高维全局最小方差投资组合的估计

特别是当n=18·2jand p=9·2jforj∈ [0,5]浓度比c始终等于0.5，p随n呈指数增长。这就是为什么小尺寸显示的点更多，而大尺寸显示的点更少。p和n的类似选择也适用于c的其他值∈ {0.1, 0.9, 1.8}. 最后，值得注意的是，模拟结果表明，就bona fide最优收缩估计的相对损失而言，其收敛速度很好，其oracle估计已经适用于p≤ 100.3.1具有有界谱的总体协方差矩阵在本小节中，我们假设协方差矩阵具有有界谱，即具有有界最大特征值。这里，我们使用协方差矩阵的结构，如图5所示，即我们取其特征值的1/9等于2，4/9等于5，4/9等于10。用这种方法构造的高维协方差矩阵具有一致的谱诺曼性，其特征值不是很分散。此外，协方差矩阵的这种选择确保当维数p增加时，协方差矩阵的谱不会改变其行为。图7和图8显示了正态分布数据和浓度比c的不同值的模拟结果∈ {0.1, 0.5, 0.9, 1.8}. 图7显示了不同维度p所考虑的估计量的整体行为，而图8显示了固定p=306的局部分布特性。更准确地说，在全局行为下，我们理解了平均相对损失相对于维度p的演化，局部行为呈现了一个固定值p的相对损失的经验累积分布函数（e.c.d.f.），即p=306。

在全球环境下的比较是明确的：平均损失越小，估计值就越好。本地研究在经验分布方面提供了更精确的比较。在这种情况下，最佳估计量的标准是基于观察到的结果。c、 具有随机较小值的d.f.占主导地位。这意味着，对于两个e.c.d.功能，主功能一个位于另一个的左侧。这一标准与一阶随机优势是一致的。关于一阶随机优势的唯一区别是，比较基于经验分布函数，而不是总体分布函数。在全局分析中，我们发现在所有考虑的情况下，对于较小的p值，Bonafide最优收缩估计收敛到相应的oracle估计∈ {0.1, 0.5, 0.9, 1.8}.排名第三的是Frahm和Memmel（2010）的主要估计量。它总是比最差的传统估计更好，但总是比其他两个竞争者更差。就平均相对损失值而言，我们观察到，如果c增加且低于1.0，估计值之间的差异将变得更加显著。例如，在c=0.1的情况下，传统估值器的平均相对损失趋于1/9，而在c=0.5的情况下，它趋于1。这两个结果与推论2.1一致，其中证明了传统估计的平均损失趋于c/（1）- c） 在高维渐近下。在ofc=0.9的情况下，最优收缩估计量和主导（传统）估计量的平均相对损失之间的差异变得非常大。实际上，在这种情况下，传统估计的平均相对损失渐近等于9。

这意味着传统估计的样本外风险比实际风险大10倍。主导估计器明显优于传统估计器，但对于小维度，相对损失接近4（p≤ 50）这意味着其样本外风险是实际风险的5倍。这是不可接受的。相比之下，Bonafide最优收缩估计器会快速收敛到其oracle估计器。最优收缩估计的相对误差小于0.3。图8显示了在p=306的情况下，局部分析的经验分布函数具有相同的优势。最好的方法是oracle和Bonafide最优收缩估计器。其次，对主导估计量进行排序，然后是传统估计量。这些图也说明了Bonafide最优收缩估计量快速收敛于其oracle。p=306的局部分析证实了bona fide最优收缩估计的几乎确定收敛性（一致性），这在定理2.1中得到了证明。在图8中，Bonafide和oracle最优收缩估计值的相对风险都具有非常小的方差，随着维数p的增加，方差消失。同时，主导估计量具有显著较大的方差，当c接近1时，它是不稳定的。传统的估计量表现出一种非常关键的行为，它是所考虑的估计量中最差的一种。图7和图8中观察到的最有趣的情况是c=1.8，它对应于奇异样本协方差矩阵Sn。这里，我们应用第2.2节和第2.3节的结果，用摩尔-彭罗斯逆S+N代替S-1n。注意，我们不能使用支配估计，因为它不适用于c>1。这一结果对全球和地方政权来说仍然令人印象深刻。

再次，提出的Bonafide最优收缩估计收敛到其oracle。作为传统的估计量，我们采用摩尔-彭罗斯逆+n构造的GMV投资组合。传统估计量具有快速增长的平均损失和最大的方差。对于c>1，这也不是一个可接受的估计值。相比之下，Bonafide最优收缩率估值器的方差很小，即使c>1，也会遵循稳定的行为。进一步分析了资产收益率不再服从正态分布时所考虑的估计量的行为。特别值得一提的是，研究重尾对本文推导的估计量的影响有多大。因此，在我们的模拟研究中，接下来使用了5个自由度的t分布。最近，作者提到5个自由度在实践中似乎是一个合适的选择（见Venables和Ripley（2002））。上图9和10图9和图10展示了自由度为5的t分布资产收益率的结果。对比研究的结构与正态分布数据的情况相同。一般来说，图9和图10中观察到的行为与正态分布中获得的行为没有显著差异。最好的估计器通常是建议的收缩估计器。最优收缩率估计器明显优于其他竞争对手∈ {0.1, 0.5, 0.9, 1.8}. 值得注意的是，Bonafide最优收缩估计值对其预测值的收敛速度受重尾的影响。建立了最优收缩估计量的一个类似的渐近相对损失行为，即平均相对损失是渐近常数且小于0.5。

3.2谱无界的总体协方差矩阵在这一小节中，我们假设当p→ ∞. 因此，这里考虑∑nis的以下结构，即1/9的值等于2，4/9等于5，（4/9p- 1） 等于10，最后一个特征值等于p。请注意，此结构对应于资产收益率上的因子结构被引入的情况。因子模型可以显著减少维度的数量，从而使估计器不再受到“维度诅咒”的影响（参见Fan等人（2013））。图11至14在本文图11至14中，我们展示了在协方差矩阵具有无界谱的情况下，本文考虑的估计器的行为。值得注意的是，结果与有界谱的协方差矩阵∑n的情况下得到的结果没有太大区别。唯一不同的是估计值的方差稍大。另一方面，总体协方差矩阵的最大特征值不影响最优收缩估计的优势行为及其收敛速度。这意味着，如果资产收益率遵循因子模型，则建议的估计器仍然适用。更重要的是，在c>1的情况下，它也不会失去效率。最后，我们注意到，出于兴趣，我们还模拟了有界和无界光谱的三自由度t分布。这种变化只影响收敛速度，而不影响优势行为。在我们的理论框架中，我们要求存在第四阶矩，但模拟研究表明，这一假设可以放松，也可以通过假设来放松。

因此，所提出的最佳收缩程序确保了许多重要实际情况下的效率，因此可以应用于许多实际情况。然而，为了检验GMV投资组合权重的衍生估计器在真实数据集上的行为，仍然需要进行经验回测。这是下一节要做的。4实证研究在本节中，我们对GMV投资组合（2.29）的实际数据应用了建议的最优收缩估计值，这些数据包括标准普尔500指数（Standard&Poor’s500）所列417项资产的每日收益，这些资产在2013年4月22日至2014年3月19日期间交易。它对应于T=230个交易日的水平线。标准普尔500指数基于500家在纳斯达克上市的大型公司的市值。在这项实证研究中，我们比较了（2.29）给出的GMV投资组合权重的导出最优收缩估计量与Frahm和Memmel（2010）提出的传统估计量和主导估计量的性能。该比较基于一种类似于DeMiguel等人（2009年）提出的滚动窗口方法的程序。特别是，我们从所有417个投资组合中随机选取一个维度为p=54的投资组合，并估计长度n<T的给定激励窗口的投资组合权重。我们在下一步重复这个滚动窗口过程，包括第二天的数据，并删除最后一天的数据，直到数据集结束。选择估计窗口n，使得浓度比c=p/n位于集合{0.5,0.9,1.5,2}中。为了比较估计量的性能，我们考虑了样本外方差和样本外夏普比。

设^w为GMV投资组合的估计器，该投资组合基于时间t的最后一次观察窗口，并设rt+1为下一个时间段t+1的资产回报向量。然后通过^σout=T计算样本外方差和样本外夏普比- N- 1T-1Xt=n（^wtrt+1）- ^ut）和CSR=^ut^σ- 新界-1Xt=n^wtrt+1。（4.1）为了测量统计显著性，我们随机抽取1000个不同的投资组合，并计算其样本外方差的e.c.d.函数和相应的样本外夏普比率。最佳策略的选择类似于随机优势原则，即选择e.c.d.f.随机支配其他策略的策略。然而，在样本外方差和样本外夏普比率的情况下，优势是不同的。对于样本外方差，最佳策略的e.c.d.f.应高于其他竞争对手的e.c.d.函数，即样本外方差值越大，概率越小。相比之下，基于样本外夏普比率的标准更倾向于whosee策略。c、 d.f.低于其他e.c.d.功能。在这种情况下，使用相应估计量构建的GMV投资组合将具有最高的样本外夏普比率。上图15和16图15和16给出了GMV投资组合三种估值器的样本外方差和样本外夏普比率的e.c.d.函数，即最优收缩估值器、传统估值器和Frahm和Memmel（2010）提出的主导估值器。因为，支配估计量只能在c<1的情况下构造，所以当c=1.5和c=2时，我们放弃它。在所有考虑的情况下，我们观察到最优收缩估计的一个非常好的性能。

对于这两个考虑的标准，它的性能都超过了其他估计策略。在方差失控的情况下，相应的e.c.d.f.高于其他e.c.d.函数，而在样本外夏普比率的情况下，它低于其他竞争对手的e.c.d.函数。其次，我们对Frahm和Memmel（2010）的主要估计量进行了排序，这比传统估计量要好。全球最小方差投资组合在投资理论和实践中发挥着重要作用。这种投资组合被广泛用作静态和动态最优投资组合问题的投资机会。虽然文献中有明确的GMV组合权重结构分析表达式，但GMV组合的估计似乎是一个非常具有挑战性的问题，尤其是对于高维数据。在本文中，我们通过推导一个可行且稳健的GMV投资组合权重估值器来解决这个问题，该估值器在资产收益分布未预先指定且未施加市场结构的情况下进行。我们为GMV组合构造了一个最优收缩估计，它在最小化样本外方差的意义上是最优的。得到了收缩强度的解析表达式，它似乎是数据和资产收益率分布参数的复杂函数。我们通过在高维渐近条件下确定收缩强度的无符号等效量来处理后一个问题。我们通过应用随机矩阵理论的最新结果，一致地估计这个渐近等价函数。这是在对资产收益分配施加的非常微弱的假设下实现的。也就是说，我们只要求四阶矩的存在，而没有明确的分配假设。

此外，我们的发现在c<1和c>1以及总体协方差矩阵的频谱有界或无界的情况下仍然有效。因此，建议的方法可以应用于厚尾分布资产收益率，也可以应用于资产收益率，其动态可以通过因子模型建模，这是金融和计量经济学文献中非常流行的方法。最后，利用模拟和真实数据，我们将GMV投资组合的最优收缩估计与现有的估计进行了比较。理论发现以及蒙特卡罗模拟和实证研究的结果表明，在c>0.6的情况下，GMV组合权重的建议估计量占现有估计量的主导地位。附录中给出了定理的证明。首先，我们指出，出于我们的目的，sn可以很好地近似为n=n∑nXn我-NXn∑n≈n∑nXnXn∑n，因为矩阵xn∑nXnXn∑nhas排名第一，因此，它不影响样本协方差矩阵频谱的渐近行为（见Bai和Silverstein（2010），定理A.44）。接下来，我们给出一个重要的引理，它是Rubio和Mestre（2011）中定理1的一个特例。引理6.1。假设（A1）和（A2）。设一个非随机的p×p维矩阵Θpposs是一个非均匀有界的迹范数（奇异值之和），并设∑n=ItrΘp（Sn）- （拉链）-1.- （x（z）- z）-1tr（Θp）a、 美国。-→ p/n为0-→ C∈ (0, +∞) 作为n→ ∞, （6.1）其中x（z）=1.- c+z+p（1）- c+z）- 4z. （6.2）引理6.1的证明：定理1在Rubio和Mestre（2011）中的应用导致（6.1），其中x（z）是以下等式的唯一解- x（z）x（z）=cx（z）- z、 （6.3）（6.3）的两个解由x1,2（z）给出=1.- c+z±p（1- c+z）- 4z. （6.4）为了确定这两个解中哪一个是可行的，我们注意到x1,2（z）是具有正虚部的斯蒂尔捷斯变换。

因此，在不丧失一般性的情况下，我们可以取z=1+c+i2√c和getIm{x1,2（z）}=Im2+i2√c±i2√2c= Imn1+i√c（1±√2） o=√C1 ±√, （6.5）只有选择符号“+”时才为正。因此，解由x（z）给出=1.- c+z+p（1）- c+z）- 4z. （6.6）证明了引理6.1。Rubio和Mestre（2011）研究了泛函tr（Θ）（Sn）的渐近性- (子)-1） 对于具有有限迹范数的确定性矩阵Θ。注意，Rubioand Mestre（2011）定理1的结果在较弱的第四矩存在假设下也成立。该声明是通过使用Bai和Silverstein（2010）关于二次型的引理B.26获得的，我们将其引用为下面的引理6.2。引理6.2。[Lemma B.26，Bai和Silverstein（2010）]设A是p×p非随机矩阵，设X=（X，…，xp）是具有独立项的随机向量。假设E（xi）=0，E | xi |=1，E | xi | l≤ νl.那么，对于任何k≥ 1，E | XAX- tr（A）| k≤ Ck（νtr（AA））k+ν2ktr（AA）k, （6.7）其中，Ck是一个仅依赖于k的常数。为了在力矩施加的最弱阻尼下得到Rubio和Mestre（2011）定理1的陈述，我们在k的情况下用引理6.2替换Rubio和Mestre（2011）的引理2≥ 1.注意，Rubio和Mestre（2011）的引理2适用于k>1，而引理6.2则是一个更强大的结果，因为它在k=1的情况下也适用。这就是Rubio和Mestre（2011）的引理3也适用于k的主要技巧≥ 1（而不是k>1）。Rubioand Mestre（2011）的引理4已经在存在4+ε矩的假设下得到了证明。最后一步是应用Rubio和Mestre（2011）的引理1、2和3以及k≥ 1.最后，可以很容易地检查，在存在4+ε矩的情况下，Rubio和Mestre（2011）定理1的进一步证明步骤成立。