短暂离散价格变动的连续时间分析

这种修改的优点是可以保存估计的L'evy测度^ν：Xy的所有（非负）矩∈Z\\{0}|y|r[ν（y）=∞Xy=1 | y | r[ν（y）+\\ν(-y）.然而，它的代价是对Pt的所有奇数累积量的估计- 但实际上这是可以忽略的，因为只需要对较大的y进行截断，并且相应的强度ν（y）通常非常小。为了完全避免负面估计，可以将列维测度参数化为inBarndor ff-Nielsen、Lunde、Shephard和Veraart（2014），但在这里，我们更倾向于使用非参数估计。备注11我们应该注意，（13）包含了我们可以从方程（11）和（12）中获得的所有信息，因此我们不能依赖方程（11）和（12）同时求解b和L'evy测度ν。详情见附录A。4.2永久性和拖网函数的推断我们需要使用额外的力矩方程来估计拖网函数d和b。最简单的方法是通过定理1。特别是，我们将使用Pkδ- P（k）-1)δT/δk=1估计Var（Pδ- P） =（bδ+2leb（AδA））κ（L）=（bδ+2leb（AδA））Xy∈Z \\{0}yν（y）。用采样间隔δascσδ表示样本方差。然后到（13）和匹配时刻，我们应该有cσδ=bδ+2leb（Aδ\\A）2- BXy型∈Z \\{0}y^αy^β。（14） 附录D显示了如何使用Cσδ非参数估计拖网函数D，但这里我们仅演示参数化拖网的推断。现在假设拖网函数d由φ参数化，例如，指数拖网（8）中的φ=λ，辅助拖网（9）中的φ=（α，H）和辅助拖网（10）中的φ=（γ，δ，ν）。同时估计b和φ的一种简单方法是通过非线性最小二乘拟合方程（14）除以不同δ的δ。

使用cσδ/δ代替cσδ的原因是为了简化经验市场微观结构对小δ的影响，因此b和φ的非线性最小二乘估计不会被变异函数的线性部分过度支配。备注12：定义样本方差和已实现方差，如T→ ∞,cσδ≈T/δT/δXk=1Pkδ- P（k）-1)δ-PT公司- PT/δ,cσΔδ≈TRV（T/δ）- δ（PT）- P） T≈TRV（T/δ），其中我们在最终近似中去掉了二阶项。因此，从本质上讲，wetry to fit是方差特征图（RV（t/δ）与δ）。从现在起，我们也把cσδ/δ与δ的对比图称为方差特征图。示例7为了检验该矩估计量的有效性，我们对指数拖网参数化的价格过程模型进行了蒙特卡罗模拟研究（8）。在本文的其余部分中，所有数值都是以秒为时间单位报告的。然后我们设置λtrue=0.681和一个非对称的Skellam基，其L′evy测度ν（dy）=ν+δ{1}（dy）+ν-δ{-1} （dy），b，SD=3.5%密度0。34 0.36 0.38 0.40 0.42 0.440 5 10 15 20 25 30ν+，SD=0.8%密度0。0134 0.0136 0.0138 0.0140 0.01420 1000 2000 3000 4000ν-, SD=1%密度0。0126 0.0128 0.0130 0.0132 0.0134 0.01360 500 1500 2500λ，SD=4.4%密度0。60 0.65 0.70 0.75 0.800 2 4 6 8 10 12密度图3:10000指数拖网d（s）=b+（1）价格过程矩估计的蒙特卡罗模拟- b） 基{exp}（ν）和λ}-δ{-1} （dy）。每个直方图中的垂直线表示真实值。蒙特卡罗标准偏差报告在真实值的范围内。代码：力矩推理模型BasedBootstrap。R、 式中，ν+真=0.0138，ν-真=0.0131，B真=0.396。

在72.03至75600（秒）的时间间隔内，所有10000条蒙特卡罗模拟路径均以V=7486（刻度）绘制，其中75600表示市场收盘时间21:00。这里的所有设置都取自2010年3月22日的TNC1006实验数据集，我们将在下一节中研究。（14）的非线性最小二乘拟合是针对0.1秒到60秒之间的δ进行的，其对数刻度上有60个等间距的网格点。然后我们重复θ=（b，ν+，ν）的力矩-, λ） 并在图3中得出这些估计值的直方图。所提出方法的估计值（使用方程（13）和（14））正确地以真值为中心；还要注意，这种方法对于估算ν+和ν特别精确-. 备注13除了基于矩的估计外，我们还可以对我们提出的模型进行最大似然估计，这需要复杂的技术来过滤L'evyprocess L（Bt）。我们目前正朝着这个方向探索粒子方法。5期货数据的实证分析在本节中，我们使用这些基于矩的估计进行实证分析。涵盖两种不同资产的两天交易活动，本文研究了四个数据集：（i）2010年6月交付的十年期美国国债期货合约（TNC1006），时间为2010年3月22日；（ii）2010年6月于2010年3月22日交付的国际货币市场（IMM）欧元-美元外汇（FX）期货合约（EUC1006）；（iii）2010年5月7日TNC1006；（iv）2010年5月7日期间的EUC1006。这些数据集来自BarndorOff-Nielsen、Pollard和Shephard（2012）使用的同一个数据库。第一个交易日是随机选择的，而第二个交易日不仅是美国非农就业数据的发布，而且还经历了欧洲主权债务危机。

这些数据集来自芝加哥商品交易所（CME）的数据源。它们已经使用附录C中描述的程序进行了预处理。从现在起，我们将不再提及每个数据集的交付日期和2010年5.1数据特征这四个数据集中的所有数据集都使用00:00到21:00的所有交易，如图4所示。在如此大的时间尺度下，每个轨迹图看起来都像一个连续的时间扩散过程。然而，如图5所示，如果我们将这些数据集集中到更小的时间尺度（TNC在一小时内，EUC在两分钟内），离散性就变得很重要。特别是，我们可以在图5所示的两个EUC数据集中看到多个刻度跳跃。表1总结了这四个数据集的一些基本特征。两份合同都有更多的合同，日刻度大小（$）价格变化数量价格变化大小（刻度）平均SD。最小最大TNC，03/22 1/64 3，249 0.00646 1.000-1EUC，03/22 0.0001 13，943 0.00337 1.012-2 3北卡罗来纳州，2007年5月1日，64年12月，849日-0.000467 1.035 -13 15EUC，05/07 0.000155379 0.00190 1.077-13 15表1：四个期货数据集的汇总统计。5月7日期间的活动比3月22日期间的活动多，尽管所有可能的跳跃大小的范围可能相差很大，但所有四个数据集的跳跃大小的标准偏差都接近1。我们还绘制了图6中四个数据集的经验瞬时跳跃分布（对数尺度）。这些估计的概率将被用作前一节中确定的力矩估计的^αy。

一般来说，EUC的跳跃比TNC有更多的可变性。116.9 117.1 117.3TNC，03/22交易时间（秒）价格（$）00:00 04:00 08:00 12:00 16:00 20:001.346 1.350 1.354EUC，03/22交易时间（秒）价格（$）00:00 04:00 08:00 12:00 16:00 20:00119.0 119.5 120.0 120.5TNC，05/07交易时间（秒）价格（$）00 04:00 08:00 12:00 16:00 20:001.260 1.265 1.270 1.275 1.280EUC，05/07交易时间（秒）价格（$）00:00 04:00 08:00 12:00 16:00 20:00时间（HH:MM）价格（$）图4:00:00至21:00期间四个数据集的完整跟踪图。x轴是日历时间（HH:MM），而y轴是价格（$）。代码：价格图。R、 此外，我们可以看到，即使是同一份合同，比如TNC，从随机选择的一天（3月22日）到发生重大经济事件的一天（5月7日），跳跃特征也完全不同。在3月22日这样的正常日子里，跨国公司的交易深度如此之大，以至于总是跳一个勾，但对于5月7日这样的高度活跃的一天来说，情况发生了巨大的变化，此时跨国公司的交易行为就像其他多个勾号市场一样。备注14图6的另一个含义是，κ（L）当然是一个小数字。为了看到这一点，我们注意到\\κ（L）=Xy∈Z\\{0}y[ν（y）=Py∈Z\\{0}y^αy- （1）- b） Py公司∈Z\\{0}y^α-y（2- b） b^β=Py∈Z\\{0}y^αyb^β。因此，图6越对称，κ（L）的估计值越小。最后，我们使用采样间隔δ的三个数量级显示了图7中四个数据集的相关图：0.1秒、1秒、10秒和1分钟。

对于每个117。时间[时间[时间[时间[时间[时间[时间[时间[时间[时间[时间]时间[时间[时间]时间[时间[时间]时间[时间]时间[时间]时间[时间]时间[时间[时间]时间[时间]时间[时间]时间[时间]时间[价格]价格（价格）价格（价格）价格（价格）价格）价格（价格）12:46:12:12:12 12:12 12 12:12:12 12 12 12:12 12:12 12 12 12 12:12 12 12 12 12 12:12 12 12 12 12 12 12:12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12:12 12 12 12 12 12 12 12:12 12 12 12 12 12 12 12 12:12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12:12 12 12 12 12 12 12:12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12:12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12:12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 431.27201.27251.2730 1.2735EUC，05/07数据[[i]]$Time[timeMask[[i]]]Price（$）12:46:02 12:46:28 12:46:59 12:47:27 12:47:54时间（HH:MM:SS）Price（$）图5:09:00至10:00期间两个TNC数据集和12:46至12:48期间两个EUC数据集的跟踪图。x轴是日历时间（HH:MM:SS），而y轴是价格（$）。代码：价格图。R.数据集，我们将在价格模型中使用一组参数，用不同的δ来拟合所有相关图。一般来说，这些自相关显著为负，ask增加，而如果δ变得非常大，自相关将下降到大约为零。当然，有强有力的证据表明，经验数据不能用纯L'evy过程很好地描述，该过程总是给出零收益自相关。我们的模型能够描述这些自相关特征（定理3和推论1）。下一小节将对这些经验数据集进行基于动量的估计。●●-1-0.5 0.0 0.5 1.0-0.700-0.696-0.692-0.688TNC，03/22跳跃大小（刻度）跳跃距离$概率●●●●●-2.-1 0 1 2 3-8.-6.-4.-2 UC，03/22跳跃大小（刻度）跳跃区$prob●●● ● ●●●●●●●●●-10-5 0 5 10 15-8.-6.-4.-2TNC，05/07跳跃大小（刻度）跳跃距离$prob●●● ●●●●●●●●●●●●●● ●● ● ● ● ●-10-5 0 5 10 15-10-8.-6.-4.-2EUC，05/07跳跃大小（勾号）跳跃距离$probTickslog-密度图6：四个数据集的经验瞬时跳跃分布的对数直方图。

每个图的x轴表示跳跃的大小，而y轴表示对数标度中的估计概率值。代码：价格图。R、 5.2参数估计我们使用前面描述的方法，对三种不同拖网（8）、（9）和（10）的四个数据集进行分析。估算结果如第25页的表2所示，其中ν+，∞Xy=1ν（y）和ν-,∞Xy=1ν(-y） 分别为正跳跃强度和负跳跃强度。我们在表中观察到，ν+和ν的估计-在不同的拖网选择中相对稳健。表2中H的估计值清楚地表明，使用辅助拖网收集经验数据是不够的。此外，尽管我们用三个参数建立了一个更一般的辅助拖网，但这四个经验数据集几乎可以用辅助参数来描述-仅使用两个参数绘制（为了特别强调市场微观结构效应的拟合，样本方差在δ对数标度的等距网格上计算，其范围如图9.5 10 15 20 25所示-0.25-0.15-0.05 0.05δ=1分钟滞后（k）自相关●●●●●●●●TNC，03/22EUC，03/22TNC，05/07EUC，05/075 10 15 20 25-0.25-0.15-0.05 0.05δ=10秒。滞后（k）自相关●●●●●●●●TNC，03/22EUC，03/22TNC，05/07EUC，05/075 10 15 20 25-0.12-0.08-0.04 0.00δ=1秒。滞后（k）自相关●●●●● ●●●TNC，03/22EUC，03/22TNC，05/07EUC，05/075 10 15 20 25-0.06-0.04-0.02 0.00δ=0.1秒。滞后（k）自相关●●●●●●●●TNC，03/22EUC，03/22TNC，05/07EUC，05/07Lag（k）自相关图7：四个数据集具有不同采样间隔δ=0.1、1、10、60（秒）的相关图。每个图的x轴是滞后k，而y轴表示经验LAUTOCORrelation的值。虚线位于±2/pT/δ处。代码：价格图。R.γ病例→ 第3.6节中提到的sup GIG拖网为0）。

这种现象可能归因于这样一个事实，即反伽马分布在原点附近呈指数衰减，但在多项式上是线性的，这使得它能够捕捉到这些非常不同的时间尺度。备注15在同一表格中，我们还使用基于模型的引导，即插入参数的普通蒙特卡罗模拟，为基于矩的估计提供了标准误差（SE）估计。使用这些估计参数，我们首先显示了图8和图9中每种拖网的Cσδ/δ相对于δ的方差特征图，以及相应的理论曲线（14），其中第二个图使用了δ的对数标度。在每一个图中，我们不仅把limδ→0cσδ/δ=δcσδ（0）=Py∈Z\\{0}y^αy^β位于δ=0的相应位置，但也是来自纯L\'evy过程模型（b=1）的参考水平线，该模型是根据线性格网拖网的斜率计算得出的，03/22 EUC，03/22 TNC，05/07 EUC，05/07Est。是的。是的。是的。参见XPB 0.396 0.014 0.654 0.008 0.574 0.015 0.694 0.007ν+0.014 0.000 0.069 0.000 0.059 0.001 0.282 0.001ν-0.013 0.000 0.068 0.000 0.060 0.001 0.279 0.001λ0.681 0.030 2.470 0.083 3.888 0.218 4.033 0.133sup-Γb 0.283 0.021 0.604 0.012 0.525 0.016 0.649 0.010ν+0.013 0.000 0.067 0.001 0.057 0.001 0.272 0.002ν-0.012 0.000 0.066 0.001 0.058 0.001 0.270 0.002α1.146 0.191 0.311 0.037 0.187 0.038 0.192 0.023H 1.000 0.125 1.000 0.104 1.000 0.139 1.000 0.102sup-GIGb 0.186 0.028 0.528 0.034 0.440 0.029 0.648 0.011ν+0.013 0.000 0.063 0.001 0.054 0.001 0.272 0.002ν-0.011 0.000 0.062 0.001 0.055 0.001 0.269 0.002γ 0.000 0.066 0.000 0.030 0.003 0.028 0.000 0.064δ 0.453 0.049 0.604 0.085 0.583 0.099 1.525 0.209ν -0.604 0.078 -0.453 0.067 -0.332 0.077-0.741 0.170表2：四个数据集在不同拖网下基于力矩的估计。

还显示了使用基于模型的bootstrap对每个参数的矩估计器的标准误差（SE）估计，其中我们绘制的自举路径数为10000。cσδ与δ的变异函数中的直线。这些方差特征图显示了良好的结果，我们特别注意到，使用辅助拖网可以获得非常好的结果；而其他两条较简单的拖网无法以较小的δ到达该区域。当我们查看图9时，这一点变得很明显。为了进一步检验我们的模型拟合，我们还在图10中展示了不同δ的回报率分布的对数直方图以及理论曲线（通过对EOREM 1应用傅里叶逆变换）。对于较大的δ，sup GIG拖网比其他两种拖网（图10中未显示）做得更好，而对于较小的δ，三种拖网之间的差异是有限的。总的来说，我们的模型似乎低估了每个经验跳跃分布的尾部。现在，我们展示了不同δ回报的相关图以及图11中的理论曲线。对于较大的δ，除3月22日的TNC外，经验收益率看起来几乎不相关（从0开始），但sup GIG拖网仍然捕捉到了第一个滞后的这种异常。

随着δ变小，这些负相关变得更加显著；尽管指数拖网和超级拖网（图11中未显示）可以描述自相关的形状，但只有超级拖网可以弥补前几个滞后。●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0 10 20 30 40 50 600.010 0.020 0.030 0.040TNC，03/22德尔塔（秒）西格玛^ 2/三角形●拖网渔船-Γ拖网渔船-GIG拖网纯左旋经验●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●051015200.080.1020.120140.160.18EUC，03/22delta（秒）西格玛^ 2/三角形●拖网渔船-Γ拖网渔船-GIG拖网纯左旋经验●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●05101525300.060.1020.1400.18TNC，05/07delta（秒）西格玛^ 2/三角形●拖网渔船-Γ拖网渔船-GIG拖网纯左旋经验●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●02 4 6 8 100.5 0.6 0.7 0.8EUC，05/07增量（秒）西格玛^ 2/三角形●拖网渔船-Γ拖网渔船-GIG拖网纯左旋经验δ（秒）σδ2^δ图8：四个数据集的方差特征图以及不同拖网的拟合曲线。每个图的x轴是δ（秒），而y轴表示收益率的样本方差除以δ的值。代码：力矩推断v2。0.R.作为总结，sup GIG拖网（或基本上是sup-Γ）-1拖网）在各个方面都比其他两种拖网性能更好。这些实证分析证明了我们提出的模型对期货数据的描述能力。备注16我们现在批评我们提出的模型的不足之处。我们的四个数据集的价格变动计数过程图（未显示）将清楚地显示一个非线性递增模式，该模式不符合方程式（4）所述的线性。这种非线性模式可以归因于众所周知的交易活动的日间时变水平。