基于宏观经济的无套利通货膨胀证券估值

短期名义利率ni（由中央银行设定）是在ti时商定的利率-1并在ti时通过ti时余额的银行账户支付-1、用于付款折扣。短期名义利率过程{ni}i=0,1，。。。是一个可预见的过程，即短期名义利率niis Fi-1-可测量。2、银行账户Bi=Qij=1（1+τjnj），其中B=1。这里τi表示时间ti之间的年分数-1和ti。因为利率是NIFI-1-可测量，银行账户过程{Bi}i=0,1，。。。是一个可以预见的过程。时间ti-1已知时间发生的现金流：这就是为什么银行账户通常被称为无风险资产的原因。3、前两个属性隐含着负短期名义利率的下限：在这个模型中，利率可以是负的（就像2012年一样，例如2年期的德国国债，欧洲中央银行在2014年将存款利率设定为-0.1%），但不能低于-100%，否则名义银行账户将为负值，这是不可能的。理性的代理人不会把钱放进这样一个将资产变成负债的账户。贴现债券P（ti，tN）系统，在时间tN支付一单位货币，并具有以下特性：oP（ti，tN）=EQihQNj=i+1（1+τjnj）-1ioP（ti，ti）=1，ioP（ti，tN）>0，我≤ NolimN→+∞P（ti，tN）=0oP（ti，ti+1）=Bi/Bi+1。在这里，我们假设中央银行以商业银行支付给货币市场账户持有人的相同利率向商业银行贷款。我们正在做一个简化的假设，即央行按照货币市场账户中应计利息的相同时间尺度来审查其利率。这一假设让人们在定价模型中对中央政策进行了相当现实的描述。5.

季节性调整价格指数过程{Ii}i=0,1，。。。这描述了价格水平的演变。零息票流动指数掉期（ZCII）系统，使得流动段支付（Ii+M-1/2）-1固定支腿支付（1+XM）Mτi-1、两项付款均在到期时发生。对于所有到期日tM>ti，夏尔引用了时间T。在这种模型中，通货膨胀支付是滞后的，因为它发生在现实中：事实上，价格指数会受到修订，实际上，ZCII支付的通货膨胀滞后一个时期。指数挂钩的零息债券PI（ti，tM）系统，到期时支付的现金相当于价格指数IM-1、这些债券的定价与前一点所述的零息票流动掉期一致。在这种模型中，通货膨胀付款与实际情况一样存在时滞：事实上，价格指数可能会进行修订，实际上，通货膨胀债券在一个时期内支付。这些债券在时间t对所有到期时间t M>t I进行报价。我们忽视了通常交易的通货膨胀债券所带来的通货膨胀。宏观经济变量。通货膨胀率由pi=（（Ii/Ii）确定-（1）- 1） /τi。这是价格指数的年度百分比增长率。产出缺口xi定义为经济的实际和潜在对数线性增长率之间的差异：xi=^yi- ^yfi。为了全面定义产出缺口，我们引入了国内生产总值（GDP）Yi，也称为产出，它是经济体在两个时期之间生产的所有最终产品和服务的价值-1和ti。GDP年化增长率定义为：yi=（（yi/yi-（1）- 1） /τi.假设增长率yi具有长期平衡水平y，即e（yi）→ 是的，就像我一样→ +∞. 变量^yi定义为GDP增长率yi与其长期均衡水平y之间的百分比偏差：^yi=（（yi/’y）- 1） 。

经济学家通常将其称为对数线性化的GDP增长率，即^yi=（（yi/(R)y）- （1）~=对数（yi/y）。如果我们假设经济受到一些“不效率”的影响，我们可以引入潜在的GDPYfi，这可以定义为在没有不效率的情况下产生的GDP：直觉上，这些不效率表明实际GDP Yi未达到“充分就业”GDP Yfi。因此，我们同样推导出变量yfi、\'yfi和^yfi，它们完成了产出差距xi的定义。我们假设过程{Yi}i=0,1，。。。，{Yfi}i=0,1，。。。，和{Ii}i=0,1，。。。因此也调整了过程{xi}i=0,1，。。。和{pi}i=0,1，。。。也进行了调整。为了完成形式化，需要假设模型中涉及的所有随机过程在某种意义上收敛到一个有限的平衡水平，而这个平衡水平在时间上趋于一致。宏观经济模型中通常不会对这种趋同做出进一步规定。经济假设。我们列出了微观经济和宏观经济假设：1。经济是封闭的，即既没有汇率，也没有外国市场。所有市场都处于均衡状态，即所有商品和服务市场的需求与供应相匹配。经济是货币经济，即没有易货。在跨期预算约束下，代表消费者的效用函数最大化。代表性消费者从消费和保持现金余额中提取效用，以确保安全（效用中的金钱方法）。没有公共部门，因此没有税收。价格指数时间序列清楚地显示出季节性，主要受1月和7月销售额以及圣诞节前后价格上涨的推动。在这一阶段，我们不会直接对这些模式建模，因为在最后一阶段可以很容易地引入季节性校正。

这可以通过假设每月的通货膨胀率与季节性调整的通货膨胀率相差一定百分比来实现。直觉上，季节性与短期到期的通货膨胀交易更相关。我们涉及对数线性化的原因很快就会清楚。本节后面部分还提供了更多信息。劳动力是唯一的生产要素：不需要资本，因此没有投资。储蓄投资于支付名义利率的债券。代表性消费者消费多种商品，每种商品都是在垄断市场中生产的。产出与私人消费一致，因为没有ZF支出，没有进出口，没有税收，也没有投资。11、公司将利润最大化，但不能在每个时期自由修改其收取的价格（粘性价格）。12。中央银行将短期利率设定为通货膨胀和产出缺口的线性函数（泰勒规则）。短期利率在其平衡水平附近移动。13、短期利率在某些情况下可能为负值。14、存在对产出缺口和通货膨胀的预期系统。时间是离散的。16、无信用风险。2.2模型推导我们按照Walsh【42】介绍DSGE基线模型的主要方程：由于本节的材料是标准的，我们提供了一个高层次的概述。另一个有趣的概述可以在Clarida、Gali和Gertler[13]中找到。熟悉此模型的读者可以跳过此部分。2.2.1经济描述我们使用的基准模型代表一个简单的封闭经济，没有ZF和税收制度。由于没有考虑资本，生产函数只依赖于劳动力：因此没有投资。

因此，从宏观经济的角度来看，我们可以说，当时的产出等于当时的总消费ti:Yi=Ci。经济是一种货币经济，货币和价格水平为二级。2.2.2消费者代表性家庭解决了两步优化问题。它首先决定如何在具有垄断竞争的最终产品生产商（企业）生产的不同产品之间分配其总消费量，然后选择总消费量、持有现金量、债券投资量和工作时间。在第一步中，我们假设存在商品连续统CJ，这些商品由连续统的垄断企业j（j）生产∈ [0，1]）。在第十一条时，家庭选择的商品组合应尽量减少总消费成本：minZpjicjidjby，同时考虑到约束条件Z（cji）θ-1θdjθθ-1.≥ Ci。这里Pji是时间Tian时货物j的价格，Ci是总消耗时间ti。参数θ用于建模价格弹性，即消费对价格的敏感程度。这一标准优化问题在沃尔什（Walsh）[42]（第233页）中得到了解决，并根据一般价格Ii级、总消费Ci（待下一步确定）和商品j的价格，得出商品j的最佳消费量，pji:cji=pjiIi-θCi。（1） 第二步建模为预算约束下预期效用的跨期最大化，并产生通常的欧拉条件。代表性家庭从消费（Ci）和持有实际现金余额（Mi/Ii）中获得效用，作为不确定性的保险：此外，它从提供劳动力中获得负效用，可以储蓄并购买债券，在每个时期支付名义利率NI。

我们假设一个功率效用函数：因此，问题是找到解决问题的序列Ci、Mi、BIAN和NITMAX∞Xti=tβtiE“C1-σi1- σ+α1- DMiIi公司1.-D-N1+ηi1+η#。参数σ、d、α>0、η表示消费、实际现金余额和劳动力供应如何影响效用函数。与通常的宏观经济模型一样，预期E[·]是针对物理指标P得出的：在本节中，如果没有规定指标，则假设使用物理指标。参数β∈ （0，1）通常表示一个时期内的主观贴现系数。参数σ（也称为“相对风险规避”）用于在恒定相对风险规避（CRRA）效用函数中模拟效用对消费的弹性。当σ很高时，代理人极度厌恶风险，因为在相同的绝对消费减少的情况下，消费的增加所产生的效用增加比相应的效用减少所产生的效用增加要小；当σ为零时，存在风险中性，即效用随消费线性增长；当σ趋于1时，效用函数变成对数效用函数，这是适度的风险规避。优化是在以下约束条件下进行的，即ti时的总财富（在消费、实际现金余额和债券持有之间分配）是从提供劳动力的前一个时期（Wii是ti时1个单位劳动力获得的工资）得出的。除nihilo外，系统中没有引入财富：Ci+MiIi+BiIi=WiNiIi+Mi-1Ii+Bi-1Ii（1+ni-1） 。欧拉条件的推导是标准的，可以在沃尔什的第二章中找到。该问题的一阶条件如下：C-σi=（1+ni）βEiIiIi+1C-σi+1（2）αMiIi公司Cσi=ni1+ni（3）NηiC-σi=WiIi。