参数风险平价

特别是本文中考虑的风险措施的RCIT如下所示对于波动率：T RCi=（∑β）i√β′∑β（11），其中∑是因子的方差-协方差矩阵风险值（参见Gourieoux等人，2000年，完整治疗）：T RCi=-E[Fi | r=V aRα（r）]βi（12），其中V aRα（r）是在α级评估的投资组合的风险价值对于预期短缺（更多详细信息，请参见Tasche，2002）：T RCi=-E[Fi | r≤ -V aRα（r）]βi（13）可以使用历史方法轻松计算给定因素的总风险贡献。实际上，我们只需要在第一列中包含向量rw的矩阵，而在其他列中，我们将因子返回。考虑风险价值，这是分配的质量。我们获取完整的数据矩阵，并对投资组合收益列之后的所有数据进行排序。O注意，一旦对矩阵进行了排序，我们就拥有了风险分解所需的所有信息。然后，在排序因子列上计算因子的边际贡献系数f。然而，正如Boudt et al.（2007）所观察到的，使用历史风险值和历史预期短缺获得的估计结果，与基于正确指定的参数类分布的估计结果相比，样本外观测值的变化较大。在非高斯参数框架中，Zangari（1996）提出的修正VaR和Bou dt et al.（2007）提出的修正ES似乎是一种很有吸引力的方法。这两种方法都保持了同质性，并且一旦因子的多变量矩可用，就可以很容易地计算它们。使用（1），我们将每个资产回报率建模为要素回报率的加权平均值。因子的平均向量为u，∑是其维数为N×N的方差协方差矩阵。

C o-维度N×Nis的偏度因子m矩阵：m=E[（F- u）（F- u）- （F）- u）′（14），而它们的共峰度矩阵的维数为N×N:M=E[（F- u）（F- u）- （F）- u）- （F）- u）′（15）其中 表示Kronecker乘积。向量r的二阶、三阶和四阶中心动量分别为：m=β′∑βm=β′m（β β） m=β′m（β β β） （16）偏度（skew）和峰度（kurt）根据中心力矩确定：skew=mm（17）和kurt=mm- 3（18）为了计算∑，并进而计算中心矩，我们需要利用copula函数计算因子r的多元分布或其依赖结构。在这里，我们从不同的角度面对问题，即我们寻找产生观察到的回报的潜在独立因素。在实践中，应用于因子的ICA分析（见Hyvarinen，1999）简化了∑，Mand Msince:F=AS（19）的计算，其中S=[S…..SN]’中，我们有原始来源，A是要估计的混合矩阵。每个信号都使用MixedTS建模，即：Si~ ui+uiVi+√ViXi（20）如Ap pendix B所示，由于因子独立性，力矩矩阵元素的计算非常简单和快速：∑ik=PNj=1aijakjσ（sj）Mikl=PNj=1aijakjaljskew（sj）Miklm=PNj=1aijakjaljamjkurt（sj）（21）计算力矩和共力矩，使用Zangari（1996）中推导的公式获得修改后的VaR：mV aRα（r）=-β′u-√mΦ-1（α）+√mC（zα，skew，kurt）（22），其中数量：C（zα，skew，kurt）=-（zα- 1） 歪斜-（zα- 3zα）kurt+（2zα- 5zα）倾斜（23）通过考虑返回向量r的偏度（skew）和峰度（kurt）以及zα=Φ来校正高斯VaR-1（α）。Φ（）处的观测值表示标准正态分布，而其逆态用于分位数测定。Boudt等人修改了预期短缺。

（2007）是α以下收益预期值的线性变换-Cornish fisher分位数，其中考虑了真实分布的二阶边缘扩展：mESα（r）=-β′u-√梅格[z | z≤ gα]（24），其中gα=g-1（α）。扩展公式为：EG[z | z≤ gα]=-αφ（gα）+我- 6I+3φ（gα）库尔特+我- 3I倾斜（25）+我- 15I+45I- 15φ（gα）歪曲（26）其中=Qq/2j=1（Qq/2j=12jQij=12j）g2iαφ（gα）+（Qq/2j=12j）φ（gα）f或q均匀Qq*j=0（Qq*j=0（2j+1）Qij=0（2j+1））g2i+1αφ（gα）- （Qq*对于q奇数（27）和q，j=0（2j+1））φ（gα）*=Q-1、中心力矩的偏导数公式为：Mβi=2（∑β）iMβi=3[M（β β） ]我Mβi=4[M（β β β） ]i（28）使用混合回火稳定模型对酸性ce信号进行建模，使计算更加复杂。偏导数允许我们使用以下公式获得修改后的VaR所形成因素的总风险贡献：mV aRα（r）βi=-ui-Mβi√mΦ-1（α）+Mβi√M-（zα-1） 歪斜-（zα- 3zα）kurt+（2zα- 5zα）倾斜+√M-（zα- （1）歪曲βi-（zα-3zα）库尔特βi+（2zα-5zα）倾斜歪曲βi同样，通过Boudt et al.（2007）中给出的类似公式，可以获得修改后预期短缺的总风险贡献。（24）的导数需要进行直达计算，但可以直接使用标准代数和任何编程语言实现。在图1中，我们详细描述了本节中描述的整个过程。在此插入图1.5实证分析在本节中，我们将逐步展示如何使用混合数据模型（Mixedts）来建模市场中的源信号，从而获得风险平价投资组合。

该数据集由先锋基金指数（Vanguard Fund Index，VFIAX）的每日对数收益组成，该指数复制了标普500指数和十大行业指数的表现，即被视为风险因素的公用事业、电信、材料、信息技术、工业、健康、金融、能源、主要消费品和非必需消费品。数据集指2010年6月24日至2013年7月10日期间。在表1中，我们给出了本节中使用的时间序列的主要统计数据。观察它们的结果是负偏斜，尾巴比正态分布预测的要重。金融部门的更高波动性反映了这场危机在这个时间框架内是其最终阶段。在此插入表1。作为第一步，我们想了解当混合分布直接用于对观察到的时间序列建模时，我们得到的单变量风险度量。我们将混合TSdistribution与VFIAX基金的收益率进行比较，并使用公式（22）和（24）将整个期间的历史VaR和Es与各自的参数版本进行比较。分析的置信水平α范围为（0.01；0.1）。α<0.08的历史VaR结果低于使用混合EDTS计算的VaR，如图2所示。只有α<0.05时，差异才会明显。有关ES的结果更加突出了选择参数或非参数方法测量风险的重要性。事实上，ES的历史方法比基于混合EDTS的ES提供了更高的值。α的差异更大∈ （0.04:0.08）。注意ES是一个条件平均值，受极值的影响很大。我们考虑了与经验的比较（稳健参见Cont等人。

（2010）自定义为0<α<α<1以来，作为trimmedmean的ES为：ESEmpiα（Y）=（α- α） ZααV aRu（FY）du（29）稳健ES对极值敏感，我们得到的经验量与基于混合ES的经验量相似。插入图2。在下一步中，我们将VFIAX基金的回报视为行业回报的线性组合。如前一节所述，我们对m矩阵执行ICA分析，m矩阵的行是扇区索引返回。该算法的输出是表2中的混合矩阵和基础信号的时间序列。按照该算法的思想，每个市场收益率时间序列是引导市场的独立因素的线性变换。在此插入表2。我们将其混合到独立因子时间序列中。表3中报告了第一个窗口的已设置参数。特别值得注意的是参数α，因为对于α=2，我们得到了方差γ分布。我们注意到，只有第四和第五个分量可以用方差Gamma建模。每个分量的前四个矩是根据ce计算的，我们有参数。如前所述，ICA算法中的独立性假设产生了投资组合因素矩阵的分析高阶矩，即我们计算矩阵的矩，矩阵的行是每个部门的收益。在此插入表3。在此插入图3。为了对我们的程序有一个直觉，我们进行了滚动分析，并将VFIAX基金的样本外表现与三个基于风险的投资组合进行了比较。我们将2011年6月24日至2013年7月10日期间的250个收盘价视为样本数据，以下50个收盘价视为样本外数据。

在表4中，我们报告了标准普尔500指数、VFIAX基金指数和风险平价参数投资组合在三种风险度量（波动率、VaR和es）下的平均回报率。在rollingwindow分析中。首先，我们给出每个样本外窗口的结果，然后给出所有样本外结果的平均值和标准偏差。根据我们的分析并考虑建模源信号的混合分布，观察风险度量的选择对每个部门的权重没有太大影响。在此插入表4。在图4中，我们绘制了两个投资组合的样本外表现：当考虑的风险度量为预期缺口时，VFIAX基金和风险平价投资组合。从该图中，我们可以立即观察到风险平价投资组合具有更好的样本外表现。这一结果对其他两个基于风险平价的投资组合有效，但我们决定只显示一个比较，因为我们认为三个类似的图是多余的。在此插入图4。然后，我们决定评估风险平价投资组合具有良好多样性的说法，并考虑基尼指数来衡量多元化。事实上，当所有权重都赋予一种资产，即完全集中的投资组合时，同等权重投资组合的基尼指数等于0和1。在表5中，我们给出了基于基尼指数G的一致估计的投资组合的集中度测度：G=N- 1N+1- 2PNi=1（N+1- i） yiPNi=1yi！！（30）如果观察顺序为ed，即yi≤ 彝语+1。在此插入表5。特别是，我们报告了滚动分析每个窗口的相应指数。我们发现，基于两个风险度量值波动率和ES（其修改版本）的风险平价投资组合几乎在所有窗口中都不太集中。

VFIAX基金权重遵循各部门的市值，尽管根据这些权重计算的Gin i指数遵循市场。基于VaR（修改版）的风险平价投资组合似乎比其他优化投资组合更加集中。为了做出投资决策，我们必须同时考虑绩效和预期集中度。然而，根据我们的结果，我们发现风险平价投资组合的集中度较低，且表现出比被动策略更好的样本外绩效，例如，被动策略可以投资于一只基金，作为复制标准普尔500指数回报的VFIAX。6结论在本文中，我们给出了参数风险分解框架中所需的S步骤。将IC A分析应用于因素并用混合分布对每个源信号进行建模的想法，使得有可能获得捕捉尾部行为的力矩和灵活性的分析公式。这种方法可以应用于考虑同质风险度量的任何设置。在本文中，我们考虑了波动率，VaR和ES是实践和学术界使用最多的三种方法。我们的结果表明，考虑哪种风险度量的决定与投资组合构成没有太大关系，但我们观察到，风险平价策略产生了多样化的投资组合，具有良好的样本外表现。附录A动量的推导我们推导混合随机变量的平均值、方差、三阶和四阶中心矩。如果连续随机变量Y可以写为：Y=u+uV，则它是混合回火稳定变量+√其中，给定的X是标准化回火稳定的，参数为stdCT Sα、 λ+√V，λ-√五、.我们回顾了具有参数（α，λ+，λ）的标准化回火稳定的n阶累积量公式-):cn（X）=Γ（n- α）λα-n++(-1） nλα-N-C、 n=2。