基于离散化的次临界Heston模型参数估计

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英文标题：
《Parameter estimation for the subcritical Heston model based on discrete
  time observations》
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作者：
Matyas Barczy, Gyula Pap, Tamas T. Szabo
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We study asymptotic properties of some (essentially conditional least squares) parameter estimators for the subcritical Heston model based on discrete time observations derived from conditional least squares estimators of some modified parameters.
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中文摘要：
我们研究了基于离散时间观测的次临界Heston模型的一些（本质上是条件最小二乘）参数估计的渐近性质，这些离散时间观测是由一些修正参数的条件最小二乘估计导出的。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> Parameter_estimation_for_the_subcritical_Heston_model_based_on_discrete_time_obs.pdf (239.52 KB)

2022-5-22 17:32:44 上传

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关键词：参数估计 离散化 sto Est observations

基于离散时间观测的次临界Heston模型的参数估计*,, 丘疹脑回**和Tam\'as T.Szab\'o*** 宾夕法尼亚州德布勒森大学信息学院。匈牙利德布勒岑市H-4010号12楼。**匈牙利塞格德H–6720 Szeged Aradi v'ertan'uk tere 1，塞格德大学Bolyai研究所。电子邮件：barczy。matyas@inf.unideb.hu（M.Barczy），papgy@math.u-塞格德。胡（G.Pap），tszabo@math.uszeged.hu（T.T.Szab\'o）。 通讯作者。摘要我们研究了亚临界Heston模型中一些（本质上是条件最小二乘）参数估计量的渐近性质，这些估计量是基于一些修正参数的条件最小二乘估计量得到的具体时间观测值。1简介赫斯顿模型已广泛应用于金融数学中，因为人们可以很好地将其与实际金融数据进行拟合，并且从可计算性的角度来看，赫斯顿模型也很容易处理。因此，赫斯顿模型的参数估计是一项重要任务。本文研究了赫斯顿模型（dYt=（a- bYt）dt+σ√YtdWt，dXt=（α- βYt）dt+σ√年初至今 dWt+p1- dBt公司,t>0，（1.1），其中a>0，b，α，β∈ R、 σ>0，σ>0， ∈ (-1，1）和（Wt，Bt）t>0是一个二维标准维纳过程，参见Heston【7】。我们只研究所谓的次临界情况，即当b>0时，请参见定义2.3，我们引入了一些基于离散时间观测的（a，b，α，β）参数估计量，并从一些已知的非随机初值（Y，X）开始过程（Y，X）的某些修改参数的条件最小二乘估计量（CLSE）中得出∈（0，∞) ×R.我们不估计参数σ、σ和, 由于这些参数在原理上是可以确定的，因此至少可以使用任意短的连续时间观测（Xt）t来确定（而不是估计）∈X的[0，T]，其中T>0，参见例如Barczy和Pap[1，备注2.6]。

在Overb-eckand-Ryd'en【15，定理3.2和3.3】中，可以根据过程Y的离散时间观测找到σ的强一致渐近正态估计量，对于σ的另一个估计量，请参见Dokuchaev【5】。最后，结果表明，为了计算（a，b，α，β）的估计量，不需要知道参数σ，σ和. 关于Yand X在金融数学中的解释，请参见，例如Hurn等人【8，第4节】。2010年数学学科分类：91G70、60H10、62F12、60F05。关键词和短语：Heston mo del，条件最小二乘估计。这项研究得到了欧盟和匈牙利州的支持，由欧洲社会基金会在T\'AMOP-4.2.4框架内共同资助。A/2-11/1-2012-0001国家卓越计划。Cox-Ingersoll-Ross（CIR）模型考虑了CLS估计，该模型满足（1.1）的第一个方程。对于CIR模型，Overbeck和Ryd'en【15】推导了CLSE，并给出了它们的症状属性，但他们没有研究它们存在的条件。具体而言，Overbeck和Ryd’en【15】中的定理3.1和3.3对应于我们的定理3.4，但它们也估计了波动系数σ，我们假设已知。Li和Ma【14】将研究扩展到由α稳定过程而非布朗运动驱动的所谓稳定CIR过程。有关Heston模型参数估计的更完整概述，请参见Barczy和Pap中的简介【1】。可以使用与Ben Alaya和K ebaier【3，第4节】中相同的程序计算Barczy和Pap【1】中推导的m最大似然估计的离散化版本，该程序适用于高频离散时间观测。

然而，这与目前的调查路线基本不同，因此我们将不再进一步讨论。本文的组织结构如下。在第二节中，我们回顾了关于（1.1）的唯一强解存在性的一些重要结果，并研究了它的渐近性质。在次临界情况下，即当b>0时，我们调用Cox等人[4]关于平稳分布唯一存在性的结果，并略微改进Li和Ma[14]以及Jin等人[10，推论2.7]和[11，推论5.9和6.4]关于CIR过程（Yt）t>0遍历性的结果，参见定理2.4。我们还回顾了s q uare可积鞅的一些收敛结果。在第3节中，我们介绍了基于离散时间观测的变换参数向量的CLSE，并推导了估计的渐近性质，即强相合性和渐近正态性，见定理3.2。此后，我们将这些结果与所谓的deltamethod结合起来，以获得原始参数估计量的相同渐近性质，参见定理3.4。参数转换的目的是将CLS方法中的最小化问题简化为线性问题，因为我们的目标函数通过复杂函数依赖于原始参数。定理3.2和3中极限正态分布的协方差矩阵。4也取决于未知参数a、b和β（但令人惊讶的是，不取决于α）。它们还取决于波动率参数σ、σ和ρ，但我们将再次假设这些参数为beknown。

由于所考虑的a、b和β的估计量被证明是强一致的，使用随机归一化，可以推导出定理3.2和3.4的对应项，即极限分布是四维标准正态分布（具有单位矩阵Iascovariance矩阵）。2预备假设N、Z+、R、R+、R++和R--分别表示正整数、非负整数、实数、非负实数、正实数和负实数的集合。对于x，y∈ R、 我们将用e表示符号x∧ y：=最小值（x，y）。通过kxk和kAk，我们得到了向量x的欧氏范数∈ Rd与矩阵a的诱导矩阵范数∈ 分别为Rd×d。按Id∈ Rd×d，表示d×d单位矩阵。R上的Borelσ-代数用B（R）表示。允许Ohm, F、 P是一个配备了增强过滤（Ft）t的概率空间∈R+对应于（Wt，Bt）t∈R+和给定的初始值（η，ζ）与（Wt，Bt）t无关∈R+这样P（η∈ R+=1，按照卡拉茨和什里夫【12，第5.2节】的规定建造。注意（Ft）t∈R+满足通常条件，即过滤（Ft）t∈R+是右连续的，F包含F中的所有P-空集。下一个命题是关于SDE（1.1）强解的存在唯一性，参见Barczy和Pap[1，命题2.1]。2.1命题。设（η，ζ）为（Wt，Bt）t的随机向量指数∈R+满足P（η∈R+=1。那么对于所有a∈ R++，b，α，β∈ R、 σ，σ∈ R++，和 ∈ (-1，1），有一个（路径）唯一的强解（Yt，Xt）t∈SDE（1.1）的R+，使得P（（Y，X）=（η，ζ））=1和P（Yt∈ R+表示所有t∈ R+=1。此外，对于所有s，t∈ R+带s 6 t，（Yt=e-b（t-s） Ys+aRtse-b（t-u） du+σRtse-b（t-u）√YudWu，Xt=Xs+Rts（α- βYu）du+σRts√是的(Wu+p1- Bu）。（2.1）接下来，我们将给出关于（Yt，Xt）t的第一个时刻的结果∈R+。

如需证明，请参见Barczyand Pap【1，命题2.2】以及Karatzas和Shreve【12】中的（2.1）和命题3.2.10。2.2命题。Let（Yt，Xt）t∈R＋是满足P（Y）的SDE（1.1）的唯一强解∈R+=1和E（Y）<∞, E（| X |））<∞. 那么对于所有s，t∈ 对于s 6 t，我们有e（Yt | Fs）=e-b（t-s） Ys+Azze-b（t-u） du，（2.2）E（Xt | Fs）=Xs+Zts（α- βE（Yu | Fs））du（2.3）=Xs+α（t- s）- βYsZtse-b（u-s） 杜邦- aβZts祖泽语-b（u-v） dvdu，因此“E（Yt）E（Xt）#=”E-英国电信-βRte-布都1#“E（Y）E（X）+”Rte-budu 0-βRt后悔-bvdv公司du t#“aα#。因此，如果b∈ R++，然后限制→∞E（Yt）=ab，极限→∞T-1E（Xt）=α-βab，如果b=0，则限制→∞T-1E（Yt）=a，极限→∞T-2E（Xt）=-βa，如果b∈ R--, thenlimt公司→∞ebtE（Yt）=E（Y）-ab，极限→∞ebtE（Xt）=βbE（Y）-βab.基于期望（E（Yt），E（Xt））作为t的渐近行为→ ∞, 我们介绍了SDE（1.1）2.3定义给出的赫斯顿模型的分类。Let（Yt，Xt）t∈R＋是满足P（Y）的SDE（1.1）的唯一强解∈R+=1。我们称之为（Yt，Xt）t∈R+亚临界、临界或超临界，如果b∈ R++，b=0或b∈ R--,分别地在sequelP中-→,L-→ 安达。s-→ 将分别表示概率收敛、分布收敛和几乎肯定收敛。下面的结果说明了唯一平稳分布的存在性和过程（Yt）t的遍历性∈在亚临界情况下，由（1.1）中的第一个方程给出的R+，参见，例如，Cox等人【4，方程（20）】，L i和Ma【14，定理2.6】，Barczyet等人【2】中的定理3.1，α=2和Th eorem 4.1，或Jin等人【11，推论5.9和6.4】。只有下列定理2.4中的（2.7）可以被视为对现有结果的轻微改进。2.4 orem。设a，b，σ∈ R++。Let（Yt）t∈R+是SDE（1.1）满足P（Y）的第一个方程的唯一强解∈ R+=1。

然后（i）YtL-→ Y∞作为t→ ∞, 和Y的分布∞再见（e-λY∞) =1+σ2bλ-2a/σ，λ∈ R+，（2.4），即Y∞具有参数2a/σ和2b/σ的γ分布，henceE（Y∞) =ab，E（Y∞) =（2a+σ）a2b，E（Y∞) =（2a+σ）（a+σ）a2b。（2.5）（ii）假设随机初值yh与Y的分布相同∞, 工艺（Yt）t∈R+是严格固定的。（iii）对于所有Borel可测函数f:R→ R使得E（| f（Y∞)|) < ∞, 我们有（2.6）TZTf（Ys）dsa。s-→ E（f（Y∞)) 作为T→ ∞,（2.7）nn-1Xi=0f（Yi）a.s。-→ E（f（Y∞)) 作为n→ ∞.证据根据定理之前给出的参考文献，我们只需要显示（2.7）。根据Jin等人[10]的推论2.7，尾部σ-fieldt∈（Yt）t的R+σ（Ys，s>t）∈对于任何初始分布，R+都是微不足道的，即所讨论的尾部σ-场由概率为0或1的事件组成，对于R+上的任何初始分布。但由于（Yt）t的尾σ场∈R+比（Yi）i更丰富∈Z+，（Yi）i的尾σ-场∈对于任何初始分布，Z+也是微不足道的。表示Yand Y的分布∞通过ν和u，我们分别引入分布η：=（u+ν）/2。让我们介绍以下过程：（Zt）t∈R+，这是（1.1）中第一个方程的路径唯一强解，初始条件Z=ζ，而eζ具有分布u；和（Ut）t∈R+，这是初始条件为U=ξ的sameSDE的路径唯一stron g解，其中ξ具有分布η。我们在通常的设置中使用Birkhoff的er-godic定理（例如，见Dudley[6]中的定理8.4.1）：概率空间为（RZ+，B（RZ+），L（（Zi）i∈Z+），其中L（（Zi）i∈Z+）表示（Zi）i的分布∈Z+，保测度变换T是移位算子，即T（（xi）i∈Z+：=（xi+1）i∈Z+表示（xi）i∈Z+∈ RZ+（度量值保持性遵循fr om（ii））。

所有不变集ofT都包含在坐标映射πi，i的尾部σ-字段中∈ Z+，在RZ+，因为对于任意不变集A，我们有∈ σ（π，π，…），但作为Tk（A）=A代表所有k∈ N、 A也是真的∈ σ（πk，πk+1，…）对于所有k∈ N、 这意味着T是遍历的，因为尾部σ-场是平凡的。因此，我们可以将遍历定理应用于函数g:RZ+→ R、 g（（xi）i∈Z+：=f（x），（xi）i∈Z+∈ RZ+，其中f在（iii）中给出，以获得nn-1Xi=0f（xi）→ZR+f（x）u（dx）as n→ ∞几乎永远的y（xi）i∈Z+∈ RZ+关于度量L（（Zi）i∈Z+，因此为（2.8）nn-1Xi=0f（Zi）a.s。-→ E（f（Y∞)) 作为n→ ∞,因为很明显，Y的分布∞不取决于初始分布。我们介绍了以下事件，这显然是（Zi）i的尾部事件∈Z+，概率为1乘以（2.8）：CZ：=（ω∈ Ohm :nn型-1Xi=0f（Zi（ω））→ E（f（Y∞)) 作为n→ ∞).青色和CU事件以类似方式定义，显然是（Yi）i的尾部事件∈Z+和（Ui）i∈分别为Z+。显然，P（CU）=Z∞P（CU | U=x）dη（x）=Z∞P（CU | U=x）du（x）+Z∞P（CU | U=x）dν（x）>Z∞P（CU | U=x）du（x）=Z∞P（CZ | Z=x）du（x）=P（CZ）=。这里我们使用P（CU | U=x）=P（CZ | Z=x）u-a.e.x∈ R+，因为双方的条件概率仅取决于（1.1）的Firstsde给出的CI R过程的转移概率核，而与初始分布无关。此外，我们注意到P（CU | U=x）仅定义为η-a.e.x∈ R+，但根据η的定义，这意味着u-a.e.x∈ R+，和ν-a.e.x∈ R+，类似地，P（CZ | Z=x）定义为u-a.e.x∈ R+，所以我们的等式是有效的。因此，我们有P（CU）>。但由于CUI是（Ui）i的尾部事件∈Z+，其概率必须为0或1（因为尾σ-场很小），因此P（CU）=1。

Hence2=Z∞P（CU | U=x）du（x）+Z∞P（CU | U=x）dν（x）6u（[0，∞)) + ν（[0，∞)) = 2，屈服于thatZ∞P（CU | U=x）du（x）=Z∞P（CU | U=x）dν（x）=1，第二个等式正好是（2.7），我们注意到，通过与上面相同的参数，Z∞P（CU | U=x）dν（x）=Z∞P（CY | Y=x）dν（x）=P（CY）。有了这一点，我们的证据就完整了。在下面的内容中，我们回顾了（局部）鞅的一些极限定理。我们稍后将使用这些极限定理来研究（a，b，α，β）的（条件）最小二乘估计的渐近性质。首先，我们回顾了离散时间平方可积鞅的强大数定律。2.5 orem。（Shiryaev【16，第七章，第5节，定理4】）LetOhm, F、 （Fn）n∈N、 P是一个过滤的概率空间。Let（Mn）n∈关于过滤（Fn）n的平方可积鞅∈n确保P（M=0）=1和P（limn→∞hMin=∞) = 1，其中（hMin）n∈Ndenotes M.thennhmina的可预测二次变化过程。s-→ 0作为n→ ∞.接下来，我们回顾一个离散时间的鞅中心极限定理。2.6 orem。（Jacod和Shiryaev【9，第八章，定理3.33】）设{（Mn，k，Fn，k）：k=0，1，…，kn}n∈Nbe一组Mn为0的d维平方可积鞅序列，存在一些对称的正半有限非随机矩阵d∈ Rd×dsuchthatknXk=1E（（Mn，k- 锰，钾-1） （Mn，k- 锰，钾-（1）|Fn，k-1） P-→ D为n→ ∞,对于所有ε∈ R++，knXk=1E（kMn，k- 锰，钾-1k{kMn，k-锰，钾-1k>ε}| Fn，k-1） P-→ 0作为n→ ∞.（2.9）然后KNXK=1（Mn，k- 锰，钾-1） =Mn，knL-→ Nd（0，D）为n→ ∞,其中，Nd（0，D）表示具有平均向量0和协方差矩阵D的D维正态分布。在所有剩余部分中，我们将考虑具有非随机初值（y，x）的亚临界Heston模型（1.1）∈ R+×R。

请注意，强化过滤（Ft）t∈R+对应于（Wt，Bt）t∈R+和初始值（y，x）∈ 实际上，R+×R并不依赖于（y，x）。3基于离散时间观测的CLSE使用（2.2）和（2.3），通过简单的计算，对于所有∈ N、 （3.1）E“YiXi#金融机构-1=“e-B-βRe-布都1#“易-1十一-1#+“Re-budu 0-βR后悔-bvdv公司du 1#“aα#。使用σ（X，Y，…，Xi-1，易-（1） 金融机构-1，我∈ N、 根据条件期望的塔式规则，wehaveE“YiXi#σ（X，Y，…，Xi-1，易-1） ！=EE“YiXi”#金融机构-1.σ（X，Y，…，Xi-1，易-1） 哦=“e-B-βRe-布都1#“易-1十一-1#+“Re-budu 0-βR后悔-bvdv公司du 1#“aα，i∈ N、 因此，基于离散时间观测值（Yi，Xi）i得出（a，b，α，β）的CL SE∈{1，…，n}可通过求解（a，b，α，β）中的极值问题m获得∈RnXi=1（易- dYi公司-1.- c） +（十一）- xi-1.- γ- δYi-（1）,（3.2）其中d：=d（b）：=e-b、 c：=c（a，b）：=aZe-budu，δ：=δ（b，β）：=-βZe-budu，γ：=γ（a，b，α，β）：=α- aβZZue公司-bvdv公司杜。（3.3）首先，我们通过最小化（3.2）右侧sid e上关于（c，d，γ，δ）的su m来确定（c，d，γ，δ）的CLSE∈ R、 我们得到bcCLSEnbdCLSEnbγCLSEnbδCLSEn=我“nPni=1Yi-1Pni=1Yi-1Pni=1Yi-1个#-1.Pni=1YiPni=1YiYi-1Xn- xPni=1（Xi- xi-1） 易-1.（3.4）前提是nPni=1Yi-1> （Pni=1Yi-1） ，其中 表示矩阵的Kronecker积。