基于广义强度的单名信用风险分析框架

用νpduq推导表示式（6）：“du `δUpduq”很简单。用p pt，T q“1tτtuexp\'Ttfpt，uqdu'f pt，U q1tt\'UdT U˙（16）进行简单计算，得到T的f pt，T q”r“U和fpt，Uq”\'log^Wt\'K？U\'t˙。通过它的公式，我们得到了bpt，Uq“^Wt\'K？U\'t˙^Wt\'K？U\'t˙pU\'tq\'1{2,8 FRANK GEHMLICH和THORSTEN SCHMIDTand，实际上，apt，Uq“bpt，U q.请注意，命题2.1的条件保持不变，由债券P pt，T q组成的市场满足NAFL，正如预期的那样。如果允许市场过滤F更一般，则可以获得更灵活的无障碍债券价格模型，如我们在第3节关于有效广义默顿模型所示。示例2.2.（Black-Cox模型的扩展）[4]中建议的模型使用首次通过时间方法对信用风险进行建模。当固定值低于预先指定的边界（默认边界）时，第一次发生默认。我们考虑这种方法的一个样式化版本，并继续示例2.1。扩展了原有的方法，我们加入了到期日为U的零息债券。U处固定值的减少相当于考虑当时向上跳跃的默认边界。因此我们考虑布朗运动W和默认边界dptq“Dp0q`K1tUětu，tě0和Dp0qa0，并假设默认值是W第一次碰到D，即τ”infttě0:Wtddptqu，通常的惯例是inf H“8。下面的引理计算该设置中的默认概率，并直接从该结果中获得远期利率（16）过滤G“F由完成后布朗运动的自然过滤给出。表示随机集:“tpx，yq P R:x？T\'UdDpU q\'py？U\'T`Wtq，y？U\'T`WtaDp0qu:tpx，yqp-R:x？T\'UdDpU q\'py？U\'T\'2Dp0q\'Wtq，y？U\'T\'Dp0q\'Wta0u.引理2.3.设Dp0qa0，Ua0和DpU qěDp0q。

对于0dtaU，它保持tτtu，即pτt|Ftq“1\'2Φ'Dp0q'Wt？t\'t'1tTěuuu2pΦpq′Φpqq，（17）其中Φ是二维标准正态分布和集合的分布t“tpDq，těU由t“tpx，yq P R:x？t\'U\'y？UdDpU q，U。对于těU，它支持tτatu，即Pτt|t|Ftq”1\'2^DpUq\'Wt？t˙t。证明（17）的第一部分，taU直接遵循反射原理和W具有独立和稳定增量的性质。接下来，考虑0dtaUt。然后，关于tWU，tqu，t18）此外，它在tWtDp0q上持有的是xDp0q的p-NP0、UsWDp0q、UsWDp0q、WUDp0q、WUDp0q、WUxFtqx|Ftq|Ftqapax，Ftqax，FR0，FR0，UsW，UsWdDp0qdDP0Q1240Q1240Q1240Q1240Q|Ftq|Ftq|Ftq|Ftq|Ftq|Ftq|Ftq|Ftq|Ftq|Ftq|Ftq例如，tsWaDp0qusDp0qgpxqftpxqdx，密度为ftpxq“1txaDp0qu？U\'T”φ'Wt\'x？U\'t''φ'2Dp0q'x'Wt？U\'ti。再加上（18）这就产生了tinfr0、tsWaDp0quP inf0、TspwaDq0|FtqzDp0qz1\'2^DpUqKx？T˙关于第一部分，让ξ和η独立且标准正态，我们得到了zDp0q'DpUq'DpUq'DpUq˙T'x'Wt'T'DpUq'x'DpUq'T˙x'Wt T˙dx'T'DpUηq、 在这里，我们以类似的方式缩写Ptp¨q“P¨Ftq”，即zDp0q^DpUq\'x T\'U˙U\'Tφ'x\'p2Dp0q\'Wtq？U\'T'dx'Pt'TdDpU'P'U'Tη2Dp0q'Wtq，？U'TηDp0q'Wt 0'ΦP我们得出结论。3.广义强度框架过程中的仿射模型是金融文献中的一个著名工具，其原因之一是分析的可处理性。在本节中，我们将密切关注[12]，并简要说明符合广义强度框架的适当模型。

为了证明，我们请读者参考这篇论文。主要的一点是，文献中的一个有效过程被假定为随机连续的（见[7]和[10]）。由于基于广义张力的框架中引入了不连续性，我们建议考虑分段连续过程。例3.1。考虑一个非负可积函数λ，一个常数λě0和一个不确定时间ua0。设置kptq“ztλpsqds`1ttěuuκ，tě0。默认时间τ由τ”infttě0:Ktěζu和一个标准指数随机变量ζ给出。然后Pτ“uq”1\'eκ：λ。考虑到带u“u和w”1的νpdsq ds `δupdsq，我们处于上一节的设置中。漂移条件（9）保持不变，iffpu，uq“\'logp1λq”“κ.然而，请注意，K不是H的补偿器。事实上，H的补偿器等于∧t”st^τλpsqds`1ttěuuλ，有关这个方向的一般结果，请参见[19]。10 FRANK GEHMLICH和THORSTEN Schmidt本节的目的是对上述涉及一个过程的例子进行适当的扩展。回想一下，我们考虑的是σ-有限测度νpduq“du\'"yiě1wiδuipduq，以及Apuq”u\'345ěiě1tuěuiu。其思想是考虑一个有效过程X并研究无比特率的双随机项结构模型，其中默认指标过程H“1tdτuis”的补偿器∧由∧t”tzt'φpsq`ψpsqJ¨Xs ds`iětěuiu 1 e'φi'xuji给出注意，通过X的连续性，几乎所有ω的∧tpωqa8。为了确保∧不递减，我们将要求φpsq`ψpsqJ¨Xsě0用于所有sě0，φi`ψJi¨Xuiě0用于所有iě1。考虑一个标准形式的状态空间X“Rmě0^rnm，ně0与m`n”d和一个d维布朗运动W。让u和σ在X上由upxq“ud"yi”1xiui定义，（20）σpxqJσpxq“σd"yi”1xiσi，（21）其中u，uiP Rd，σ，σiP Rd^d，对于所有i P t1，…，du。我们假设参数ui，σi，i，i，i。

，d在[11]中定理10.2的意义下是可容许的。然后持续的，随机微分方程dxt“upXtqdt`σpXtqdWt，X”X，（22）的唯一强解是状态空间X上的一个有效过程X，详见[11]中的第10章。如果存在函数a:Rě0^Rě0ěR，B:Rě0^Rě0ěrdp pt，tq“1tatue Apt，tq Bpt，tqxt，（23），我们称债券价格模型a有效0dtdtdt。我们假设Ap。，T q和Bp。，tq是连续的。此外，我们假设tTh~nApt。q和tTh~nBpt。q与右导数不同，用右导数b表示。为了方便读者，我们陈述了以下命题，给出了在一个有效的广义强度基设置中不存在套利的充分条件。它延伸到了[12]只治疗了很多危险时间的情况。提议3.1。假设φ：Rě0ěR，ψ：Rě0ěRd是连续的，ψpsq′ψpsqJ¨xě0对于所有的sě0和x P x，常数φiP R和ψiP Rd，iě1对于所有的1didn和x以及iěi | i |φi | i¨i，1¨1248;。此外，假设函数A:Rě0^Rě0ěR和B:Rě0^Rě0ěR是APT的唯一解，tq“0Apui，tq”Apui'，tq'φiwi'B'tApt，tq“φptq'uJ¨Bpt，tq'Bpt，tqj¨σ¨Bpt，tq（24）广义强度11和Bpt，tq“0Bkpui，tq”Bkpui'tq'i，kwi'B'tBkpt，tq'ψ0，kptq¨Bpt，tqj¨σk¨Bpt，tq（25）对于0dT，则由随机模型（23）给出令人满意的NAFL。证据通过构造Apt，tqzTtapt，uqdu"yi:uiPpt，tsφiwibbt，tqzTtbpt，uqdu"yi:uiPpt，tsψiwiw与合适的函数和带Apt，tqφptq以及bpt，tqψptq。将（23）与（6）进行比较，得出以下结果：一方面，对于T“uiP U，我们得到f pt，uiq”φi`ψJi-Xt。