线性随机市场模型的最优投资策略

此外，最优目标值ρ（θ），θ>0，作为（3.4）的解，收敛到最优目标值ρ（0）作为θ→ 0.下一个结果描述了风险规避水平θ>0的最优投资策略下投资组合的预期增长率。我们用ρθ表示这个增长率，这与最佳目标值ρ（θ）不同，如OREM 3.1所示。市场线性模型中的最优投资策略定理3.4。[4] 假设3.3-3.7。固定θ>0，设Hθ（x）如定理3.1所示，并假设Hθ（x）是一个有效函数，且→∞[Hθ（x）T∑THθ（x）- Hθ（x）T（A+αx）]=-∞.考虑方程ρθ=（B+βx）Tgradxvθ，0（x）+nXi，j=1vθ，0（x）xixjn+mXk=1λikλjk--[Hθ（x）T∑THθ（x）- Hθ（x）T（A+αx）]，vθ，0（x）∈ C（Rn），limkxk→∞vθ，0（x）=∞, ρθ=常数。（3.6）然后存在一个解（ρθ，vθ，0）。在前面的方程中，常数ρθ是唯一的，对于所有（v，x），我们有j（v，x；hθ（·））=ρθ∈ (0, ∞) x Rn，其中hθ（·）的定义如（3.3）所示。Bielecki和Pliska的主要结果是将最优投资策略问题转化为PDE（3.4）的求解问题。对于由两种资产组成的投资组合的经典例子，作者明确地解决了这个问题，其中一种资产是银行账户，线性利率是一个因素。也就是说，他们考虑单个风险资产，比如股票指数，由随机微分方程ds（t）S（t）=（a+αR（t））dt+σdW（t），S（0）=S>0控制，其中即期利率R（t）满足经典的Vasicek动力学：dR（t）=（B+βR（t））dt+λdW（t），R（0）=R。这里a，α，B，β，σ，λ是要估计的固定标量参数，而W，两个独立的布朗运动。此后我们假设B>0，β<0。

接下来的一切。投资者可以在股票指数中持有多头或空头头寸，也可以按照现行利率以连续复利的方式借款或放贷。因此，遵循通用方法并引入“银行账户”过程很方便，其中ds（t）S（t）=R（t）dt。因此，当S（0）=1美元在零时间存款时，S（t）代表储蓄账户的时间t值。由于只有两种资产，可以方便地用标量值函数Hθ来描述投资者的交易策略，该函数被解释为投资在股票指数中的资本比例，使比例为1- Hθ投资于银行账户。这使我们能够在市场模型（2.1），（2.2）中将投资者的问题表述为（Pθ），因为有m=2，n=1，我们可以设置（h，h）=（hθ，1）- Hθ，X（t）=R（t），B=B，β=β，λ=（0，0，λ）t，A=（A，0）t，α=（α，1）t，∑=σ0 00 0 0.根据定理3.1Kθ（R）=infh∈R[（1/2）（θ/2+1）（h，1- h） ∑∑T（h，1）- h） T- （h，1）- h） （A+αR）]，8 G.S.Kambabaeva和O.S.ROZANOVAin，其中θ：=hθ（R）=A+（α）- 1） R（1+θ）σ，（3.7）Kθ（R）=-R-（A+（α）- 1） R（θ+2）σ。定理3.2暗示ρ（θ）是方程ρ=λv（R）+（B+βR）v（R）的解（ρ，v）的一部分-θλ（v（R））- Kθ（R），根据[5]，等于ρ（θ）=λN+BN-λθN+A（θ+2）σ，（3.8），其中N=β+qβ+θλ（α-1） （θ+2）σλθ，N=1-2A（α）-1） （θ+2）σ+2BNqβ+θλ（α）-1)(θ+2)σ.定理3.4得出方程ρ=λv（R）+（B+βR）v（R）的解--h（hθ（R），1- Hθ（R）∑∑T（Hθ（R），1- Hθ（R））T--（Hθ（R），1- Hθ（R））（A+αR）i，给出ρθ=-Bβ+2（θ+1）（θ+2）σh[A-Bβ（α）- 1)]-λ(α- 1） 2βi.（3.9）我们注意到，Bielecki和Pliska引入了一种最佳投资策略，将投资组合的回报最大化到有限的时间范围内。在本文中，我们介绍了另一种策略，投资者可以使用这种策略来管理投资组合，并在任何固定时间实现回报最大化。4.

两个随机微分方程的条件期望和方差：求解的两种方法让我们考虑一个随机微分方程系统sdf=a（t，F，X）dt+σ（t，F，X）dW，dX=B（t，F，X）dt+λ（t，F，X）dW，F（0）=F，X（0）=X，t≥ 0，f∈ R、 x∈ R、 （4.1）其中W=（W，W）是一个具有独立分量的二维布朗运动，a，B，σ，λ是给定的函数。随机变量f和x的联合分布密度P（t，f，x）由福克-普朗克方程描述（例如[39]，[36]）P（t，f，x）t=-A（t，F，X）P（t，F，X）f+σ（t，F，X）P（t，F，X）F-B（t，F，X）P（t，F，X）x+λ（t，F，X）P（t，F，X）x（4.2）初始数据P（0，f，x）=P（f，x），（4.3）由f和x的初始分布决定。市场的线性模型中的最优投资策略9如果P（t，f，x）已知，在t时刻给定x值的f的条件期望可以通过以下公式（见[39]，[8]）f（t，x）：=e（f |x=RRfP（t，f，x）dfRRP（t，f，x）dfRRP（t，f，x）df）df。（4.4）如果我们设置P（f，x）=δ（f- f） g（x），其中f∈ R和g（x）是一个任意函数，RRg（x）dx=1，然后¨f（0，x）=f。在[1]，[2]中研究了（4.4）的一些特性。t时刻给定值为X的随机变量F的条件方差定义如下：`v（t，X）：=Var（F | X=X）=RRfP（t，F，X）dfRRP（t，F，X）df-\'f（t，x）。（4.5）方程（4.2）的基本解可通过Riccati矩阵方程[42]，[9]找到。对于一些简单但重要的应用程序，初始数据的选择问题（4.2），（4.3）可以用初等函数来解决。此外，有时P（t，f，x）的傅里叶变换比这个函数本身更容易找到。此外，我们提供了两种解决问题的方法。4.1. 方法1：简化ODE系统。

假设变量F和X服从以下随机微分方程组：dF（t）=（A+αX（t）+αF（t））dt+σdW（t）+σdW（t），dX（t）=（B+βX（t）+βF（t））dt+λdW（t）+λdW（t），F（0）=F，X（0）=X，t≥ 0，f，x∈ R、 （4.6）其中W（t）=（W（t），W（t））是二维布朗运动；A、 B，αi，βi，σi，λi，t的已知光滑函数，i=1，2。然后f和x的联合分布密度P（t，f，x）求解福克-普朗克方程P（t，f，x）t=-（A（t）+α（t）x）P（t，f，x）F--α（t）P（t，f，x）+fP（t，f，x）F- （B（t）+β（t）f）P（t，f，x）十、--β（t）P（t，f，x）+xP（t，f，x）十、+（σ（t）+σ（t））P（t，f，x）f++（σ（t）λ（t）+σ（t）λ（t））P（t，f，x）Fx+（λ（t）+λ（t））P（t，f，x）x（4.7）受制于初始数据P（0，f，x）=P（f，x）=δ（f- f） g（x）。（4.8）我们对（4.7）和（4.8）的f中的P（t，f，x）进行傅里叶变换，得到：^P（t，u，x）t=-（A（t）+α（t）x）^P（t，u，x）i--α（t）^P（t，u，x）- u^P（t，u，x）u!- （B（t）+β（t）x）^P（t，u，x）十、--β（t）^P（t，u，x）- β（t）^P（t，u，x）十、ui--（σ（t）+σ（t））μ^P（t，u，x）+（λ（t）+λ（t））^P（t，u，x）x++（σ（t）λ（t）+σ（t）λ（t））u^P（t，u，x）xi，（4.9）10 G.S.Kambabeva和O.S.ROZANOVA^P（0，u，x）=√2πe-iufg（x）。（4.10）为了获得明确的公式，我们将自己限制在g（x）=e的情况下-（十）-x） 2ss√2π，（4.11），其中x∈ R、 s∈ R+。这里xis是变量X在初始时间的平均值，sis是方差。此后，我们使用以下方法寻求问题（4.9）、（4.10）的解决方案：^P（t，u，x）=eγ（t）+γ（t）u+γ（t）x+γ（t）u+γ（t）x+γ（t）xs√2π. （4.12）我们将（4.12）替换为（4.9）和（4.10）。

将系数乘以u和x的幂得出γj（t），j=1。。。，6:γ（t）t=λ（t）γ（t）+λ（t）γ（t）+λ（t）γ（t）- α（t）- β（t）--B（t）γ（t）- iβ（t）γ（t）+λ（t）γ（t）- iβ（t）γ（t）γ（t），γ（t）t=λ（t）+λ（t）γ（t）γ（t）- B（t）γ（t）+α（t）γ（t）--2iβ（t）γ（t）γ（t）+（σ（t）λ（t）+σ（t）λ（t））γ（t）i--iA（t）- iβ（t）γ（t）γ（t），γ（t）t=-β（t）γ（t）- iβ（t）γ（t）γ（t）- 2B（t）γ（t）--2iβ（t）γ（t）γ（t）+2（λ（t）+λ（t））γ（t）γ（t），γ（t）t=（λ（t）+λ（t））γ（t）- 2iβ（t）γ（t）γ（t）+2α（t）γ（t）--σ-σ（t）+（σ（t）λ（t）+σ（t）λ（t））γ（t）i，γ（t）t=-β（t）γ（t）- iβ（t）γ（t）+α（t）γ（t）- iα（t）--4iβ（t）γ（t）γ（t）+2（λ（t）+λ（t））γ（t）γ（t）+2i（σ（t）λ（t）+σ（t）λ（t））γ（t），γ（t）t=-2β（t）γ（t）- 2iβ（t）γ（t）γ（t）+2（λ（t）+λ（t））γ（t），（4.13）初始数据γ（0）=-x2s，γ（0）=-如果，γ（0）=xs，γ（0）=0，γ（0）=0，γ（0）=-2秒。（4.14）如果我们成功地明确地解决了问题（4.13），（4.14），那么我们发现^P（t，u，x）替换γj（t），j=1。。。，6分（4.12分）。此外，我们还应用Fourier逆变换来确定函数P（t，f，x），并从（4.4）中得到给定初始数据（4.11）下的积分后的f（t，x）。假设在（4.8）g（x）=2Lχ[-五十、 L]（x）=2L，x∈ [-五十、 L]。这种选择对应于随机变量X在分段上的初始均匀分布[-五十、 L]。这里，f（t，x）应理解为：\'f（t，x）=limL→+∞R[-五十、 L]fP（t，f，x）dfR[-五十、 L]P（t，f，x）df。（4.15）市场线性模型中的最优投资策略→+∞R[-五十、 L]fP（t，f，x）dfR[-五十、 L]P（t，f，x）df-\'f（t，x）。（4.16）因此，发现^P（t，u，x）的问题被简化为初始数据γ（0）=0，γ（0）=-如果，γ（0）=0，γ（0）=0，γ（0）=0，γ（0）=0。下面我们考虑系统（4.6）的一个特例，该系统由经济应用程序产生，其中函数^f（t，x）可以以显式形式获得。4.2. 方法2：用傅里叶变换表示。

通过^P（t，u，ξ）对函数P（t，f，x）的变量（f，x）进行傅里叶变换，作为问题（4.2）、（4.3）的解。假设^P（t，0，ξ）和^P（t，0，ξ）是在单位时间内相对于ξ减小的函数，比其任意幂更快。那么（4.4）中定义的“f（t，x）”可以得到如下：“\'f（t，x）=如果-1ξ[^P（t，0，ξ）]（t，x）F-1ξ[^P（t，0，ξ）]（t，x），t≥ 0，x∈ R.（4.17）以下我们用F表示-1u和F-1ξ变量u和ξ中的逆傅里叶变换，相应地，（·，·）u是变量u的试函数上的作用分布。这里（eiuf，1）表示极限→∞（eiuf，ωε（f）* χ[-五十、 L]）f，其中χOhm是这一组的指示器Ohm ωε（f）是标准摩尔数。（4.17）的证明在谐波分析[30]中是一个很好的证明。也就是说，（4.4）的分母是Zrp（t，f，x）df=ZRF-1u[F-1ξ[^P（t，u，ξ）]]df==F-1ξ[F-1f[1]（u），^P（t，u，ξ）u] =√2πF-1ξ[δ（u），^P（t，u，ξ）u] ==√2πF-1ξ[^P（t，0，ξ）]。类似地，我们计算分子：ZRfP（t，f，x）df=ZRfF-1u[F-1ξ[^P（t，u，ξ）]]df==F-1ξ[F-1f[f]（u），^P（t，u，ξ）u] = -√2πi F-1ξ[δ（u），^P（t，u，ξ）u] ==√2πi F-1ξ[δ(u), ^P（t，u，ξ）u]=i√2πF-1ξ[^P（t，0，ξ）]。在公式（4.5）定义的给定值X下，F的条件方差可用联合分布密度（t，F，X）的傅里叶变换表示如下：`v（t，X）=（F-1ξ[^P（t，0，ξ）]- F-1ξ[^P（t，0，ξ）]F-1ξ[^P（t，0，ξ）]（F-1ξ[^P（t，0，ξ）]（t，x）。（4.18）我们将把公式应用于X因子波动率与因子平方根成比例的情况。这种模型属于有效模型[14]的范畴，因此福克-普朗克方程被积分为正交。12 G.S.Kambabeva和O.S.ROZANOVARemark 4.1。由于许多问题都可以在其框架内解析解决，因此金融数学中流行一种有效的模型。

具体而言，一个有效的模型包括德默顿、瓦西塞克、考克斯-英格索尔-罗斯利率模型（见[12]、[11]、[38]）。固定时间的投资组合选择问题。1.问题陈述。让我们回顾一下，Bieleckian和Pliska的最佳策略对应于有限的时间范围。我们将演示另一种策略，投资者可以使用它来管理投资组合，并在任何固定时间实现回报最大化。我们考虑了Bielecki和Pliska模型中定义的证券价格和因素（2.1）、（2.2）以及投资过程（2.3）的市场模型。表示F（t）=ln V（t）并使用它^o公式[32]，我们从（2.3）中推导出以下等式：dF（t）=“mXi=1（hiAi-him+nXk=1σik）+mXi=1hinXp=1αipXp（t）#dt++mXi=1him+nXkσikdWk（t），F（0）=ln V（0）=F（5.1）我们定义了一个函数“Qγ”（t，x；h），类似于Bielecki和Pliska模型中关于θ=0的Qθ（t）泰勒级数的前两个元素，即“Qγ（t，x；h）=F（t，x；h）- γv（t，x；h），x=（x，…，xn），（5.2），其中γ=θ≥ 0是一个风险敏感参数，类似于Bielecki和Pliska模型中的θ，\'f（t，x；h）和\'v（t，x；h）是随机变量f（t）的条件期望和条件变量，其给定值为x（t）=x。。。，Xn（t）=Xn。然后，我们解决以下问题：在可接受的投资策略类h（见定义5.1）上，用给定的因子x（t）=x，…，找到maxh=（h，…，hm）`Qγ（t，x；h），x=（x，…，xn）。。。，Xn（t）=给定时刻t的Xn定义5.1。如果策略“Hγ”给出了函数“Qγ（t，x；H）的最大值，且因子x（t）=x。。。，Xn（t）=Xn在给定的时间t内。一旦我们找到了所表示策略类别的最大值，那么我们就找到了根据方差描述的随机性损失提供最大投资组合回报的策略。

改变参数γ的值，我们可以夸大或低估随机性的作用，或者根本不考虑随机性，将γ设置为0。该模型可以用以下方式解释。让我们假设投资者将在两个集合Si，i=1，…，之间分配初始资本。。。，m、 价格取决于一组外生经济因素Xj，j=1。。。，n、 资产价格和要素价值遵循方程式（2.1）、（2.2）。投资者解决了一个动态资产管理问题，该问题具有阿里斯克敏感的最优准则。让我们假设投资者在某个固定时刻清楚地知道各种因素的价值。因此，投资者必须在考虑有关因素的新信息的情况下找到最佳投资组合，这样，在市场的线性模型13中，最优投资策略是灵活的，并且可以在投资的所有时间内实现。模型指的是战术资产配置（例如[35]）。5.2。求解算法。让我们给出一个单因素模型优化问题的解决方案，即我们考虑系统（5.1），（2.2）forn=1（这里X（t）=X（t））：dF（t）=“mXi=1（hiAi-him+1Xk=1σik）+mXi=1hiαiX（t）#dt++mXi=1him+1XkσikdWk（t），F（0）=F，（5.3）dX（t）=（B+βX（t））dt+m+1Xk=1λkdWk（t），X（0）=X（5.4）我们可以使用公式（4.4），（4.5），（4.16）或（4.17），（4.18）来确定F（t，X；h）和v（t，X；h）。然后我们可以把Qγ（t，x；h）写成关于h=（h，…，hm）的二次函数。下面，我们将为几个重要的情况显式地编写这个函数。在约束Tmxi=1hi的情况下，找到“Qγ（t，x，h）”的条件极值- 1=0可以使用拉格朗日方法。

拉格朗日函数isL（h，ξ）=Qγ（t，x；h）+ξ（mXi=1hi）- 1） =mXi，j=1Kij（t，x）hihj+mXi=1（Ki（t，x）+ξ）hi+K（t，x）- ξ、 式中，t，x的Kij，Ki，Kare函数和系数Ai，αi，B，β，σik，λk，i=1。。。，m、 k=1。。。，m+1。通过将拉格朗日函数L（h，ξ）的hi，ξ的偏导数等于零，我们得到了一个m+1方程组：L（h，ξ）hi=mXj=1（Kij（t，x）+Kji（t，x））hj+Ki（t，x）+ξ=0，L（h，ξ）ξ=mXi=1hi- 1 = 0.这是一个关于变量h的非齐次线性代数方程组。。。，嗯，ξ。未知的h。。。，hm，ξ可以唯一地找到，前提是系统的定数不消失。如果lim | h|→∞\'Qγ（t，x；h）=-∞ Qγ（t，x；h）是h中的连续函数，那么点h。。。，HMI是唯一的最大值。备注5.1。我们的考虑是γ>-.备注5.2。由于我们的主要目标是研究利率等因素的影响，因此我们通过考虑带有一个因子x（t）的模型来限制自己。然而，这些结果可以推广到因子过程X（t）中含有n分量的向量方程的情况。这里的f（t，x）和v（t，x）是时间和n个空间变量的函数。因子过程可以有相关的成分。14 G.S.Kambabaeva和O.S.Rozanova进一步，我们根据一个市场因素，即银行利率，为两种资产的投资组合找到了一个明确的最优投资策略。对于利率，我们首先选择Vasicek模型，然后选择Cox-Ingersoll-Ross模型。6.线性利率（Vasicek模型）6.1。由两项资产组成的投资组合示例。

让我们用一般的方式写出（5.3），（5.4）：dF=（a+αX）dt+（σ，dW），dX=（B+βX）dt+（λ，dW），F（0）=F，X（0）=X，（6.1），其中mXi=1（hiAi）-him+1Xk=1σik），α=mXi=1hiαi，λ=（λ，…，λm+1），σ=（mXi=1hiσi1，…，mXi=1hiσi，m+1），（6.2）W=（W（t）。。。，Wm+1（t））是（m+1）维布朗运动。回想一下β<0。等式（6.1）是（4.6）的一个特例。因此，我们可以使用SEC的结果。4.1.等式（4.7）为P（t，f，x）t=-（A+αx）P（t，f，x）F- βP（t，f，x）- （B+βx）P（t，f，x）x+∑P（t，f，x）f+∑P（t，f，x）x+∑P（t，f，x）Fx、 （6.3）式中，∑=σT=（mXi=1him+1Xk=1σik），∑=λT=m+1Xk=1λk，∑=σλT=m+1Xk=1λkmXi=1hiσik。（6.4）初始条件为p（0，f，x）=δ（f）- f） g（x）。为了解决这个方程，我们使用Sec的第一种方法。然而，第二种方法也可以应用。我们将在第二节中展示第二种方法的工作原理。7以考克斯-英格索尔-罗斯利率为例。6.1.1. 因子的高斯初始分布。为了得到明确的公式，我们考虑了随机值X的高斯初始分布，即g（X）=e-（十）-x） 2秒√2πs，其中x∈ R是初始时刻X的平均值，常数s，s∈ R+是方差。极限情况→ 0对应于初始相等的因子。因此，P（0，f，x）=δ（f- f） e-（十）-x） 2秒√2πs.（6.5）市场线性模型中的最优投资策略15关于f映射（6.3），（6.5）的傅里叶变换^P（t，u，x）t=-iu（A+αx）^P（t，u，x）- （B+βx）^P（t，u，x）十、- β^P（t，u，x）--∑μ^P（t，u，x）+∑^P（t，u，x）x+i∑^P（t，u，x）x、 （6.6）^P（0，u，x）=e-我爱你-（十）-x） 2秒√2πs.（6.7）对于（6.6）、（6.7）的溶液，anzats为^P（t，u，x）=eγ（t）+γ（t）u+γ（t）x+γ（t）u+γ（t）x+√2πs。