证券组合市场风险的有效随机拟蒙特卡罗方法

为了提高IS上RQMC的效率，应降低问题的有效维度，以便大多数方差可以仅通过少量随机输入来解释。然后，这些随机输入可以通过随机低差异点的第一个元素生成。这背后的基本原理是，低差异点集的第一个低维投影具有更好的均匀性（见Ca-flisch，1998）。我们对随机向量Z应用线性变换，以便第一个元素Z对应于Sak等人（2010）给出的IS位移u。线性变换可通过首先将Z乘以正交矩阵V来应用∈ RD×D，其FirstColumn等于v=u/kuk。其余列可任意选择。这种转换增加了估计量方差的影响。然后，我们使用随机低差异点的前两个元素分别生成Y和Z。在线性变换的应用中，AIVE RQMC算法复制的唯一变化是使用T=λVZpY/ν=AZpY/ν计算T向量，（5）其中A=λV.4.2 RQMC在重要性采样上上述线性变换大大降低了被积函数的有效维数。但是，如前所述，由指示函数1{L>τ}引起的被积函数的非光滑性仍然对RQMC的性能有很大影响。在较大的阈值τ下，大多数朴素模拟算法的复制都会为估计量1{L>τ}返回零值。这导致了朴素蒙特卡罗被积函数的大幅度跳跃。图1a说明了第5节数值示例中原始被积函数L1{L>τ}的非光滑性问题。我们使用由两支带有tmarginals的股票组成的投资组合（有关参数值，请参见第5节）。

在这种情况下，被积函数L1{L>τ}是[0，1]上的函数。事实上，这种被积函数无法在三维空间中进行说明。然而，出于演示目的，可以将zt fix为零（U=0.5）由于Zon的影响，线性变换后被积函数大大减小。图1b说明了重要抽样密度下的蒙特卡罗被积函数。图1b和图1a之间的主要区别是大部分域的跳线尺寸减小。我们通过将被积函数L1{L>τ}乘以IS中的相似比f（Z，Y）/~f（Z，Y）来实现这一点。在IS的RQMC实现中，我们简单地用kuk移位zk，并在IS尺度参数θ下生成Y。然后，我们使用（5）将线性变换应用于Z。最后，响应1{L>τ}和L1{L>τ}乘以（Z，Y）~f（Z，Y）=expkuk- Zkuk+（2- θ） Y2θ+ν对数θ.（a） 原始蒙特卡罗被积函数（b）是被积函数图1:L1{L>τ}的蒙特卡罗被积函数[0，1）.4.3图1b中观察到的分层重要性抽样，重要性抽样减少了大部分被积函数域上跳跃的大小。然而，如果我们关注UAK值和UTAKE值都接近一的区域，我们会看到较大的跳跃。这些区域对IS估计量的方差贡献是显著的。为了解决这个问题，可以分配更多的复制通过分层，将其转移到这些地区。在前面的小节中，我们已经解释了如何将RQMC与线性变换和IS相结合。本小节描述了如何将分层与前面讨论的技术相结合。在SIS算法的RQMC版本中，我们在每个层中使用相同的低差异点序列。为了保证跨阶层的独立性，我们对每个阶层使用不同的随机移位。

在AOA算法的整个迭代过程中，这些随机移位保持不变。当算法决定在astratum中分配更多复制时，我们从之前迭代中未使用的低差异序列的第一个点开始。此外，样本分配决策基于第3.2节所述的最优分配分数。随机拟蒙特卡罗SIS估计的误差界可以使用算法的M个外部复制来计算。5数值结果为了说明随机拟蒙特卡罗方法的有效性，我们在R中实现了所有算法（R Core Team，2015）。为了生成随机低离散点集，我们使用Bratley和Fox（1988）的实现，使用R包“randtoolbox”（Christophe和Petr，2015）使用随机移动的Sobol网络。在我们的实验中，我们使用大小为D等于2、5和10的股票投资组合。对于边际分布的选择，我们使用广义双曲线和t分布，因为它们似乎是股票对数收益的最佳拟合分布。对于模型参数，我们使用Halulu（2012）中报告的纽约证券交易所数据的拟合值（股票列表见第65页，t-copula参数见表E.1、E.6、E.7和E.8，边际参数见表6.4和6.5）。我们使用表1中的t和广义双曲线（GH）边缘给出了损失概率和条件超额估计的naive（EBNV）、IS（EBIS）和SIS（EBSIS）MCsimulations和naive（EBQNV）、线性变换（EBQLT）和IS（EBQIS）RQMCsimulations的95%误差界。对于不同的参数设置，还提供了损失概率为0.05和0.001的阈值（τ）。

对于每个参数设置，第一行给出损失概率估计的误差范围，第二行给出条件超额估计的误差范围。请注意，损失概率和条件超额模拟是分别执行的。在这些实验中，naive andIS模拟使用的复制总数为n=10，约为n≈ 10用于SIS模拟。我们在四次迭代中终止SIS，依次使用每个迭代中总样本量的大约10%、20%、30%和40%。RQMC模拟中的外部复制数被选为M=40，以给出估计的可靠误差界。因此，我们不需要=n/M=2500个内部复制。在这种情况下，分层重要性抽样的随机准蒙特卡罗估计不能提供可靠的误差范围，因为CEN=2500不足以满足分层估计的渐近正态性。因此，我们不提供分层重要性抽样的随机拟蒙特卡罗版本的误差界。