基于拟范数正则化的稀疏投资组合选择

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英文标题：
《Sparse Portfolio Selection via Quasi-Norm Regularization》
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作者：
Caihua Chen, Xindan Li, Caleb Tolman, Suyang Wang, Yinyu Ye
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  In this paper, we propose $\\ell_p$-norm regularized models to seek near-optimal sparse portfolios. These sparse solutions reduce the complexity of portfolio implementation and management. Theoretical results are established to guarantee the sparsity of the second-order KKT points of the $\\ell_p$-norm regularized models. More interestingly, we present a theory that relates sparsity of the KKT points with Projected correlation and Projected Sharpe ratio. We also design an interior point algorithm to obtain an approximate second-order KKT solution of the $\\ell_p$-norm models in polynomial time with a fixed error tolerance, and then test our $\\ell_p$-norm modes on S&P 500 (2008-2012) data and international market data.\\ The computational results illustrate that the $\\ell_p$-norm regularized models can generate portfolios of any desired sparsity with portfolio variance and portfolio return comparable to those of the unregularized Markowitz model with cardinality constraint. Our analysis of a combined model lead us to conclude that sparsity is not directly related to overfitting at all. Instead, we find that sparsity moderates overfitting only indirectly. A combined $\\ell_1$-$\\ell_p$ model shows that the proper choose of leverage, which is the amount of additional buying-power generated by selling short can mitigate overfitting; A combined $\\ell_2$-$\\ell_p$ model is able to produce extremely high performing portfolios that exceeded the 1/N strategy and all $\\ell_1$ and $\\ell_2$ regularized portfolios.
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中文摘要：
在本文中，我们提出了$\\ ell\\u p$-范数正则化模型来寻求接近最优的稀疏投资组合。这些稀疏的解决方案降低了项目组合实施和管理的复杂性。建立了保证$\\ ell\\u p$-范数正则化模型二阶KKT点稀疏性的理论结果。更有趣的是，我们提出了一个理论，将KKT点的稀疏性和投影相关性和投影夏普比联系起来。我们还设计了一个内点算法，以获得多项式时间内具有固定误差容限的$\\ell\\u p$-范数模型的近似二阶KKT解，然后在标准普尔500（2008-2012）数据和国际市场数据上测试我们的$\\ell\\u p$-范数模型。\\计算结果表明$\\ ell\\u p$-范数正则化模型可以生成任意稀疏度的投资组合，其投资组合方差和投资组合收益与基数约束下的非正则化Markowitz模型相当。通过对组合模型的分析，我们得出结论，稀疏性与过度拟合没有直接关系。相反，我们发现稀疏性只是间接地缓和了过度拟合。组合的$\\ellu 1$-$\\ellu p$模型表明，适当选择杠杆率，即卖空产生的额外购买力，可以缓解过度拟合；组合的$\\ellu 2$-$\\ellu p$模型能够产生超过1/N策略的极高绩效投资组合，以及所有$\\ellu 1$和$\\ellu 2$正规化投资组合。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
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关键词：投资组合选择 投资组合 正则化 Optimization Quantitative

通过向投资组合权重向量添加标准球约束，[DeMiguel et al.（2009）]提供了确定最佳投资组合的一般框架。计算结果表明，与文献中提出的策略（Jagannathan和Ma（2003）]、朴素的1/N投资组合和许多其他策略相比，范数球约束投资组合通常实现更低的样本外方差和更高的样本外夏普比。同时，马科维茨经典模型的最优投资组合往往持有大量资产，有些资产的权重非常小。然而，这种解决方案在实际市场的大多数情况下都无法实现。由于物理、政治和经济方面的限制，投资者愿意为更易于管理的稀疏投资组合牺牲一定程度的业绩（见【Shefrin和Statman（2000年）、Boyle等人（2012年）、Guidolin和Rinaldi（2013年）】以及其中的参考文献）。20世纪最成功的投资者沃伦·布菲（WarrenBuffet）就是一个很好的例子，他主张投资一些熟悉的股票，这也得到了凯恩斯早期工作的支持（见【Moggridge（1983）】）。构建稀疏投资组合的一种流行方法是通过基数约束投资组合选择（CCPS）模型（【Bertsimas和Shioda（2009），Cesarone et al.（2009），Maringer和Kellerer（2003）】），即选择特定数量的资产来形成有效的投资组合。不幸的是，固有的组合特性使得基数约束问题通常是NP困难的，因此计算起来很难处理。通过放松硬基数约束，提出了许多启发式方法【Bienstock（1996），Chang等人（2000）】来解决CCPS。最近，通过将目标函数松弛为一些可分离函数，[Gao和Li（2013）]获得了具有闭式解的CCPS的一种协调约束松弛。

新的松弛算法与分枝定界算法（Bnb）相结合，产生了一种高效的解算器，其性能显著优于CPLEX。本文的主要目标是提出一种新颖的非CCPS组合策略，该策略在选择稀疏性时具有完全灵活性，同时仍能保持令人满意的样本外性能。在这里，我们讨论了在有卖空约束和无卖空约束的情况下，马科维茨运动组合结构的一种新的正则化。为了实现这一目标，我们转向` p-范数（0<p<1）正则化，由于其在诱导稀疏性方面的重要作用，它最近吸引了优化界越来越多的兴趣。理论和实证结果表明，“p-范数正则化”（[Chartrand（2007），Xu et al.（2009），Ji et al.（2013），Saab et al.（2008）]）比传统的“范数正则化”具有更好的稳定性和稀疏性。在这项工作中，我们在Markowitz模型的框架下进一步研究了p-范数正则化投资组合优化问题的理论和计算性能。本文的贡献包括：（i）一种新的投资组合策略，与Markowitz模型和`-norm模型相比，该策略可以产生50%-95%的稀疏投资组合，并具有样本外的竞争力；（ii）多项式时间内点算法，用于计算我们的` p-范数模型的二阶KKT解；iii）现代投资组合理论的扩展，将稀疏性与“预测相关性”和“预测夏普比率”联系起来；（iv）“有效边界”概述了稀疏性与预期收益和方差之间的最佳权衡。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们回顾了文献中一些相关的投资组合模型，并给出了有/无卖空约束的稀疏投资组合选择的p-范数正则化公式。

在第3节中，我们发展了具有财务解释的“p-范数正则化投资组合理论”，并设计了一种快速内点算法来计算多项式时间内正则化模型的KKT点。我们还构建了一些玩具示例来展示我们的投资组合理论的应用。第4节介绍了正则化模型的计算结果以及不同模型之间的比较，这表明我们的投资组合策略具有较高的稀疏性，但仍保持样本外的性能。第5节总结了我们的工作，并提供了我们研究的可能应用。这些命题的所有证明都可以在附录I中找到，而我们的内点算法的细节则在附录II中描述。2相关模型给出了由n只股票组成的投资组合。Markowitz均值-方差组合是以下约束优化问题Minxtqxs的解决方案。t、 eTx=1，mTx≥ m、 （2.1）其中Q∈ <n×nis投资组合的估计协方差矩阵，m∈ <nis估计返回向量，m∈ < 是一个特定的回报水平，e是具有匹配维度的Allone向量。还要注意，如果非卖空约束x≥ 0添加到（2.1）中，生成的模型是卖空prohibitedMarkowitz模型的公式。假设与平均约束相关的最佳拉格朗日乘子为φ。然后，我们可以将没有卖空约束的马科维茨模型重新表述为一个线性等式约束优化问题minxtqx- cTxs。t、 eTx=1，（x≥ 0），（2.2），其中c=φm。[Brodie et al.（2009）]讨论了`-范数正则化Markowitz模型minxtqx+ρkxks。t、 eTx=1，mTx=m.（2.3）这里是向量x的`-范数∈ <由kxk定义的nis：=Pni=1 | xi |，ρ为正惩罚参数。稀疏投资组合可通过求解（2.3）并增加ρ值来获得。

然而，`-范数不能与无卖空约束一起有效，因此它不能导致超出无卖空马科维茨投资组合稀疏性的稀疏性。这个事实可以解释如下：设x+和-十、-分别表示x的正项和负项。然后，为了满足预算约束，我们必须有：eTx+=eTx-+ 1、由于kxk=eTx++eTx-, 我们还有kxk=2eTx-+ 因此，将Kxkin添加到目标中会惩罚做空活动，即绝对负向entriesin x的总和，因此对稀疏性的惩罚作用较小。这样的差距促使我们研究非短期均值-方差模型minxtqx的以下凹` p-范数（0<p<1）正则化- cTx+λkxkpps。t、 eTx=1，x≥ 0，（2.4），其中x的` p-范数∈ <定义为kxkp=pqPnj=1 | xj | p.然后定义为当≥ 0，kxkpp=Pnj=1xpj。值得注意的是，p-范数正则化问题（2.4）可被视为以下CCPS问题Minxtqx的连续迭代启发式- cTxs。t、 eTx=1，kxk≤ K、 x个≥ 0，（2.5），其中kxkre表示x的非零分录数，K是投资组合中要管理的股票的选择限制。我们还研究了无卖空约束的证券组合选择问题。与上述模型类似，我们考虑以下` p-范数模型minxtqx- cTx+λkxkpps。t、 eTx=1。（2.6）此外，[DeMiguel et al.（2009）]通过求解以下服从范数约束的最小方差问题，即minxTQxs，构建具有高清晰度的最优投资组合。t、 eTx=1，kxk≤ δ、 （2.7）其中δ为给定阈值。在这项工作之后，将一般范数指定为`-范数，我们提出了`-范数球约束的`-范数正则化Markowitz模型minxtqx- cTx+λkxkpps。T

eTx=1，kxk≤ δ。（2.8）通过拆分向量x：=x+- 十、-, （2.8）可等效为asmin（x+- 十、-)TQ（x+- 十、-) - cT（x+- 十、-) + λkx+kpp+λkx-KPP。t、 eTx公司+- eTx公司-= 1，eTx++eTx-≤ δ、 x个+≥ 0，x-≥ 0.（2.9）此外，我们还考虑以下因素`-`p-范数双正则化Markowitzmodel，可视为（2.7）的拉格朗日形式，具有`-范数ballminxTQx- cTx+λkxkpp+ukxks。t、 eTx=1，（2.10）及其拆分形式min（x+- 十、-)TQ（x+- 十、-) - cT（x+- 十、-) + λkx+kpp+λkx-kpp+ukx+- 十、-堪萨斯州。t、 eTx公司+- eTx公司-= 1，x+≥ 0，x-≥ 0，（2.11），其中x=x+- 十、-. 稍后可以看出，正则化模型（2.9）和（2.11）总是产生一对互补的x+和x-: 即x+jx-j=0表示所有j。在本文中，我们发展了模型的理论，以及模型产生具有高样本外夏普比率的稀疏投资组合的计算证据。3 ` p-范数正则化投资组合理论在本节中，我们通过玩具示例开发了关于` p-范数正则化模型稀疏性的理论结果，以说明直觉，并提供理论的财务解释。我们建立理论结果的方法是基于信号处理的结果（【Chen等人（2010）】）。为了简单起见，在这里我们将f x p=1/2.3.1 KKT点的非零元素的界首先，我们开发了具有非卖空约束x的` p-规范化Markowitz模型的任何KKT解的非零项的界≥ 定理3.1假设“x”是（2.4）的任何二阶KKT解，也就是说，一阶KKT解也满足二阶必要条件，“P”是“x”的支撑，“Q”是相应的协方差子矩阵。

此外，设K=| P |和li=| Qii-K（\'Qe）i+K（eT\'Qe），i∈\'P，是\'Q在向量e的零空间上的投影的对角线项：我-基特\'\'Q我-基特.那么它认为（i）（K- 1） K3/2≤Pi∈\'PLiλ=λhtr（\'Q）-KeT’Qei。（ii）对于某些i，如果Li=0∈\'P，然后K=1，因此\'xi=1；否则，’xi≥λ（K- 1） 4LiK公司2/3预防：请参见附录I中的证明。请注意，ifPi∈(R)PLi=0，我们定理的第一句话意味着K=1。这可以解释如下。Pi∈“PLi=0表示预测的”Q矩阵我-基特\'\'Q我-基特= 0。那么，对于某些α，Q=αeet≥ 0，在这种情况下，投资组合方差“xT”Q“x=α，且为常数。因此，正则化问题的最优解将100%分配给cior最高回报率最高的股票。我们的定理还表明λ越大，K越小∈？PLI表示库存i集合的总多元化系数∈(R)P；数量越小，“P”的大小越小，P是“pnormregularized Markowitz模型”在投资组合中选定的一组股票。第二条语句提供了一个更强大的概念：如果任何Li=0，i∈P，然后K=1。基本上，它表示只投资于第i家股票公司，因为在这种情况下，无需投资即可。请注意，可以将LIC解释为其他股票与股票i的相关性。如果Li=0，则其他股票与股票没有差异。接下来，我们讨论`-范数球约束` p-范数正则化Markowitz模型和双正则化模型。以下定理描述了问题（2.9）和（2.10）的任何二阶KKT点的非零元素的界。定理3.2设\'x=（\'x+，\'x-) 是δ>1、\'P+和\'P的问题（2.9）的任何二阶KKT解-是“x”和“x”的支持-, 和“Q+”和“Q”-分别为相应的协方差子矩阵。

此外，设K+=|(R)P+|和K-= |\'\'P-|, andLji=\'Qjii-Kj（\'Qje）i+（Kj）（eT\'Qje），i∈(R)Pj，代表j∈ {+，-},其中是'qjon到向量e的零空间的投影的对角线项：我-克吉特(R)Qj我-克吉特.那么它认为（i）’P+∩\'\'P-= .（ii）（K）+-1） （K+）3/2≤δ+13/2磅∈\'P+Liλ=δ+13/2λhtr（(R)Q+）-K+eT'Q+eiand（K--1） （K）-)3月2日≤δ- 1.3/2磅∈\'\'P-Liλ=δ- 1.3/2λhtr（(R)Q-)-K-eT'Q-ei。（iii）对于某些i，如果Li=0∈(R)P+（或i∈\'\'P-), 那么K+=1（或K-= 1） ；否则，\'xji≥λ（Kj- 1） 4Lji（千焦）2/3，i∈(R)Pj，代表j∈ {+，-}.证明：请参见附录I中的证明。定理3.3设‘‘x=（’x+，’x-) 是（2.11）、‘P＋和‘P’的任何二阶KKT解-是“x”和“x”的支持-, 和“P=”P+∪\'\'P-. 此外，设Q是对应于P的子午线子矩阵，K=| P |，li=| Qii+2u-K（\'Qe）i+（K）（eT\'Qe），i∈(R)P。那么它认为（i）’P+∩\'\'P-= .（ii）如果k'xk≤ δ、 然后（K- 1） K3/4≤4δ3/2Pi∈\'PLiλ=4δ3/2λhtr（\'Q）-KeT’Qei。（ii）对于某些i，如果Li=0∈\'P，然后K=1，因此\'xi=1和i∈(R)P+；否则，\'xji≥λ（K- 1） 4LiK公司2/3，i∈“P。证明：请参见附录I中的证明。上述理论表明，计算“p-范数正则化投资组合管理问题（2.4）和（2.9）”的二阶KKT解而不仅仅是一阶KKT解的重要性。在本文中，我们提出了一种内点算法来计算多项式时间内具有固定误差容限的近似第二个KKT点；详见附录二。

使用内点算法的总体思路是从每个考虑中的股票的完全支持的投资组合x（即x>0）开始，并在过程结束时迭代消除一部分股票。3.2 Li的特征在支持我们模型的理论中（见第3.1节），出现了一些有趣的事实和特征，需要注意的是“p-范数正则化马科维茨模型选择的投资组合的支持集的“预测方差”{Li}。给定任何股票组合，非零部分表示为x，支持p大小为K，可以重写定理3.1中的数量Li，如下所示：Li=（ei- e） T’Q（ei- e） =Var[ηT（ei- e） ]，（3.1）ei∈ Rk是除第i个位置的1外的所有零的向量，e=Ke∈ Rk。其中，Ei和eare分别是通过100%投资股票i和投资组合x中的每只股票得到的分布，η表示投资组合的随机回报向量。注意，Li，i=1。。。，K、 与x的输入值无关。差异向量（ei- e） 可以被视为“成本中性投资组合行动”，出售当前投资组合中同等数量的所有资产，并使用所有这些资金购买当前投资组合中的一只股票，即股票i。因此，Liestimate了该动作的方差。现在让我们考虑拉格朗日形式的马科维茨模型的可行解和最优解：minxTQx- φmTxs。t、 eTx=1，x≥ 0，（3.2），其中φ是与预期收益不等式相关的拉格朗日乘数。对于任何分配组合，表示为x-one的非零部分可以绘制向可行交换方向ei移动的目标函数- e： f[x+ε（ei- e） ]=[x+ε（ei- e） ]TQ[x+ε（ei- e） ]- φmT[x+ε（ei- e） ]（3.3）=f（x）+εCov[xTη，（ei- e） Tη]- εφ（(R)mi- \'m）+εli我们现在考虑当我们从投资组合x中移除时，哪种股票的方差增加最小。

假设我们沿着ei方向移除库存i- e、 然后我们有一个新的投资组合支持P/{i}，分布为x=x-KxiK公司-1（ei-e） 。等式（3.3）将给出稀疏性（3.4）的边际成本MCSi=-KK公司- 1xi[Cov（xTη，（ei- e） Tη）- φ（(R)mi- \'m）]+（KK- 1） 西丽。这些边际成本只是稀疏性真正成本的上界。他们没有考虑通过重新平衡可以做出任何进一步的改进，thusover估计了成本。当我们当前的投资组合x接近KKT点或局部极小值时，我们从一阶条件中知道，第一部分[Cov（xTη，（ei-e） Tη）-φ（(R)mi- “\'m）]必须接近零，因此二阶项本身将是边际成本的良好近似值。因此，在接近（局部）最优的投资组合x中，可以通过搜索xi的最小值来找到移除的最佳候选者√李。相对稀疏成本指数（3.5）RSCi=xipli，其中最小的非零RSC指数是从x中剔除的最便宜（边际上），并且可能是去除的最便宜（绝对）。因此，数量可以被视为弹性的度量：它们表明objectivevalue对x中微小的成本中性变化有多敏感；因此，较小的LIV值表明哪些股票可以以最低成本从投资组合中移除。3.3 f（x；ei）的财务解释- e） 和ε*I成本中性投资组合行动ei公司- e | i∈ [1，n]形成可行方向的基础，因此目标沿这些方向的方向导数形成敏感性分析方法。f（x，ei- e） =Cov[xTη，（ei- e） Tη]- φ（mi- m）（3.6），其中m是支持x的所有股票的预期回报的平均值。在最佳点，这些衍生工具必须为零。