基于流动性的限价订单随机模拟框架

[2011]提供了高频交易公司在市场中越来越多的代表性的证据，尽管[Brogaard等人，2014]没有发现这会增加机构执行成本。为LOB模拟提出的其他随机模型包括Ro,su【2009】提出的模型，他引入了一个LOB模型，旨在与市场微观结构理论支持的逆向选择风险相比，为在不同LOB水平提交订单提供另一种解释。相反，假设交易者在以更有利的价格进行交易时具有更高的预期效用，但在通过限价指令进行交易时，其效用与等待时间成正比。该模型预测，流动性提供者之间的竞争可能会导致竞购askspread，大市场订单的可能性可能会导致驼峰形LOB。虽然我们在模型中考虑的代理人行为的总体动机来自其流动性脉冲，但我们为其交易活动考虑的随机模型与本节中描述的模型系列相关。极限订单到达的独立齐次泊松过程的假设是非常简单的，因此，我们将极限订单到达强度的依赖性纳入不同水平的极限订单到达强度，作为我们在下一节描述的灵活参数模型的一部分。3新视角：基于随机代理的LOB模型在本节中，我们为基于随机代理的模型的每个组成部分提供正式的数学规范。这包括流动性提供者代理机构的限价订单安排和取消的随机模型，以及流动性需求代表机构的市场订单安排的随机模型。

随机ABM框架可以对日间LOB活动中的非线性依赖性进行建模，其中，不同类型的事件（如限额和市场订单）之间以及相同类型的事件之间都考虑了这种依赖性，但级别不同（如LOB ask侧的2级和5级取消）。我们广泛使用灵活的多元斜-t分布，该分布在对波动性的重尾、尾依赖、倾斜和聚集进行建模方面是独一无二的[Demarta和McNeil，2005年，Fung和Seneta，2010年]。3.1限额订单模拟框架我们考虑固定时间间隔内的日间LOB活动，[t]- 1，t），[t，t+1，…..对于每个时间间隔[t，t+1]，我们允许随着模拟的发展动态调整LOB的投标方或要求方的总级别。这些LOB级别是根据两个参考价格定义的，等于pb，1t-1和pa，1吨-1，即区间开始时的最高出价和最低要价。我们认为这些参考值在整个时间间隔内是恒定的-1，t），因此，书中投标方的水平定义为距离pa，1t的整数刻度-1，而书中ask端的级别定义为pb的整数倍，1t-1、这并不意味着我们期望最佳出价和要价保持不变，只是我们根据在此期间与这些参考价格之间的距离（以刻度表示），对活动进行建模（即限制订单到达、取消和执行）。我们注意到，当然有可能在这段时间内，以最佳投标价格的成交量被消耗掉，并且限价订单以该价格发布，这将被视为与参考价格相差0点。为了考虑到这种可能性，我们在-ld+1，0, . . .

，从每个参考价格中扣除。这里，p下标将指被动订单，即如果参考价格保持不变，不会导致立即执行的订单。d指直接订单或激进订单，再次理解为激进订单与期初参考价格有关。因此，如图1所示，我们在bid和SK上以总lt=lp+LDL水平对活动进行积极建模。我们假设发生在更远的地方的活动与接近书籍顶部的活动不相关（如图2所示），因此不太可能对价格演变和成交量过程的性质产生太大影响。因此，处于主动建模LOB级别之外的卷(-ld+1，0，在代理交互将这些级别带入主动建模级别的范围内之前，假设出价和要价的lp）保持不变。为了展示模拟框架的细节，包括每个代理的随机模型组件，即流动性提供者和流动性需求者，我们首先定义以下符号：1。增值税=（Va，-ld+1t，Va，lpt）-时间t时askside上每个层级上的订单数量的随机向量，时间t2时LOB的活动建模层级上的订单数量。NLO，at=（NLO，a，-ld+1t，NLO、a、lpt）-区间内每个级别进入ask侧limitorder book的限制订单数量的随机向量【t】- 1，t）3。NC，at=（NC，a，1t，…，NC，a，ltt）-区间[t]内ask侧取消的限制指令数量的随机向量- 1，t）4。

NMO，at-流动性需求方在区间内提交的市场订单数量的随机变量[t- 1，t）我们认为限额订单和市场订单以及取消的流程与LOB中实际市场参与者的行为有关。在下文中，我们对两类流动性激励主体的活动进行了建模，即流动性提供者和流动性需求者。当我们在离散时间间隔中建模LOB活动时，我们在每个时间间隔结束时按以下顺序处理聚合活动：1。流动性提供商代理2限制订单到达-被动。限制流动性提供商代理3主动或直接的订单到达。由流动性提供机构4取消。市场指令由流动性需求方代理。这种订购的理由是，绝大多数限额订单的提交和取消通常是由高频交易员的活动造成的，许多剩余订单在较慢的交易员可以对其执行之前被取消。此外，这样的订单允许我们根据LOB的状态设置条件，这样我们在特定级别上的取消不会比在该级别上的订单多。我们不认为这是一个限制，因为对于给定的模拟，我们考虑的时间间隔可以尽可能小。3.2随机代理表示：流动性提供者和需求者我们假设流动性提供者对所有做市行为负责（即LOB的买卖双方提交的限价单和取消限价单）。在将流动性过账到LOB后，寻求流动性的市场参与者，例如使用某种执行算法的共同基金，可以利用市场订单的剩余量。

对于做市商而言，在出价方和要求方执行的交易量之间实现平衡是有利的；然而，也存在逆向选择的风险，即针对具有更高信息的贸易商进行交易，这可能会导致损失，例如，如果贸易商发布的多个市场订单消耗了LOB多个级别的交易量。信息不对称导致的逆向选择风险是市场微观结构理论的基本原则之一[O\'hara，1995]。以不同的市场规模和价格降低订单或取消订单。定义1（流动性提供方代理的限额订单提交流程）。考虑流动性提供方代理的limitorder提交流程，在账簿的买卖双方都包括被动和主动的limitorder，假设其具有以下随机模型结构：1。让多元路径空间随机矩阵NLO，k1:T∈ Nlt×T+可以由随机向量构造，用于极限顺序放置的数量NLO，k1:T=NLO，k，NLO，k，NLO，kT. 此外，假设在时间t时，每个级别的阶数的随机向量都有条件地依赖于极限阶数达到的强度的随机过程，由随机矩阵∧LO，k1:t给出∈ Rlt×T+和路径空间上的∧LO，k1:T=∧LO，k，∧LO，k，∧LO，kT. 在下面，k∈ {a，b}表示买卖双方各自的流程。2.假设随机向量具有条件独立性NLO，ks∧LO，ks⊥⊥hNLO，kt∧LO，kti，s6=t，s，t∈ {1,2，…，T}。（1） 3。对于每个时间间隔[t- 1，t）从当日交易开始，让随机向量表示在限价指令簿的每个主动建模级别中新下的限价指令数量，即对应于滴答声的价格点(-ld+1，0, 1, . . .

，lp），如图1所示，用NLO，kt=（NLO，k，-ld+1t，NLO，k，lpt），并假设这些随机向量满足条件独立性hno，k，st∧LO，k，sti⊥⊥hNLO，k，qt∧LO，k，qti，s 6=q，s，q∈ {-ld+1，0，1，lp}。(2)4. 假设随机向量NLO，kt∈ Nlt+按照多元广义Cox过程分布，条件分布为NLO，kt~ GCPλLO，kt由PR提供NLO，k，-ld+1t=n，NLO，k，lpt=nlt∧LO，kt=λLO，kt=Qlps=-ld+1（λLO，k，st）NSN！扩展-λLO，k，sti（3）5。根据∧LO，ks，无条件假设潜在强度随机向量的独立性⊥⊥ ∧LO，kt，s6=t，s，t∈ {1,2，…，T}。(4)6. 假设强度随机向量∧LO，kt∈ Rlt+是通过随机向量ΓLO，kt的元素转换获得的∈ Rlt，其中对于每个元素，我们有∧LO，k，st=uLO，k，sF的映射ΓLO，k，st（5） 我们这里有∈ {-ld+1，lp}，基线强度参数nuLO，k，so∈ R+和严格单调映射F:r7→ [0，1]。7。假设随机向量ΓLO，kt∈ R根据多元斜t分布ΓLO，kt分布~带位置参数向量mk的MSt（mk，βk，νk，∑k）∈ Rlt，偏度参数向量βk∈ Rlt，自由度参数νk∈ N+和lt×ltcoveriance矩阵∑k。因此，ΓLO，kt具有密度函数fΓLO，ktγt；mk，βk，νk，∑k=cKνk+lt√（νk+Q（γt，mk））[βk]t[∑k]-1βkexp（γt-mk）T[∑k]-1βk√（νk+Q（γt，mk））[βk]t[∑k]-1βk-νk+lt1+Q（γt，mk）νkνk+lt（6），其中Kv（z）是由Kv（z）=z给出的第二类修正贝塞尔函数∞伊夫-1e-z（y+y-1） dy（7）和c是归一化常数。我们还将函数Q（·，·）定义如下：Q（γt，mk）=（γt- mk）T∑k-1（γt- mk）（8）该模型还允许使用skew-t边缘和skew-t copula，详情参见Smith等人【2012年】。

重要的是，该随机模型允许以下比例混合表示，ΓLO，ktd=mk+βkW+√W Z（9），带反Gamma随机变量W~ IGaνk，νk和独立的高斯随机向量Z~N0，∑k.8.假设对于来自随机向量NLO，kt的每个元素NLO，k，stof阶数，存在对应的随机向量OLO，k，st∈ 订单大小为NNLO、k、st+。我们假设元素OLO，k，si，t，i∈n1，就像Stok是分布式的一样~ H（·）。此外，我们假设订单大小是无条件独立的OLO、k、si、t⊥⊥ OLO、k、si、tfor i 6=i、s 6=sand t 6=t。我们现在定义了流动性提供者代理的第二个组成部分，即取消流程。取消过程与上述限购单提交过程具有相同的随机过程模型规范，包括投标和询价中每个LOB级别的随机强度之间的斜t依赖结构。因此，我们仅在以下规范中规定了取消流程相对于订单安排模型定义的独特差异，以避免重复。定义2（流动性提供方代理的限额订单取消流程）。考虑流动性提供方代理的限额订单取消流程，使其具有与限额订单提交相同的特定随机模型结构。例外情况是，假设在每个级别的每个时间间隔中取消的订单数在该级别的订单总数处被右截断。1.至于提交，我们假设取消是一个多元路径空间随机矩阵NC，k1:T∈ Nlt×T+由NC给出的取消订单数的随机向量构成，k1:T=NC，k，NC，k。

，北卡罗来纳州，kT.此外，假设这些随机向量在每个LTL水平上的取消顺序数，强度的潜在随机过程由随机矩阵∧C，k1:T给出∈ Rlt×T+，在路径空间中由∧C，k1:T给出=∧C，k，∧C，k，∧C，kT.2、假设对于随机向量Vkt，对于放置限制指令后位于LOB中的体积，我们有Vkt=Vkt-1+NLO，kt，随机向量NC，kt∈ Nlt+按照截断的多变量广义Cox过程分布，条件分布为NC，kt |Vkt=v~ GCPλC，ktI（NC，kt<v）（带v=（v-ld+1，vlp））由PR给出NC，k，-ld+1t=n-ld+1，NC，k，lpt=nlp∧C，kt=λC，kt，~Vkt=v=LPY公司=-ld+1（λC，k，st）NSN！Pvsj=0（λC，k，st）jj！。(10)3. 假设对于取消计数NC、k、st，具有最高优先级的订单从级别s（也是其各自队列中最早的订单）取消。还假设取消总是完全取消订单，即没有部分取消。我们通过考虑流动性需求代理人的规格来完成代表代理人的规格。定义3（流动性需求方代理的市场订单提交流程）。考虑流动性提供者的代表代理人由市场订单组成，其具有以下随机结构：1。假设路径空间随机向量NMO，k1:T∈ N1×T+根据随机变量构建的市场订单数量，每个区间的市场订单数量NMO，k1:T=NMO，k，NMO，k，NMO，kT.此外，假设对于这些随机变量，强度的潜在随机过程由随机变量∧MO，k1:T给出∈ Rlt×T+，在路径空间上由∧MO，k1:T给出=∧MO，k，∧MO，k，∧MO，kT.2.

假设随机变量的条件独立性NMO，ks∧MO，ks⊥⊥hNMO，kt∧MO，kti，s6=t，s，t∈ {1,2，…，T}。(11)3. 假设对于随机变量Rkt，在下达限制指令和取消限制后，位于LOB另一侧的体积，我们有▄Rkt=∑lps=1h▄Vk，st-T- NC，k，sti，其中k=a，如果k=b，反之亦然，随机变量NMO，kt∈ N+根据截断的广义dcox过程进行分布，条件分布NMO，kt | Rkt=r~ GCPλMO，ktpr给出的I（NMO，kt<r）NMO，kt=nλMO，kt=λMO，kt，~Rkt=r=（λMO，kt）nn！Prj=0（λMO，kt）jj！。（12） 4。根据∧MO，ks，无条件假设潜在强度随机向量的独立性⊥⊥ ∧MO，kt，s6=t，s，t∈ {1,2，…，T}。(13)5. 假设对于每个强度随机变量∧MO，kt∈ R+有一个相应的转换强度变量ΓMO，kt∈ R和每个元素的关系由∧MO，kt=uMO，kF的映射给出ΓMO，kt（14） 对于某些基线强度参数uMO，k∈ R+与严格单调映射F:r7→ [0，1]。6。假设随机变量ΓMO，kt∈ R、 表征广义Cox过程变换前的强度分布在区间[t- 1，t）根据一元斜t分布ΓMO，kt~ St（mMO，kt，βMO，k，νMO，k，σMO，k）。假设对于市场订单计数的每个元素NMO，kT，都有一个对应的随机向量k，st∈ NNMO，kt+订单大小。我们假设元素OMO，ki，t，i∈n1，NMO、ktois根据OMO、ki、t分配~ H（·）。还假设市场订单大小是无条件独立的OMO、ki、t⊥⊥OMO，ki，tfor i 6=ior t 6=t。我们用随机向量Lt表示给定日期时间t的真实数据集的LOB状态，这对应于出价和要价的每个级别的价格和数量。

利用上述基于随机代理的模型规范，并给定一个参数向量θ（通常代表流动性提供和流动性需求代理类型的所有参数），还可以生成日内LOB活动的模拟，并得出合成状态L*t（θ）。模拟LOB在时间t的状态从时间t的状态中获得- 1和一组随机分量，通常用Xt表示，它们是从基于代理的模型的以下分量的单个随机实现中获得的：o限制订单提交强度∧LO，bt，∧LO，at，订单号NLO，bt，NLO，at和订单大小OLO，a，si，t，OLO，b，sj，t，其中s=-ld+1。lp，i=1。NLO，a，st，j=1。NLO，b，sto限额订单取消强度∧C，bt，C，A和取消数量NC，bt，NC，ato市场订单强度∧MO，bt，MO，at，市场订单数量NMO，bt，NMO，at，VMO，bt，VMO，A和市场订单大小OMO，ai，t，OMO，bj，t，i=1。NMO，at，j=1。NMO，bt这些随机特征与LOB，L的先前状态相结合*T-1（θ），产生新的状态*t（θ），对于给定的一组参数θ，给定byL*t（θ）=G（L*T-1（θ），Xt）（15）G（·）是一种转换，它将LOB的先前状态和当前步骤中生成的活动映射到新步骤中，就像匹配引擎在每个事件后更新LOB一样。然而，由于我们以离散的时间间隔对活动进行建模，LOB仅在每个时间间隔结束时更新，并且在第3节规定的订单中处理入市事件（限价订单、市场订单和取消）。1.