高斯模型中交易成本下的条件平均套期保值

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英文标题：
《Conditional-Mean Hedging Under Transaction Costs in Gaussian Models》
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作者：
Tommi Sottinen and Lauri Viitasaari
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We consider so-called regular invertible Gaussian Volterra processes and derive a formula for their prediction laws. Examples of such processes include the fractional Brownian motions and the mixed fractional Brownian motions. As an application, we consider conditional-mean hedging under transaction costs in Black-Scholes type pricing models where the Brownian motion is replaced with a more general regular invertible Gaussian Volterra process.
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中文摘要：
我们考虑了所谓的正则可逆高斯Volterra过程，并推导了其预测规律的公式。这类过程的例子包括分数布朗运动和混合分数布朗运动。作为一个应用，我们在Black-Scholes型定价模型中考虑了交易成本下的条件平均套期保值，其中布朗运动被更一般的正则可逆高斯-Volterra过程所取代。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Conditional-Mean_Hedging_Under_Transaction_Costs_in_Gaussian_Models.pdf (190.3 KB)

2022-6-1 05:49:46 上传

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关键词：交易成本 套期保值 Mathematical Differential Applications

高斯模型交易成本下的条件平均套期保值芬兰赫尔辛基阿尔托大学科学院数学与系统分析系芬兰道里维塔萨里（Finlandauri VIITASAARIDepartment of Mathematics and System Analysis），瓦萨大学（University of Vaasa）数学与统计系，P.O.Box 700，FIN-65101 Vaasa，FINLANDAbstract，Aalto University School of Science，赫尔辛基，P.O.Box 11100，FIN-00076 Aalto。我们考虑了所谓的正则可逆高斯-沃尔泰拉过程，并推导了其预测规律的公式。这类过程的例子包括分数布朗运动和混合分数布朗运动。作为一个应用，我们考虑了Black-Scholes型定价模型中的条件平均套期保值交易成本不足，其中Brownianmotion被更一般的正则可逆高斯-Volterra过程所取代。1、在Black-Schole型定价模型中引入比例交易成本下的离散不完全套期保值，其中资产价格由相对一般的高斯过程驱动；所谓的正则可逆高斯-沃尔泰拉过程。这些是连续高斯过程，是连续高斯鞅的非定量线性变换。对于欧洲香草型期权，我们构建了所谓的条件平均对冲。这意味着在每个交易时间，离散对冲策略的条件平均值的值与摩擦价格一致。摩擦是指无交易成本的连续交易套期价格。构造条件均值对冲策略的关键因素是我们在第4节中提供的正则可逆高斯-沃尔特拉过程的正则条件定律的代表。

让我们注意到，在我们的模型中，可能存在无交易成本的连续交易的套利策略，但不存在离散化策略，即使在没有交易成本的情况下。对于由布朗运动驱动的经典Black-Scho-les模型，交易成本下的套期保值研究与Leland[11]相似。另见丹尼斯和卡巴诺夫【6】和卡巴诺夫和萨法里【10】，了解数学上严格的处理方法。对于长期相关分数布朗运动驱动的分数Black-Scholes模型，研究了邮件地址：tommi下交易成本下的套期保值。sottinen@iki.fi，劳里。viitasaari@aalto.fi.Key单词和短语。delta对冲；期权定价；预言交易成本。2 SOTTINEN和VIITASAARIin Azmoodeh【1】。在系列文章【13、19、20、21、22】中，分数Black-Scholes模型中的具体对冲是通过使用经济上可疑的Wick-It^o-Skorohod对自我融资条件的解释来研究的。实际上，对于经济上可靠的正向路径解释的自融资条件，这些对冲策略是有效的，不是针对几何分数布朗运动，而是针对几何高斯过程，其中驱动无ise是具有与相应分数布朗运动相同方差函数的高斯鞅，参见[8]。我们的方法建立在theworks[17]和[14]的基础上。本文的新颖之处有两个：首先，我们将结果推广到一类更一般的高斯过程，而不仅仅是长程相关的分数布朗运动。其次，我们重点研究了存在非平凡二次变量的模型。

这使得公式和分析与依赖于Long值域的分数布朗情形截然不同。本文的其余部分组织如下：在第2节中，我们介绍了以正则可逆高斯-沃尔泰拉过程作为驱动噪声的pricingmodel，并发展了噪声的传递原理。在第3节中，我们研究了定价模型中的套利和完整性。在第4节中，我们提供了驱动噪声和资产价格的马尔可夫函数的预测公式。最后，在第5节中，我们提供了交易成本下的条件平均对冲公式。2、可逆高斯-沃尔泰拉噪声T>0的定价模型是考虑到的或有权益的固定到期时间。我们对几何高斯模型中的不完全对冲感兴趣，其中被贴现的风险资产遵循动态stst=du（T）+dXt，T∈ [0，T]，（2.1），其中u：[0，T]→ R是已知的资产超额回报，X是驱动高斯噪声。我们假设u是连续的，有界变化。对于噪声X，我们假设它是连续的，以X=0和协方差函数（t，s）=E[XtXs]，s，t为中心∈ [0，T]。（2.2）为了分析定价模型（2.1），我们制定了以下相当技术性的定义2.1，以确保噪声过程X的可逆Volterra表示和连续二次变化。我们注意到，定义2.1并不十分严格：许多有趣的高斯模型都满足它（见下面的示例2.1）。定义2.1（正则Inver-tible Gaussian-Volterra过程）。

如果（1）存在一个连续递增函数m：[0，T]，则具有协方差e函数R的n区间[0，T]上的中心高斯过程是正则可逆高斯Volterra过程→ R＋与volterrak核∈ L（[0，T]，dm×dm）在第一个变量中不递减，该变量在对角线外部分连续可微，在对角线上连续可微，因此r（T，s）=Zt∧sK（t，u）K（s，u）dm（u）。（2） 定义*[f] （s）=f（s）K（T，s）+ZTs[f（T）- f（s）]Kt（t，s）dt。交易成本3下的条件平均套期保值∈ [0，T]，方程k*[f] （s）=1[0，t）（s）有一个解。示例2.1（示例和反例）。（1）显然，任何连续高斯鞅都是正则可逆的高斯-沃尔特拉过程。（2）具有赫斯特指数H的分数布朗运动∈ [1/2，1）是正则化的高斯-沃尔泰拉过程。详情参见Mishura[12]第1.8节。（3） 具有Hurst指数H的混合分数布朗运动∈ [1/2，1）是正则可逆高斯-沃尔泰拉过程。有关详细信息，请参见Cai、Chigansky和Kleptsyna[5]。（4） 具有Hurst指数H的分数布朗运动或混合分数布朗运动∈（0，1/2）不是正则可逆高斯Volterra过程，因为它们具有有限的二次变化，参见引理3。1以下。（5） 高斯斜率Xt=tξ，其中ξ是一个标准的高斯随机变量，是一个可逆的高斯Volterra过程，因为它是由高斯鞅非预期生成的。然而，它不是规则的，因为生成鞅不能连续，因为X在零处的过滤跳跃，cf。

下面的定理2.1。我们注意到，对于所有阶跃函数f和g，我们都有以下等距：E“ZTf（t）dXtZTg（t）dxtg#=ZTK*[f] （t）K*[g] （t）dm（t）。利用这个等距，我们可以将关于X的维纳积分推广到这个等距下阶跃函数的闭式。表示K-1（t，s）=（K*)-1.[0，t）（s） 。定理2.1（可逆Volterr a表示）。设X是一个连续的正则化高斯Volterra过程。然后进程mt=ZtK-1（t，s）dXs，t∈ [0，T]，（2.3）是带括号m的连续高斯鞅，X可以通过xt=ZtK（T，s）dMs，T从中恢复∈ [0，T]。（2.4）定理2.1中的鞅M称为基本鞅。显然，这不是唯一的。证据只有M的连续性不清楚。然而，M的连续性等价于M的连续性。事实上，高斯鞅M可以重新定义为Mt=Wm（t），其中W是布朗运动。备注2.1（连续性）。我们注意到我们假设了X先验的连续性。通常，过程X总是L-连续的。事实上，这直接来自It^o等距。然而，这并不一定意味着几乎肯定是连续的采样路径，因为Ldepe中的连续模nds在函数m上，通常情况下可能表现不好。另一方面，如果m对于Lebesgue测度是4 SOTTINEN和VIITASAARIabsolutely continuous，那么X是e venh¨o lde rcontinuous。二次变化、套利和复杂性风险资产动态解的形式（2.1）取决于噪声过程X的二次变化。回想一下，过程X的二次变化（路径e）定义为q（t）=hXit=limn→∞Xtnk公司≤t型Xtnk公司- Xtnk公司-1.,其中{tn=0<tn<····<tnn=T}是[0，T]的划分序列，使得maxk | tnk- tnk公司-1| → 引理3.1（二次变化）。

对于正则可逆高斯volterra过程，二次变差总是存在的。此外，它是确定性的，由q（t）=ZtK（s，s）dm（s）证明。根据[18，定理3.1]，对于任何p≥ 1、首先假设二次变量是确定性的。然后，通过表示（2.4），我们得到（Xt）- Xt公司-t）=ZT（K（t，u）- K（t- t、 u））dm（u）=Ztt-tK（t，u）dm（u）+Zt-t（K（t，u）- K（t- t、 u））dm（u）。对于确定的二次变化，该主张通过在后一个整数中使用泰勒近似来表示核。有待证明的是，二次变化是确定的。根据[18，定理3.1]，有必要证明max1≤j≤nXtnk公司≤t型Xtnk公司- Xtnk公司-1.Xtnj公司- Xtnj公司-1.→ 0。（3.1）让k>j.Repr表示（2.4）和它一起^o等距yieldsEhXtnk公司- Xtnk公司-1.Xtnj公司- Xtnj公司-1.i=Ztnjtnj-1.K（tnk，u）- K（tnk-1，u）K（tnj，u）dm（u）+Ztnj-1.K（tnk，u）- K（tnk-1，u）K（tnj，u）- K（tnj-1，u）dm（u）。对于第一个术语，我们使用以下事实：t 7→ K（t，u）随结合K（tnj，u）的增加而增加≤ K（T，u）。因此，我们观察到关于变量eitherof the variables and let maxk | tnk的求和- tnk公司-1| → 0产生向零的收敛。在第二个期限内，必须观察到-1.K（tnk，u）- K（tnk-1，u）K（tnj，u）- K（tnj-1，u）dm（u）≤ZT公司K（tnk，u）- K（tnk-1，u）K（tnj，u）- K（tnj-1，u）dm（u）。交易成本5下的条件平均套期保值，因此，对任一变量求和，并让ma xk | tnk-tnk公司-1| →我们得到0（3.1）。根据引理3.1和F¨ollmer[7]，定义贴现风险资产价格的随机微分方程（2.1）的解由t=Sexp给出u（t）-q（t）+Xt和S ishSit=ZtSsdq（S）的二次变化。表示q（s，t）=q（t）- q（s）。假设Qi在每个区间上都不为零。

然后，从[3]的robustreplication定理可以看出，定价模型在所谓的低风险策略下是无套利的，而普通索赔的复制在某种意义上是稳健的，因为涉及复制策略a，可以用带括号q的高斯鞅代替X。因此，我们有以下命题：命题3.1（稳健对冲）。设f（ST）为欧洲索赔。然后利用delta-hedgeπt给出了其马尔可夫复制策略=vx（t，St），其中v（t，St）=Z∞-∞fSte公司-q（t，t）+q（t，t）zφ（z）dz是t证明时复制策略π的值。根据[3]Vπt=EQ的鲁棒复制定理5.4f（ST）英尺,其中，在Q下，价格过程S是由带括号Q的阿高辛鞅G驱动的指数鞅。通过过滤等式，我们得到vπt=EhfSeGT公司-q（T）FGti=EhfSte公司-q（t，t）+（GT-燃气轮机）FGti。该索赔如下所示，因为GT- 与FGtand无关的GTI是高斯分布，均值和方差为零q（t，t）。备注3.1（黑色–Scho le s型BPDE）。如果qis对于Lebesgue测度是绝对连续的，则可以通过从Black–Scholes型后向偏微分方程中求解其时间值来复制European vanilla期权f（STvt（t，x）+xdqdt（t）vx（t，x）=0，v（t，x）=f（x）。备注3.2（消失二次方差）。提案3.1对于q来说仍然是正式的≡ 然而，在这种情况下，复制策略非常简单：πt=f′（St）。6 SOTTINEN和VIITASAARIRemark 3.3（简单仲裁）。如果二次变差测度在某个区间上消失，则存在简单的套利机会。实际上，假设q（s，t）=0，对于某些0≤ s<t≤ T然后（参见。

[2] a和【4】（St- Ss）+=Zts[不锈钢，∞)（Su）dSu。因此，在价格昂贵时买入并持有的策略将产生仲裁年龄。最后，我们给出了正则可逆高斯Volterra噪声定价模型的完全性和套利自由性的条件。下面是提案3。2定律中的表示法意味着（3.2）中的基本鞅M不必与（2.4）中的表示法相同，只需具有相同的定律即可。这是一种细微的差异，几乎没有实际后果。命题3.2（完整性和无套利）。当且仅当（3.1）给出的二次变化qq严格增加且X允许在lawXt=ZtK（s，s）dMs中表示时，定价模型（2.1）是完全的且无套利的-ZtZsh（s，u）K（u，u）dMuK（s，s）dm（s）（3.2）对于L（[0，T]，dq×dq）中的某些Volterra kern el h）。一个有效的条件是核K满足K（t，s）=K（s，s）1.-Ztsh（u，s）K（u，u）dm（u）（3.3）对于L中的一些Volterra核h（[0，T]，dq×dq）。证据根据资产定价的基本定理，我们必须证明存在唯一的（定律上的）高斯鞅G，使得X与它等价。由于X具有（3.1）给出的二次方差q1，高斯鞅必须具有相同的二次方差。实际上，我们可以假设thatgt=ZtK（s，s）dMs。（3.4）现在我们可以用与[15]或[16]中类似的方式应用Hitsuda表示定理。回想一下，根据Hitsuda表示定理（见[9]），高斯过程W等价于B罗文运动W，当且仅当它允许（在法律上）呈现Wt=Wt-ZTZ公司l（s，u）dWuds，其中l 是L（[0，T]，dt×dt）中的任何Volterra核。

由于带括号Qi的高斯鞅是一个时变布朗运动，Gt=Wq（t），我们得到了相应的表示（定律）Xt=Gt-ZtZsh（s，u）dGudq（s），（3.5），其中h（s，u）=lq（s），q（u）.因此，X等价于G当且仅当它允许（在法律上）表示（3.5）与L中的某个Volterra核h（[0，T]，dq×dq））。表示法（3.2）通过将（3.5）与（3.4）相结合而得出。将（3.2）与（2.4）相结合，得出方程式（3.3）。交易成本下的条件平均对冲74。预测资产价格或噪声是可能的，因为（1）所有过滤FSt、FX和Fmtar都是相同的，（2）对于正则可逆高斯-沃尔特拉过程，我们可以使用高斯相关理论进行解释。表示^Xt（u）=EXt公司FXu,^R（t，s | u）=CovXt，XsFXu.定理4.1（预测）。设X是具有基本鞅M的正则可逆高斯Volterra过程。然后条件过程Xt（u）=Xt | FXu，t∈ [u，T]是高斯分布，FXu可测量平均值^Xt（u）=Xu-Zuψ（t，s | u）dXs，其中ψ（t，s | u）=（K*)-1[K（t，·）- K（u，·）]（s）和确定性协方差^R（t，s |u）=R（t，s）-ZuK（t，v）K（s，v）m（dv）。证据考虑条件平均值。根据定理2.1^Xt（u）=EZtK（t，s）dMsFMu=ZuK（t，s）dMs=ZtK（t，s）dMs-Zu[K（t，s）- K（u，s）]dMs=Xt-Zu[K（t，s）- K（u，s）]dMs。通过使用维纳积分关于X的计量定义，公式的条件期望由此得出。然后考虑条件方差。