高维全局最小方差投资组合的估计

（2.14）（b）在定理2.1的假设下，我们得到了GMV组合最优收缩估计量的相对损失=^wTGSE∑n^wGSE- σGMVσGMVa。s-→ (α*)c1- c+（1）-α*)Rbforpn→ C∈ （0，1）作为n→ ∞.（2.15）推论2.1是定理2.1的直接结果。此外，第一部分将Frahm和Memmel（2010，定理7）的结果推广到资产收益的任意分布。使用推论2.1（a），我们可以将GMV投资组合的传统估值器的相对损失行为仅作为集中度c的函数绘制，而最优收缩投资组合的相对损失还取决于目标投资组合的相对损失。此外，从推论2.1的两个部分我们得到了RGSEA。s-→ (α*)RS+（1）- α*)Rbforpn→ C∈ （0，1）作为n→ ∞,i、 例如，GMV投资组合最优收缩估计的相对损失可以渐近地表示为传统估计的相对损失和目标投资组合的相对损失的线性组合。因为α*→ 0作为c→ 1.-和（α*)c1- c=（1）- c） cRb（c+）（1- c） Rb）→ 0作为c→ 1.-,我们明白了→ Rb≤穆-MLAS c→ 1.-, 然而，传统估值器的相对损失趋于一致。图1显示了不同c值的GMVportfolio权重的传统和拟议oracle估计器的行为∈ (0, 1). 协方差矩阵∑nis作为200×200维矩阵，其中20%的特征值等于3，40%等于1，40%等于0.5。特征向量矩阵V=（V，…，vp）由Haar分布生成。选择目标投资组合作为等权投资组合，即bn=1/p1。在图中，我们观察到GMV投资组合的传统估计的渐近相对损失在一个点上有一个奇异点。

传统估值器的损失相对较小，c=0.2，p/n→ 1.它以夸张的方式上升到真实。与传统的GMV投资组合权重估计相比，建议的最优收缩估计有一个常数渐近相对论，它总是小于0.5。这一结果与推论2.1讨论的理论结果一致。图1和图2显示了最佳收缩强度α的渐近行为*作为浓度比c的函数∈ (0, 1). 目标投资组合bn和协方差矩阵∑与图1相同。在区间c∈ （0,1）最佳收缩强度α*是浓度比c的非线性递减函数（以凸的方式）。我们观察到最佳α*当c接近1时趋于零，因此，在极限情况下，唯一的最佳选择将是TARGETBN投资组合。2.2甲骨文估值器。案例c>1在案例c>1中，样本协方差矩阵SNI是奇异的，其逆矩阵不再存在。因此，我们首先必须找到一个合理的替代品-1n。对于GMVportfolio权重的oracle估计，我们使用以下样本协方差矩阵SnS的广义逆*n=∑-1/2n（XnXn）+∑-1/2n，（2.16）进一步在论文中，c→ 1.-c→ 1+分别表示点1的左右极限。如果V在正交矩阵上有一个Haar测度，那么对于任何单位向量x∈Rp，Vx在单位球Sp={x上有均匀分布∈Rp||x | |=1}。其中+表示摩尔-彭罗斯逆。可以证明*nis广义逆满足S*NSN*n=S*nand SnS*nSn=Sn。显然，在c<1的情况下，广义逆S*n包含通常的逆S-1n。此外，如果∑nis与单位矩阵成正比*n包含为Sn计算的摩尔-彭罗斯逆S+n。

还必须指出的是*n在实践中无法确定，因为它取决于未知矩阵∑n。在本节中，它仅用于确定GMV投资组合权重的oracle估计器，而bona fide估计器在第2.3节中构造。基于*nin（2.16），在c>1的情况下，甲骨文GMV投资组合的传统估计是由^w给出的*GMV=S*nS*n、 （2.17）接下来，我们确定甲骨文最优收缩估计器的GMV投资组合权重表示为^w*GSE=α+nS*nS*n+（1）- α+n）bn1=1。（2.18）与第2.1节类似，我们通过α+n=bn∑nbn推导出最佳收缩强度α+ngiven-s*n∑nbnS*nσS*- 2秒*n∑nbnS*n+bn∑nbn=B-s*nS*N∑nbB-s*nS*N∑nB-s*nS*N, （2.19）其中σS*= 1S*n∑nS*n1/（1S）*n1）是GMV投资组合的传统估计量的样本外方差。在定理2.2中，我们给出了最优α+nC>1的渐近性质。定理2.2。假设（A1）-（A2）。设0<Ml≤ σGMV≤ σbn≤ Mu<∞ 对于所有n，那么它保持α+na。s-→ α+=（c）- 1） Rb（c）- 1） +c+（c- 1） Rbforpn→ C∈ (1, +∞) 作为n→ ∞, （2.20）其中RBI是Rbn的限制。此外，我们得到了甲骨文样本外方差σS*GMV投资组合σS的传统估计量（2.17）的*a、 美国。-→复写的副本- 1σGMVforpn→ C∈ (1, +∞) 作为n→ ∞. （2.21）定理2.2的证明见附录。推论2.2描述了GMV投资组合的传统oracle估计以及oracle最优收缩估计的相对损失的渐近行为。推论2.2。（a） 在定理2.2的假设下，我们得到了GMV投资组合的Oracle传统估计的相对损失*S=σS*- σGMVσGMVa。s-→C- c+1c- 1福本→ C∈ (1, +∞) 作为n→ ∞. （2.22）注意*nis不等于摩尔-彭罗斯逆，因为它不满足条件*nSn=S*nSnand（SnS）*n） =SnS*N

然而，在第2.3节中，在构造bona fide估计器的地方，我们使用S的Sninst的Moore-Penrose逆*以获得有价值的近似值。（b） 在定理2.2的假设下，我们得到了GMV投资组合的oracle最优收缩估计的相对损失*GSE=（^w）*GSE）T∑n^w*GSE- σGMVσGMVa。s-→ （α+）R*S+（1）-α+-Rbforpn→ C∈ （0，1）作为n→ ∞.（2.23）与情况c<1类似，GMVportfolio的最优收缩估计的相对损失是传统估计的相对损失和目标投资组合的相对损失的线性组合。此外，如果c→ 1+，传统估值器的相对损失趋于确定，而对于收缩估值器的相对损失，我们得到*GSE→（c）- 1） （c）- c+1）Rb（（c- 1） +c+（c- 1） Rb）+（1- α++Rb=Rbas c→ 1+，从上方以μ为界-MlMl，即它是有限的。图3展示了在c>1的情况下，对于GMV投资组合，oracle传统估计量和proposedoracle最优收缩估计量的渐近性能。在平均损失始终小于1的情况下，应用oracle最优收缩估计器时会出现相当大的改进。相比之下，oracle传统估计器的平均损失总是具有更大的值，在c=2左右，最小损失约为4。图3和图4显示了在c>1的情况下，最佳收缩强度α+的渐近行为，这不再是图2中观察到的浓度比c的单调函数。最佳收缩强度达到最大值，接近c=2。此外，即使c值较大，α+仍然为正，即oracle最优收缩估计收敛到BNC→ +∞和c相比，速度要慢得多→ 1.-. 另一方面，对于c，它收敛到BNC的速度相当快→ 1+.

因此，无论是在c=1的第八种情况下，还是在c>>1.2.3未知参数的估计情况下，我们都不必预期所提出的收缩估计量的不稳定性。Bona fide估计器在本小节中，我们展示了如何分别在c<1和c>1的情况下一致地估计派生的oracle估计器。这是通过一致地估计targetportfolio Rbn的相对损失来实现的。这个结果在定理2.3中给出。定理2.3。在假设（A1）-（A2）下，由（a）^Rbn=（1）给出的Rbnis的一致估计- p/n）bnSnbn·1S-1n1- 1福普→ C∈ （0，1）作为n→ ∞ （2.24）（b）^R*bn=p/n（p/n- 1） bnsnb·1S*n1- 1福普→ C∈ (1, +∞) 作为n→ ∞. （2.25）样本协方差矩阵SNI在点c=1处表现不好且不可逆，因为在这种情况下，其SmalleSteGenValue非常接近于零。定理2.3的证明见附录。应用定理2.1和2.3（a），我们可以确定案例c中GMV投资组合权重的有效估计量∈ (0, 1). 它由^wBF GSE=bα给出*s-1nS-1n+（1）- bα*)bnbα*=(1 - p/n）^Rbnp/n+（1）- p/n）^Rbn，（2.26），其中^Rbn在（2.24）中给出。表达式（2.26）给出了给定目标投资组合的最优收缩估计，因为收缩强度bα*几乎肯定会趋向于其最佳值α*对于p/n→ C∈ （0，1）作为n→ ∞.在c>1的情况下，情况更加复杂。在这里，由于矩阵S*依赖未知量。因此，我们通过应用摩尔-彭罗斯逆S+n，提出了一个合理的近似。很容易验证，在∑n=σI的情况下，等式成立。

此外，第3节的广泛模拟研究和第4节的实证研究都表明，这种近似即使对于密度人口协方差矩阵∑n也有很好的效果。这种行为的原因可能是S+n具有与S类似的渐近行为*n、 然而，用解析的方法证明这个结果是一个非常具有挑战性的数学问题，我们将此留给未来的研究。在图6中，我们提供了一个与图2所示相同设计的简短模拟，以表明^α*（S+n）和^α*（S）*n） 是渐近逼近的，证明了我们近似的准确性。上图6考虑到上述讨论和定理2.3（b）的结果，在c>1的情况下，RBI数量的有效估计量近似为^R+bn=p/n（p/n- 1） bnSnbn·1S+n1- 1代表c∈ (1, +∞) . （2.27）应用（2.27）得出了在c>1的情况下GMV投资组合的最佳缩水率估值器，表示为^w+BF GSE=bα+S+nS+n+（1- bα++与bα+=（p/n- 1） ^R+bn（p/n）- 1） +p/n+（p/n- 1） ^R+bn，（2.28），其中S+nis是样本协方差矩阵Sn的摩尔-彭罗斯伪逆。值得注意的是，在最小化样本外方差的情况下，估计量（2.26）是c<1的GMV投资组合的最优估计量，而在c>1的情况下，估计量（2.28）是次优估计量。

为了总结本节内容，我们将（2.26）和（2.28）合并为一个在^wBF GSE=bα给出的c>0情况下GMV投资组合权重的最佳收缩估值器*S+nS+n+（1）- bα*)bn为（2.29），与稀疏相反。c=1的情况在理论上是不可处理的，但使用摩尔-彭罗斯逆并将SmallestigenValue设置为零，我们仍然能够在这种情况下构造一个可行的估计量。bα*=(1 - p/n）^Rbnp/n+（1）- p/n）^RBC<1，（p/n）- 1） ^Rbn（p/n）- 1） +p/n+（p/n- 1） ^RBC≥ 1，（2.30）和^Rbn=（（1）- p/n）bnSnbn·1S-1n1- c<1时为1，p/n（p/n- 1） bnSnbn·1S+n1- 1代表c≥ 1.（2.31）我们使用S+n=S-1nif SNI是非奇异的。在图5中，我们调查了甲骨文和博纳德最优收缩估值器对GMV投资组合权重的差异，以及甲骨文和博纳德传统估值器之间的差异。总体协方差矩阵被视为密集的207×207维协方差矩阵∑nw，其特征值的1/9等于2，4/9到5，最后4/9到10。特征向量的选择方法与关于oracle估计器的章节中相同。目标投资组合仍然是幼稚的，即bn=1/p1。观测矩阵由正态分布生成。对于所有考虑的值c>0，观察到Bonafide最优收缩估计器（红色虚线）与其oracle（红色实线）的完美匹配。蓝线对应于oracletraditional估计器（蓝色实线）和Bonafide traditional估计器（蓝色虚线）。与最优收缩率估计器不同的是，c>1时，传统估计器与其预测值之间存在差异，且随着c变大而增加。

对于c<1，这两种估计都包括在内，因为在这种情况下，广义逆（2.16）和摩尔-彭罗斯逆都等于样本协方差矩阵的逆。值得注意的是，提议的Bonafide最优收缩估值器在c=1点也能很好地工作，尽管这里甚至没有定义相应的oracle估值器。原因是我们只是将SNA的最小特征值设为零，并使用摩尔-彭罗斯逆技术。图5的结果促使在实践中应用MoorePenrose逆，而不是第2.2节开头给出的广义逆，而应谨慎使用传统估计。在第3节的模拟研究中，我们对这一点进行了进一步的研究。上图5最后一点必须指出的是，Bonafide估值器（2.29）易于在实践中使用，因为它可以快速计算。2.4目标投资组合的选择目标投资组合在确定最优收缩估计量方面起着至关重要的作用。最明显的选择是朴素的投资组合或稀疏的投资组合。在多阶段设置中，可以选择前一阶段的权重作为目标投资组合。理论上，我们甚至可以选择一个随机的目标投资组合，但它应该独立于实际观察。特别是，它可以是单位球面上的均匀分布随机向量（适当归一化）或单纯形上的均匀分布随机向量。

选择前一时期的最优投资组合权重会为目标投资组合带来更有趣的例子，这使我们能够在动态环境中构建某种贝叶斯更新原则。一般来说，这个问题的答案取决于基础数据，因为目标权重的选择相当于∑先验分布的超参数的选择-1n∑-1n。这个问题在贝叶斯统计中是众所周知的。应用不同的先验知识会导致不同的结果。因此，在大多数情况下，选择一种效果良好的方法是非常重要的。最天真的一个是平均加权的投资组合1/p1。显然，具有先验权重的oracle收缩估计量是一个一致的估计量，如命题2.1所示。此外，将一些关于真正的GMV投资组合的新信息加入到Previor中，可以显著提高业绩（参见Bodnar等人（2014））。为了简单起见，我们在第3节的模拟研究以及第4节的实证研究中采用了朴素的投资组合。将shinkage估计量视为向量函数^wBF GSE（bn）：Vp→其中Vp和Vp是p维向量空间。在下面的命题中，我们给出了收缩估计量作为目标权重bn函数的一些性质。提议2.1。对于建议的收缩估算值^wBF GSE（bn），它认为1。^wBF GSE（1/p1）是GMV投资组合的一致估计量，如果任意σ>0和c的总体协方差矩阵∑n=σI∈ (0, +∞).2.^wBF GSE（wGMV）是GMV投资组合的一致估计∑-1n∑-1所有c∈ (0, +∞).该证明是定理2.1、定理2.2和定理2.3.3模拟研究的直接应用。在本节中，我们将演示所得结果如何应用于实践。

我们模拟的第一部分致力于正态分布数据，而在第二部分中，资产回报率是由具有5个自由度的t分布生成的。目标投资组合被视为天真的投资组合。在c<1和c>1两种情况下，以及有界（第3.1节）和无界（第3.2节）谱的方差矩阵中，都给出了结果。基准估值器是Frahmand Memmel（2010）提出的GMV投资组合的主要估值器。它由^wF M=（1）给出- k） S-1nS-1n+kP，k=p- 3n- p+2^R1/p，（3.1），其中^R1/p=1/pSn1- σSnσSn是原始投资组合的估计相对损失。支配因子（3.1）是在假设资产收益率为正态分布的情况下得出的，它在样本外方差方面优于传统估值器（参见Frahm and Memmel（2010））。然而，对于浓度比c>0的不同值，距离最佳值还有多远尚不清楚。它对非正态分布数据的行为也尚未研究。接下来，我们比较了主导估计量（3.1）和Bonafide最优收缩估计量（2.29）的性能。为了找出定理2.1和2.3中确定的收敛速度，我们还考虑了oracle最优收缩估计，它可以很容易地构造为c<1和c>1，最优收缩强度分别由（2.10）和（2.19）给出。作为性能度量，我们从第2节中取相对损失。对于GMV投资组合的任意估值器^w，其定义为R^w=σ^w- σGMVσGMV（3.2），其中σ^w=^w∑n^w和σGMV=∑-1n。在我们的模拟研究中，我们将p作为n的函数。