快变长记忆随机波动率下的期权定价

接下来，我们将从校准的角度总结本文的主要结果，即隐含波动率曲面在由具有长期相关性的快速过程建模的随机波动率背景下的形式。我们将首先总结建模的一些方面。我们考虑一个连续时间随机波动率模型，它是高斯长程过程的光滑函数。明确地，我们将分数随机波动率（fSV）建模为分数O rnstein–Uhlenbeck（fOU）过程的光滑函数。fOU过程是具有分形长程相关结构的平稳过程的经典模型。该过程可以用fBm过程的积分表示。fBm过程的分布用赫斯特指数H表示∈ （0，1）。对于所有H′＜H的情况，fBm过程是指数H′的局部H¨older连续，这一性质由fOU过程继承。OFFBM流程WHt在这方面也很相似WHαt，t∈ R距离=αHWHt，t∈ R对于所有α>0。（1.3）fOU过程在小于fOU过程平均回复时间的时间尺度上近似继承了自相似性，我们用下面的ε表示。在这个意义上，我们可以将fOU过程称为短时间sca les上的多尺度过程。案例H∈ （1/2，1）给出了一个长程的fOU过程。该机制对应于一个持续的过程，其中fBm的连续增量正相关。随着H值的增加，相关fBm过程的连续增量具有更强的正相关性，从而使过程更加平滑，其自协方差函数衰减缓慢。有关fBm和fOU流程的更多详细信息，请参阅读者toBiagini et al.（2008）；Coutin（2007）；Doukhan等人。

（2003年）；Mandelbrot和Van Ness（1968）；Cheridito等人（2003年）；Kaarakka和Salminen（2011年）。波动驱动过程是由zεt=ε定义的ε-标度fOU过程-HZt公司-∞E-T-sεdWHs。（1.4）这是一个零均值、平稳的高斯过程，显示出Hur st指数H的长期相关性∈ （1/2，1）。需要注意的是，这是一个“自然时间尺度”为ε的过程，在这个意义上，平均再转化时间或过程达到平衡分布之前的时间为ε级。同样重要的是要注意，c相关性的衰减（在ε时间尺度上）是多项式而不是指数衰减，如标准的Ornstein–Uhlenbeck过程。明确地说，时间t和t+t衰减为(t/ε）2H-2，过程方差与ε无关。在本文中，我们考虑了一个随机波动率模型，它是具有Hur-st系数H的快速变化fOU过程的光滑函数∈ （1/2，1）。由σεt=F（Zεt），（1.5）给出，其中F是一个光滑的、正的、一对一有界函数，具有bounded导数，并具有等式（3.5）中给出的附加技术条件。σε过程反映了fOU Zεt的长期相关性。第5节中的主要结果是对欧洲看涨期权的隐含波动率的一种表示，即行使K、到期日t和当前时间t，它=EhT- tZTt（σεs）dsFti1/2+σaFτ′τH-1/2+τ′τH-3/2日志KXt公司. （1.6）此处af=ε1-HeσρhFF′i′τH3/2σΓ（H+3/2），（1.7）τ=T-t是成熟时间，ρ是驱动fBm的布朗运动与驱动下伏的布朗运动之间的相关性，τ=σ（1.8）是特征扩散时间。

此外，我们还有σ=F=ZRF（σouz）p（z）dz，eσ=hF i=ZRF（σouz）p（z）dz，hF F′i=ZRF（σouz）F′（σouz）p（z）dz，其中σou=1/（2 sin（πH）），p（z）是标准正态分布的概率密度函数（pdf）。换句话说，我们形成了关于fOU过程Zεt不变分布的平均波动率函数的矩。式（1.6）中的第一项实际上是当前条件下到期前的预期有效波动率。第二项是非零偏态项，仅当波动率过程和低估相关时，ρ才为非零。请注意，分数项结构的指数取决于赫斯特指数，赫斯特指数决定了波动驱动过程Zεt的平滑度和去相关率。过程越平滑，长期至到期的隐含波动率越大。在这里呈现的快速波动情况下，波动性波动较大且较快，隐含波动性在短期到期制度下表现出来。事实上，短期到期意味着到期时间小于分化时间（1.8），但大于平均逆转时间ε。因此，短期到期涉及短期期限内的巨大波动性波动，导致货币性修正，从而爆发并支配纯到期期限。在到期时间较短或较长的情况下，条件预期有效波动率的贡献较小，我们有较短的到期时间和K 6=XtIt~σaFhτ′τH-3/2日志KXt公司i、 （1.9）并长期使用~σaFτ′τH-1/2。（1.10）我们在此注意到，公式（1.6）中偏斜度ter m的分数标度恰好是对应于inGarnier和Solna（2015）给出的长时间到期和小波动率波动情况的分数标度。