分位数和预期短缺联合回归框架

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英文标题：
《A Joint Quantile and Expected Shortfall Regression Framework》
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作者：
Timo Dimitriadis and Sebastian Bayer
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We introduce a novel regression framework which simultaneously models the quantile and the Expected Shortfall (ES) of a response variable given a set of covariates. This regression is based on a strictly consistent loss function for the pair quantile and ES, which allows for M- and Z-estimation of the joint regression parameters. We show consistency and asymptotic normality for both estimators under weak regularity conditions. The underlying loss function depends on two specification functions, whose choice affects the properties of the resulting estimators. We find that the Z-estimator is numerically unstable and thus, we rely on M-estimation of the model parameters. Extensive simulations verify the asymptotic properties and analyze the small sample behavior of the M-estimator for different specification functions. This joint regression framework allows for various applications including estimating, forecasting, and backtesting ES, which is particularly relevant in light of the recent introduction of ES into the Basel Accords.
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中文摘要：
我们引入了一个新的回归框架，该框架同时对给定一组协变量的响应变量的分位数和预期短缺进行建模。该回归基于成对分位数和ES的严格一致损失函数，允许对联合回归参数进行M和Z估计。在弱正则条件下，我们证明了这两种估计量的相合性和渐近正态性。基本损失函数依赖于两个规格函数，其选择会影响结果估计量的性质。我们发现Z-估计在数值上是不稳定的，因此，我们依赖于模型参数的M-估计。大量的仿真验证了M估计的渐近性质，并分析了不同规格函数下M估计的小样本行为。该联合回归框架允许各种应用，包括估计、预测和回溯测试ES，鉴于最近将ES引入巴塞尔协议，这一点尤其相关。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> A_Joint_Quantile_and_Expected_Shortfall_Regression_Framework.pdf (717.6 KB)

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关键词：分位数 Applications Quantitative Multivariate Econophysics

联合分位数和预期短缺回归框架Timo Dimitriadis+和Sebastian BayerUniversity of Konstanz，经济系，78457 Konstanz，Germany此版本：07.08.2017AbstractShankess（ES）给定一组协变量的响应变量。该回归基于成对分位数和ES的严格一致损失函数，允许对联合回归参数进行M和Z估计。在弱正则条件下，我们证明了这两种估计量的相合性和渐近正态性。基本损失函数取决于两个规格函数，其选择影响结果估计量的性质。我们发现Z估计量在数值上是不稳定的，因此，我们依赖于模型参数的M估计。大量仿真验证了不同规格函数的渐近性质，并分析了M估计的小样本行为。该联合回归框架允许各种应用，包括估计、预测和回溯测试ES，这与最近将ES引入BaselAccords尤其相关。关键词：预期短缺、联合可获得性、联合回归、M估计、分位数回归1。引言测量和预测风险对于各种学术学科都至关重要。为此，风险度量被正式定义为从随机变量空间到实数的映射（具有某些属性），用于将所涉及风险的复杂性浓缩为单个数字（Artzneret al.，1999）。在金融风险度量方面，迄今为止最常用的风险度量是风险价值（VaR），它是回报分布的α-分位数。

它之所以受欢迎，主要是因为它的性质简单，而且到目前为止，巴塞尔协议规定使用它来计算银行的资本要求。除了不一致（Artzner et al.，1999），VaR的主要缺点是无法捕获自身以外的尾部风险。这种不足通过α级的风险度量预期缺口（ES）来克服，该缺口被定义为小于收益分布α分位数的收益平均值。ES具有从收益分布的全左尾捕获信息的理想能力，这对于衡量极端金融风险尤为重要。在过去几年中，ES越来越成为从业者、学者和监管机构关注的对象，尤其是自其最近被引入巴塞尔协议以来（巴塞尔委员会，2016年）。ES（被视为统计函数）的一个主要缺点是它不可导出，这意味着不存在损失函数（评分函数，评分规则），ES唯一地最小化了本文的子实体，通过回归对给定一组协变量的条件ES进行建模+相应的作者邮箱地址：timo。dimitriadis@uni-康斯坦茨。德，塞巴斯蒂安。bayer@uni-康斯坦茨。去回归（可用于VaR建模），迄今为止，还没有基于一组协变量对ES进行建模的回归框架。Nadarajah等人（2014年）概述了ES的估算方法。然而，reviewedapproaches仅适用于单变量数据，不适用于基于协变量（如均值和分位数回归）估计条件Es。然而，forTaylor（2008a）介绍了一些基于期望值回归的方法以及ESA和期望值之间的关系。

Taylor（2017）提出了一种基于不对称拉普拉斯分布最大似然估计的分位数和ES联合建模技术。Barendse（2017）提出了广义矩量法（GMM）估计，用于量化预测的回归框架。尽管ES不能单独得出，但Fissler和Ziegel（2016）在其主要论文中表明，分位数（VaR）和ES可以通过引入一类联合损失和Holzmann（2016）以及在风险度量VaR和ES的联合预测评估（Acerbi和Szekly，2014；Fissler等人，2016；Nolde和Ziegel，2017；Ziegel等人，2017）中共同得出。在本文中，我们利用Fissler和Ziegel（2016）的损失函数类引入了联合回归参数的Z估计量。这些严格一致的损失函数有利于引入回归参数的M和Z估计，而无需指定模型的完整条件分布，这与最大似然估计相反。在弱正则条件下，我们证明了这两个估计量的一致性和渐近正态性，这是这种回归框架的典型条件。据我们所知，我们是第一个提出分位数和ES的联合回归框架，以及联合M和Z估计以及一致性和渐近正态性的相关结果。此外，我们首次提出了基于联合M估计的两个不同函数的联合Miparametric回归框架，无需指定完整的条件分布。所采用的联合损失函数、估计方程（用于Z估计）和结果参数估计取决于两个规格函数，可以从某些类别的函数中选择。

即使一致性和渐近正态性适用于估计量矩阵的所有适用选择，优化算法的数值稳定性和计算时间。我们在理论上讨论了这些函数的选择，包括渐近有效性和必要的正则性条件，以及优化算法的数值性质。密度分位数函数的估计，类似于分位数回归（参见Koenker，2005），因此也类似于文献。我们为这个数量引入了几个估计器，这些估计器能够处理有限的样本量，并且可以建模负分位数残差对协变量的依赖性。此外，我们使用bootstrap估计协方差矩阵。为了便于应用，我们提供了anR包（Bayer和Dimitriadis，2017a），其中包含M和Z估计量的实现。用户可以选择参数估计协方差矩阵的规格函数、数值优化程序和估计方法。不同的属性。我们在数值上验证了规格函数不同选择范围的M估计的一致性和渐近正态性。此外，我们发现Z估计量依赖于回归参数的M估计。

此外，我们发现M-估计的性能强烈依赖于规格函数，其中导致正同质损失函数的选择（Nolde和Ziegel，2017；Efron，1991）导致估计的渐近效率、计算时间和均方误差方面的优异性能。分位数和ES的联合回归技术作为itrisk管理有着广泛的潜在应用，它为扩展分位数回归Komunjer（2013）、Xiao等人（2015）和ikesand Baruník（2016）的现有应用开辟了可能性。这些估计、预测和巴塞尔协议。作为一个例子，我们给出了一个实证应用程序，其中我们使用我们的回归框架根据已实现的波动率联合预测VaR和ES。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了联合回归框架、基本正则性条件以及估计量的渐近性质，并讨论了估计量和渐近协方差矩阵的估计。第4节介绍了一个广泛的模拟研究，第5节包含了一个实证应用。第6节提供了结束语。证明推迟到附录B和C.2。方法学2.1。联合回归框架继Lambert et al.（2008）、Gneiting（2011）和Fissler and Ziegel（2016）之后，我们引入了（多元）p-可诱导性的概念。我们考虑一个随机变量Z：Ohm → 定义了一些完全概率空间Ohm, F、 P, 一类分布函数，配有Borelσ-field和函数alt:P→ D及其作用域D Rp，p∈ N

我们称之为可积损失函数ρRd×D→ RTPTE公司ρ（Z，·）F∈ PFZpT pPρtpp功能可诱导而非p可诱导。给定广义α-量子化qα（Z）=F-1（α）=infz∈ R： F（z）≥ α对于某些α∈ （，），水平α的随机变量定义为α（Z）=ααQu（Z）du。如果Zi的分布函数在其α-分位数处是连续的，则该定义可以简化为条件尾部期望值α（Z）=EZZ≤ Qα（Z）. Gneiting（2011）表明，对于区间上的anyclassPof概率分布，ES不是1-可导出的 R、 其中包含具有有限支持的度量或具有紧凑支持的绝对连续分布的有限混合（另见Weber，2006）。功能ES的这种结果预测是不可行的。其次，对于这项工作来说，更重要的是，通过M-估计的方法，即通过最小化一些严格一致的损失函数，在ESα（Y | X）=Xθeby的意义上，估计函数ES的独立回归模型的参数是不可行的。尽管ES不是1-可诱导的，但Fissler和Ziegel（2016）表明，该对由ES和α矩以及唯一的α分位数组成，并且它们表征了该对在某些正则条件下的全类严格一致损失函数。由于ES的定义已经取决于相应的分位数，因此ES只能与分位数一起引出这一事实并不令人惊讶。我们利用这个联合可引出性结果引入了一个新的联合回归框架forYOhm → 接收Ohm → Rk公司Ohm, F、 PX将由X表示，ygivenxbyfy | X的累积分布函数和条件密度函数由fy | X表示。

对于ak次可微实值函数g:R→ R、 我们用G（k）（·）表示k阶导数。假设2.1（联合回归模型）。对于某些固定水平α，回归框架联合建模给定X的Y的条件分位数和ES∈ （0，1）由Y=Xθq+uqand Y=Xθe+ue给出，（2.1），其中qα（uq | X）=0 andESα（ue | X）=0。模型参数化为θ=（θq0，θe0）∈ Θ R2k，其中参数空间Θ是紧的，内部为非空，int（Θ），.我们提出了复合回归参数向量θ的M估计和Z估计方法。对于M估计，我们采用了Fissler和Ziegel（2016）中给出的分位数和ES的严格一致的联合损失函数，以便可以在回归框架ρ（Y，X，θ）中使用={Y≤Xθq}- αG（Xθq）- 1{Y≤Xθq}G（Y）+G（Xθe）Xθe- Xθq+（Xθq-Y） 1{Y≤Xθq}α- G（Xθe）+a（Y），（2.2），其中函数G两次连续可微，G三次连续可微，G（1）=G，G（1）严格为正，G递增，G可积。我们在第2.3节的理论背景下讨论了规格函数的选择，并在第4.2节的数值性能中讨论了规格函数的选择。相应的（ρ型）M估计量由序列^θρ，n定义，使得^θρ，n=argminθ∈Θnni=1ρ（Yi，Xi，θ）。除了最小化（2.2）中的某些目标函数ρ（Y，X，θ），我们还可以定义相应的Z-估计量（或ψ型M-估计量），它将估计方程（矩条件）的向量设置为零，用ψ（Y，X，θ）表示。更一般地说，这些估计方程几乎肯定会收敛到零。

形式上，Z-估计量是序列^θψ，n，这样nni=1ψ（Yi，Xi，^θψ，n）→ 0几乎可以肯定，其中ψ（Y，X，θ）=ψ（Y，X，θ）ψ（Y，X，θ）=α（1{Y≤Xθq}- α）αXG（1）（Xθq）+XG（Xθe）XG（1）（Xθe）Xθe- Xθq+α（Xθq-Y） 1{Y≤Xθq}, （2.3）gg损失函数ρ（Y，X，θ）在θ中是连续可微的，很明显，M和Z估计方法是等效的。然而，在这种情况下，损失函数ρ（Y，X，θ）是不可微的，ψ（Y，X，θ）Y=Xθqa是不同的估计量，并分别显示其渐近行为。我们可以对该损失函数的结构进行如下解释（Fissler等人，2016）：在（2.2）中，第一个和是分位数的严格一致损失函数（Gneiting，2011），因此仅取决于分位数，而第二个和本身不是1-可导的，而是与相应分位数一起2-可导的。注意，（2.2）中给出的函数ρ（Y，X，θ）仅对Y，Xθq可微。然而，对于给定X.2.2的Y的绝对连续分布，不可微点Y=Xθq形成一个零集。渐近性质在这一节中，我们给出了回归参数的M估计和Z估计的渐近性质。一致性和渐近正态性在以下弱正则条件下成立，这对于这个回归框架来说是很自然的。假设2.2（规则性条件）。（A-1）数据（Yi，Xi）fori=。

，nis是一个iid随机变量序列，分布如（Y，X）FY | Xis与概率密度函数FY | X绝对连续，其严格正、连续且在真条件分位数Xθq的邻域内有界。（a-2）矩阵EX X X为正定义。（A-3）函数ρ（Y，X，θ）和ψ（Y，X，θ）如（2.2）和（2.3）所示，其中函数G是两次连续可微分的，G是三次连续可微分的，G（1）=G，G（1）是严格正的，G是递增的，A和Gare是可积的。备注2.3（有限力矩条件）。我们还必须假设X的某些时刻是有限的。为了节省空间，我们在附录A中规定了有限力矩条件（M-1）-（M-4）。函数和气体在第2.3节中进一步概述。对于分位数回归的渐近理论，还施加了在真条件分位数的高阶域上具有严格正、有界和连续密度函数的y | x的绝对连续性。ygivenx的条件矩的存在取决于均值回归的条件，并且由于ES是截断均值，因此包含在正则性条件中。（A-2）中的正不确定性（满秩条件）对于任何具有随机回归的回归设计都是常见的，以排除回归的完全多重共线性。规范函数Gandgin（A-3）的条件主要来源于分位数和ESin Fissler和Ziegel（2016）的联合可诱导性条件。在该设置中，需要这些函数的可微性，以获得估计方程，并在计算定理2.6和定理2.7中的渐近协方差时进行微分。解释变量的某些矩的存在性，如inMMregressors。