间的推移，需要设置的参数数量的变化。在市场压力期间，DCV和CAVA实施所使用的参数数量大幅增加，主要是因为选择的Student s-t连接词数量增加。3.4 VaR回溯测试我们在CDCV和CAVA实施之间提供的另一个比较是风险价值（VaR）回溯测试性能，基于对样本内和样本外测试期间发生的VaR违约数量的分析，以及[14]asLRP给出的无条件覆盖的相关失败比例（PoF）测试统计数据=-2 ln（1）- q） T-xqx1.-xTT-十、xT十、其中x是异常数，T是试验总数（时间步长），teststatistic渐近分布为的LRP~ χ1df。由于我们的分析侧重于高维投资组合的表现，我们现在满足于使用本分析中考虑的所有62种资产的同等加权投资组合来计算理论分位数向量。

我们将对子投资组合回溯测试性能和条件覆盖率进行更彻底的审查，以供进一步分析。在样本内测试CDCV模型时，我们在实际异常率q等于观察到的异常率^q（其中异常被视为违反预测的95%VaR阈值）的完全假设下，获得了0.250的V aRp值，因此我们可以接受任何合理的置信水平（见表4）。在考虑更极端的99%损失时，我们得到的V aRp值为0.043，因此将勉强拒绝95%的置信水平，而如果我们在99%的置信水平下进行测试，则继续接受它。图12:CDCV模型的VaR回溯测试性能：基于所有62项范围内资产的同等加权投资组合，根据未经样本95%损失向量加上样本内预测的95%和99%损失向量绘制的实际损失百分比。模型αV aRα命中命中率%LRP OFp值95%Conf 99%ConfCpv 95 1.97 50 5.88 1.322 0.250接受HAccept HCAVA 95 1.90 52 6.12 2.093 0.147接受HAccept HCDCV 99 3.80 15 1.76 4.090 0 0.043拒绝HAccept HCAVA 99 3.70 16 1.88 5.308 0.021拒绝HAccept HTable 4：CDCV和CAVA实施的样本风险值内（V aR&V aR）回溯测试结果。“命中”被视为违反了相关的V aRα阈值。在本分析的背景下，我们可以将Hto的接受等同于对模型生成的V aRα数的验证，这表明模型能够充分满足历史数据，只要可以通过考虑α来评估- 水平百分位损失。使用CAVA行业层次结构对我们的模型重复该测试，我们也接受与CDCV模型相同的条件，尽管V Ar和V aRp值较低，分别为0.147和0。分别为021。

这表明，对于这组测试数据，CDCV实现提供的PoFbacktesting性能略好于CAVA实现。当我们通过设置一个150天的滚动窗口并在每个时间步生成预测的ARV值来扩展该分析以考虑样本外测试时，我们得到CDCV和CAVA模型的违约率为8.23%（70次违约），由此得出的Kupiec teststatistic LRP=15.806，p值为≤ 0.01，这使我们明确拒绝了无效假设。这反映了预测建模的困难，以及重大市场变化或衰退期间模型风险的影响，如图12所示。如果我们只考虑前750个时间步（不考虑代表2008年金融危机开始的最后100个时间步），我们获得了6.8%的样本外ARB百分比，这给出了LRP=4.621的Kupiec检验统计量，得出的p值为0.032。

在这种情况下，我们会接受99%的置信水平，但在95%的置信水平上继续拒绝它（并接受替代假设）。3.5 Copula拟合与选择分析接下来，我们通过回顾第一棵树中无条件Copula和后续树中条件Copula的选择百分比随时间的变化，扩展了对CDCV和CAVA模型拟合进化的分析。图13:CDCV和CAVA模型的无条件和条件连接函数的高斯（G）、Student\'s-t（ST）、Clayton（C）或Frank（F）的数量随时间的演变，我们将数据离散为9个时间步，从2005年8月8日到2008年12月18日，以尽量减少噪音并清楚地说明趋势。如表5和图13所示，CDCV和CAVAcopula Fiting演变之间的主要区别在于，在市场指数条件下，CDCV模型选择的每种copula类型的比例基本上是时间一致的，其中高斯copula的选择率为56%。相比之下，CAVA实现仅在39%的时间内（平均）选择高斯连接函数，在整个回溯测试时间范围内，实际选择的数量减少了20多个百分点，而Student s-t连接函数的数量增加了20多个百分点。

这可能是由于CDCV模型的衍生集群指数与市场指数之间存在直接联系，市场指数是集群指数的加权平均值。由于可以合理地假设，这种相似性比标准普尔500指数和标准普尔工业部门指数之间的相似性更为显著（因为这些指数中包含了许多其他股票），我们可以预期，与CAVA框架相比，CDCV模型市场指数的第一级条件将捕获更多的非高斯聚类指数行为。模型根节点G（%）ST（%）C（%）F（%）CDCMarket指数35.58 36.51 6.21 21.70聚类指数56.09 19.06 5.47 19.37CAVAMarket指数30.49 39.78 6.81 22.92聚类指数39.02 23.61 8.39 28.98表5：高斯（G）、学生s-t（ST）拟合的无条件和条件copula的百分比（所有时间步的平均值），根据150天的滚动学习期，CDCV和CAVAmodels在给定的时间步长内对Clayton（C）或Frank（F）进行测试。两个模型在样本期内选择的无条件连接函数的另一个显著特征是，Student’s-t连接函数的数量大致随着市场动荡的加剧而增加。

在2008年金融危机最严重的时候，Student’s-t copula在CDCV模型的市场指数与资产回报率和集群指数之间的无条件copula中占66（86%），如表6所示。根节点连接图8-8-05 9-1-06 12-6-06 9-11-06 17-4-07 17-9-07 19-2-08 21-7-08 18-12-08平均市场指数27 24 42 25 19 12 21.70 ST 21 14 19 32 38 28 36 66 27.40C 2 1 4 1 14 18 0 1 4.78F 27 31 17 10 6 2 37 20 16.71Cluster IndexG 41 33 33 34.78ST 5 16 16 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 11 11 11 11 11 11 11.82C 4 1 4 3 4 3 4 4 4 4 3 3 11 11 12 12 12 10 10 10 0 0表6：图13所示9个离散时间步中每一步在前150个工作日（学习期）内拟合的双变量关联函数的数量，分为市场节点上的关联函数、集群节点上的关联函数和多变量联合简化关联函数。在我们的分析中，我们还分别在2007年和2008年初选择了第一个Clayton和第二个Frankcopulas，其中Clayton Copulas数量的增加与边缘数据中观察到的最大负偏斜和峰度值一致，选择的Frank Copula数的增加与图9前面所示的倾斜度和峰度的稳定下降相一致。这种行为似乎是合理的，因为当资产和指数之间的负尾依赖性增加时，我们希望选择克莱顿copula，当这些特征减少时，选择椭圆弗兰克copula。表6还表明，对于我们的数据集，Student\'s-t多元copula通常比高斯copula更适合联合简化。

这反映在模型拟合选择所依据的AIC分数中，并与[5]的分析一致，该分析强调了联合高斯简化（根据[9]）的选择通常并不恰当。3.6边际拟合和选择分析虽然图8中所有时间步长的边际分布分析表明，我们很少需要拟合高斯边际分布，但我们必须记住（如图9所示），当拟合到滚动学习期时，分布会随时间而变化。图14:CDCV模型拟合为高斯分布（G）、Student\'s-t（ST）和Skew Student\'s-t（SST）的指数和资产边际分布的数量，其中我们将2005年8月8日至2008年12月18日之间的数据离散为9个时间步，以尽量减少噪音并清楚地说明趋势。在图14中，我们再次将2005年8月8日至2008年12月18日之间的数据离散为9个时间步，以尽量减少噪音，并清楚地说明CDCV模型通过AIC选择的高斯（G）、Student’s-t（ST）和斜Student’s-t（SST）边缘分布的趋势。正如我们可能预期的那样，选择的高斯边际值的数量总体上有下降的趋势，2008年随着金融危机的爆发和非高斯特征在资产回报中变得更加普遍，这种趋势急剧下降。图14显示了所选的学生t边缘数，以大致反映所选的高斯边缘数，其中一个边缘数随着另一个边缘数的减少而增加。

在衍生集群指数的情况下（通过其组成集群资产的波动性加权平均构建），我们也看到了与资产边缘本身类似的选择模式，但高斯分布的比例相对增加。边际分布8-8-05 9-1-06 12-6-06 9-11-06 17-4-07 17-9-07 19-2-08 21-7-08 18-12-08平均资产（62）G 19 21 23 16 3 10 20 24 0 15.28ST 29 29 34 45 39 34 27 58 34.57SST 14 10 12 13 8 11 12.57指数（16）G 11 9 10 9 2 12 11 8.24ST 2 6 6 11 11 11 9 2 16 5.25SST 30 0 1 5 1 5 2 2 2 0 2 2.317：截至前150个营业日的每种边际分布类型的数量（学习期）对于图14中前面所示的9个离散化时间步中的每一个，我们将其转换为资产时间序列和衍生指数时间序列的边际分布。表7提供了这些边际分布选择结果随时间的量化，这表明在所有时间步中，学生的t分布占所有选择的资产边际的50%以上，而在拟合衍生指数边际时，高斯分布约占50%的时间。随着时间的推移，倾斜学生的t边际的数量会减少，在所有时间步中，大约15%的资产边际和20%的衍生指数边际被选中。3.7聚类分析虽然我们将聚类和索引构建方法的优化留给了进一步的研究，但我们在此简要说明了这些方法对获得的聚类组成的影响。如图15所示，将CDCVmodel应用于我们的整个分析时间段时获得的集群分解包括许多仍然由行业内资产（即来自同一行业的资产）构建的集群。