退休时破产概率最小化

如果最小化的表达式具有已知的形式，则使用微积分处理查找α（·）。然而，V（·）和VR（·）的闭合形式表达式不太可能。为了克服这个问题，我们将α和RF（t）维离散化为0≤ α≤ 1且RF（t）>0，生成非基于模拟的最优解的数值近似。通过提高离散化精度，用户可以获得任意所需精度的近似。（12） （11c）（11a）（11b）I.沿α和RF（t）维离散定义α{·}和R{·}作为离散精度Pα和PRalongtheα和RF（t）维的集合，分别具有最大RF（t）=RFMax t、 也就是说，α{·}={0，1/Pα，2/Pα，…，1-（1/Pα），1}R{·}={1/PR，2/PR，3/PR，…，RFMax-（1/PR），RFMax}。沿着破产因子维，集合R{·}中的每个值（>1/PR）将作为围绕其构建的abucket的中点。每个RF（t）>0映射到（PR）*RFMax+1个桶中的一个，最后一个桶包含所有破产因子>RFMax+1/（2PR）。（见图4。）图4正破产因子维度的划分（9）和（12）中提出的DPs不太可能呈现封闭式解决方案，因为使用模型市场回报的RVs CDF通常没有封闭函数形式。为了实现这些DPs，我们对α和RF（t）的连续维数进行了分解。离散化α很简单，但离散化RF（t）更为复杂。在这幅图中，我们展示了给定破产因子精度PRandmaximum破产因子RFMax的RF（t）离散化策略。离散化是连续的（没有间隙）。当离散DP实现需要单RF（t）值时，我们将使用桶中点。由于存储桶是连续的（没有间隙），因此该解决方案为allRF（t）>0提供覆盖。

对于（t，i/PR），i=1，2，3，…，（PR）*RFMax，以及对于RF（t）>RFMax+1/（2PR），V（t，RF（t））=1的值函数V（·）和VR（·）。作为PR→∞ 桶体塌陷到中点，沿RF（t）维的离散化接近连续解。我们通过以与桶边界一致的方式离散（t+1，α）+的概率分布来处理条件期望。在时间t，如果RF（t+1）>0，则RF（t+1）落入铲斗i的概率，i=1，2，…，（PR）*RFMax，（PR）*RFMax+1，完全由CDFof（t+1，α）确定。落入任何铲斗的概率精确地为P（RuinC（t+1））=P（RF（t+1）>0）（13a）（13b），这也由（t+1，α）的CDF确定。（9）和（12）中对（t+1，α）+的期望值成为V（t+1，RF（t+1））和VR（t+1，RF（t+1））的值乘以适当的离散条件概率的总和（见附录E）。设Vd（t，RF（t））和αd（t，RF（t））分别表示（9）中V（·）和α（·）的离散化版本。然后，Vd（t，i/PR）=Min∈1-（1–F（t+1，α）（i/PR））*（1-∑PJ*五、T1，j/P*)对于0≤ T≤ TD-1，i=1，2，3，…（PR）*RFMax，w/B.C.的Vd（TD，RF（TD））=0RF（TD）>0，Vd（t，RF（t））=1表示RF（t）>RFMax+1/（2PR）。这里，PJ表示铲斗中的P（RF（t+1）| j（t+1，α）>RF（t）），最佳=αd（t，RF（t））。用户可以选择Pα和PR，在任何编程语言中解决该DP。该代码在（t，RF（t））维度上的网格上运行（见图5）。编码此DP的一个基本（但效率低下）策略是从菱形开始，按照箭头，然后在正方形结束。推导Vd（·）和αd（·）的值，并保留在网格中的每个单元格中。如图所示，（9）中的V（·）显示了t和RF（t）尺寸的结构。给定RF（t），V（·）随t减小，给定t，V（·）随RF（t）增大。

辩护是间接的。假设一个单位的时间过去了，RF（t）并没有改变，但V（t，RF（t））增加了。如前所述，t时的实际账户余额为（$A）*RF（0）/RF（t）。因此，t+1时的实际账户余额等于t时的实际账户余额，但P（破产）增加了。这是一种矛盾。类似地，假设在时间t，RF（t）<RF（t），但V（t，RF（t））>V（t，RF（t））。对于这两个投资组合，这也是自相矛盾的（$a）*RF（0）/RF（t）>（$a）*RF（0）/RF（t）和WR=RF（0）。V（·）和VR（·）是最优的，因为在给定WR的情况下，没有替代策略可以使用相同的股票/债券产生较低的RP（破产）。离散DP是最优策略的数值近似，其实现需要大量的CPU，尤其是对于大Pα和PR。通常，较大的Pα会减少P（破产），而较大的prim会证明近似的准确性。（14） 图5按破产因子网格时间编码的离散化DP（9）中DP的离散化版本在（14）中给出，可直接扩展到（12）中的随机TDmodel。我们可以使用多种策略解决这些DPs，但通常倾向于处理时间较短的解决方案。图中显示了一种基本但效率低下的策略。这里，我们的代码将迭代时间和RF（t）维度，从菱形开始，到正方形结束。图中显示了最终提款时间、Pr破产因子精度和V（·）DP值函数。三、 固定和随机TDI的实现我们使用（14）中的技术对固定TDin（9）的DP进行编码，Pα=1000，PR=5000，RFMax=2.75，ER={0.5%，0.0%}。在这种离散化下，每个时间t为13751个RF（t）bucketsexist。我们将时间单位设置为年，TD=30，得到一个由426281个单元格组成的图5网格，其中填充了（V，α）。每年退休人员都会计算RF（t），将其分配给一个bucket并参考网格。

V（·）的值反映了使用资产配置α在t=tD之前的任何未来时间点的最优（最小）P（破产）。请注意，DPs要求在当前以及所有反映最优原则的未来时间点遵循最优政策。为了便于DP编码，我们必须对股票/债券收益进行分配假设。A、 分配假设在本分析中，我们分别使用标准普尔500指数历史年度总回报、10年期国债总回报和1928-2013年的CPI-U来表示股票回报、债券回报和通货膨胀率。我们隐含地假设，未来股票/债券收益与过去收益源自相同的基本概率分布，并且考虑了N=86年的历史收益。在对通货膨胀进行调整后，我们发现实际总股票收益率和债券收益率来源于基本正态分布的随机样本，其（u，σ）分别为（0.0825,0.2007）和（0.0214,0.0834）。此外，每次t时，这些收益之间存在ρ=0.04387的小正相关。（见附录F。）（9）和（12）中的模型没有对资产类别收益的基本分布作出假设。唯一的要求是，相关股票/债券收益的凸组合的尾部概率是已知的，或者可以在集合α{·}上的BucketBoundary处模拟/近似。一旦选择了pr，桶边界是固定的和已知的，因此可以对尾部概率进行预处理。数组引用将替换代码中的CDF函数调用。此外，桶中点处的CDF调用可以由平均边界CDF概率代替，而不会影响离散DP到其连续对应DP的收敛。在这个实现中，我们假设股票/债券回报率是随时间变化的iid，但不需要相同分布假设。

当均值和方差随时间变化时，用户可以应用预测。此外，我们的模型假设有2个资产类别，但如果可以获得多个资产类别（可能相关）回报的线性组合的CDF，这也可以放宽。可能需要巧妙的编码来保持运行时的合理性，因为优化将超过每个（t，RF（t））的α。B、 固定TD离散化DP结果第三节中描述的固定TD离散化DP实现填充了426281个单元格和46个单元格的网格（V，α），如图6所示。这里，V是未来任何时间点的最小P（破产），α是所需的股票比例。由于RF（0）=WR，时间t=0 Row显示初始WR的最优P（破产）介于3.5%和4.5%之间，以及第一年的最优所需α。值得注意的是，在ER=0.5%的情况下，4%的通货膨胀调整后的WRP在股票中产生的最佳P（破产）为0.065（成功率=93.5%），起始α为41.4%。图6使用费用比率ER=0.5%选择离散实施单元该图显示了426281单元优化解决方案中的46个单元样本，用于（固定）TD=30年，Pα=1000，PR=5000，ER=0.5%。我们使用WR=RF（0）的单元格中的资产配置（α），在时间t=0时开始优化策略。对于标准形式的退休人员，第一次提款发生在时间t=1，最后一次提款发生在时间t=TD=30。每次t时，退休人员都会尝试退出，如果成功更新SF（t），则会咨询网格以获得新的最优值（α）。在时间t，最优P（破产（>t））是V，它随时间变化。三条路径为阴影，表示可能通过网格的路径（即下滑路径）。当我们的投资组合表现良好时，RF（t）下降，我们向左跟踪。当表现不佳时，RF（t）增加，我们向右跟踪。

当TD=30时，第一个和最后一个α决策分别在时间t=0和t=29。第一次和最后一次提款时间分别为t=1和t=30。为了便于说明，图6中有三条路径用阴影表示。如果退休人员最初使用4%的回报率，则回报率RF（t）会随着时间的推移而降低，退休人员将沿着一条可能与路径1类似的路径前进。稳定的回报率接近于wr，导致RF（t）恒定，退休人员的路径可能类似于路径2。不利回报增加RF（t），退休人员可以沿着路径3向右跟踪。如路径1和2所示，P（破产）在有利/稳定市场中下降，α下降。因此，路径1和路径2大致遵循TDfunds中使用的下滑路径策略，该策略一直延续到退休日期。然而，路径3表明，在不利市场中，最优股权配置大致保持不变或增加。这与研究人员的发现是一致的，他们警告说，退休早期的回报序列很差。SeeCohen等人（2010年），Pfau和Kitches（2014年）。请注意，当RF（0）=0.040时，第1年通货膨胀/费用调整回报率为1.799%将导致四舍五入RF（1）=0.041。图7显示了ER=0.0%的结果。使用4%初始WRis0的最优P（破产）。043（成功率=95.7%），股票的起始α为36.8%。有利市场中股票减少，不利市场中股票增加的相同模式也成立。95。7%的成功率适用于任何同意在所有时间点采取最佳行动的退休人员。图7使用无费用比率（ER=0.0%）选择离散的实施单元此图显示的信息与图6相同，但它适用于ER=0.0%的解决方案。

在无支出比率的情况下，时间t=0的破产概率（V）较低，资产配置（α）也较低，这是意料之中的。图6和图7中的网格适用于使用任何初始WR的所有退休人员。如果两个退休人员在时间t开始时间t=0，且范围不同，在时间t结束时RF（t）相等，则他们的回报以及（V，α）在退休的剩余时间将相同。这也意味着他们将在交叉点后通过网格绘制出正确的同一路线，而wr在分析中不起作用。这一结论背后的直觉是，退休人员的回报率较高，必须经历可避免的回报，并在交叉点之前绘制一条向左的路径。在绘制这条向左的道路的同时，退休人员积累了足够的财富来支持更大规模的提款。然而，我们在此不评估此类交叉口发生的可能性。B、 1解的数值精度我们通过将PR5000加倍到10000来评估数值近似的精度。这种离散化在每次t时创建27501个桶，在图5grid中创建852531个总单元。该溶液与图7（ER=0.0%）具有直接可比性。较大的PR会适度改变P（破产）和α，但从实际意义上讲，PR=5000的结果比TD=30时的结果更合适。（见表I.）表I PR=5000 vs.PR=10000，ER=0.0%时的V和α比较该表比较了PR=5000 vs.PR=10000的模型在t=0时的最小破产概率Vd（0，RF（0））和最佳资产配置αd（0，RF（0）），使用3个提取率（WR）。这里，PRis-theRF（t）离散化精度。当我们离散（9）和（12）中的DPs时，pr值越高，数值近似越精确，但也会导致更长的运行时间。我们表明，将PR5000翻一番到10000只会获得很少的收益。