两种随机因素模型下美式期权的数值定价

第4节介绍并讨论了获得的数值结果，最后在第5节中得出了一些结论。2、期权定价模型2。1、SVJ或Bates SV模型为了简单起见，从现在起我们将注意力限制在看涨期权类型上，但putoptions的情况可以完全类比处理。首先，我们对贝茨随机波动率模型的美式看涨期权定价感兴趣，该模型是由二维几何布朗运动加上具有时变波动率的复合负跳组成的指数L'evy过程。让(Ohm, F、 P）是一个概率空间，也是一个具有L'evy测度ν的连续L'evy过程。在无套利市场模型Bates模型中，设定价格St随时间t变化∈ [0，T]并且T到期时间比T=SeXt更为有效，其中是时间为零时的资产价格。然后，资产价格及其波动率的风险中性动态由以下随机微分方程描述[3，48，49]dStSt=αdt+pYtdWt+dJt，dYt=ξ（η- Yt）dt+θpYtdWt，其中（Wt，Wt）是具有相关因子ρ的两个布朗运动∈ [-1，1]，ξ，η，θ∈ R+分别是Yt的均值回复率、长期均值和不稳定波动率，Jt=PNtj=1Rjis是复合泊松过程，其中Ntis是强度为λ的泊松过程，Rjis集是密度为ν（dx）/λ的独立同分布（i.i.d.）随机变量序列。α=r-Q-λκ是漂移率，其中r是无风险利率，q是股息，κ是预期的相对跳跃大小。这里，我们可以将L'evy度量ν（dx）重写为λf（x）dx，其中f（x）是权函数。通过选择该权重函数，最终活动跳跃扩散模型是默顿[43]f（x）提出的对数正态模型=√2πxδexp(-（日志x- γ） 2δ），（2.1）注意f（x）≥ 0和Zr+f（x）dx=1。

（2.2）我们现在考虑在资产价格为E和成熟度为t的标的资产上，以V（s，y，t）表示的美式看涨期权的定价。On可以显示V（s，y，t），对于s，y∈ [0+∞) 和t∈ [0，T），满足自由边界问题的下列系统tV（s，y，t）+LV（s，y，t）=0，0≤ s<B（y，t），（2.3）V（s，y，t）=s- E，s>B（y，t），（2.4）lims→B（y，t）V（s、y、t）s=1，（2.5）lims→B（y，t）V（s、y、t）y=0，（2.6），其中lv（s，y，t）=-F×V（s，y，t）+.（E×）V（s，y，t））- （r+λ）V（s，y，t）+λZR+V（sx，y，t）f（x）dx，（2.7）E=ysρθsyρθsyθy,F=-（r）- Q-λκ）s- ys公司- ρθsξ（η- y）-θ- ρθyT、 我们应该再次注意到，κ是预期的相对跳跃大小，计算公式为κ=RR+（z- 1） f（z）dz。我们有κ=exp（γ+δ/2）- 默顿模型为1。到期时V的值由V（s，y，T）=（s），（2.8）给出，其中是所谓期权的支付：（s）=最大（s- E、 0），（2.9），这在s=E时显然是不可区分的。美式看涨期权在边界上的价值行为由V（0，y，t）=0，lims给出→+∞V（s，y，t）=s- E（2.10）在关系式（2.3）-（2.6）中，B（y，t）表示所谓的运动边界，该边界未知，由（2.3）-（2.10）隐含定义。上述自由边界偏微分问题没有精确的闭式解，因此需要一些数值近似。问题（2.3）-（2.10）可以重新表述为线性互补问题：tV（s，y，t）+LV（s，y，t）≥ 0，（2.11）V（s，y，t）- （s）≥ 0，（2.12）tV（s，y，t）+LV（s，y，t）· （V（s，y，t）- （s））=0，（2.13），适用于s，y∈ （0+∞) 和t∈ [0，T），最终条件：V（s，y，T）=（s），（2.14），边界条件：V（0，y，T）=0，lims→+∞V（s，y，t）=s- E（2.15）2.2。SVCJ模型在贝茨模型中，泊松跳仅添加到资产价格St的风险中性动态中。

相反，在SVCJ模型中，波动率也出现了跳跃。那么我们有[47]dStSt=αsdt+pYtdWt+dJt，（2.16）dYt=ξ（η- Yt）dt+θpYtdWt+dJt，（2.17），其中αs=r-Q-λκs表示κs=（1-νρj）-1exp（γ+δ/2）-1和ρjde定义了收益和方差中的投资之间的相关性。二维跳跃过程（J，J）是一个强度为λ的R×R+-值复合泊松过程[47]。假设跳跃大小在方差中的分布与均值ν成指数关系。在方差过程中，以尺寸zv的跳跃为条件，J+1具有对数正态分布f（zs，zv），对数zs中的平均值为γ+ρjzv【47】。这给出了由[47]f（zs，zv）定义的二元概率密度函数=√2πzsδνexp-zvν-（对数zs- γ- ρjzv）2δ！。让V（s，y，t）表示模型2.16和2所述标的资产上的美国衍生工具的价格。如【47】所示，可以证明V（s，y，t）由部分积分方程控制tV（s，y，t）+LV（s，y，t）=0，0≤ s<B（y，t），（2.18）V（s，y，t）=s- E，s>B（y，t），（2.19）lims→B（y，t）V（s、y、t）s=1，（2.20）lims→B（y，t）V（s、y、t）y=0，（2.21），其中lv（s，y，t）=-F×V（s，y，t）+.（E×）V（s，y，t））- （r+λ）V（s，y，t）+λZR+ZR+V（szs，y+zv，t）f（zs，zv）dzvdzs，（2.22）E=ysρθsyρθsyθy,F=-（r）- Q- λκ）s- ys公司- ρθsξ（η- y）-θ- ρθyT、 关系式（2.14）和（2.15）描述了该模式l的最终条件和边界条件。3。方法在这项工作中，美式期权的价格是通过Richa rdson对Bermudan期权价格的外推来计算的。本质上，Richardson外推将自由边界问题和线性完整性问题简化为更容易解决的固定边界问题。

因此，我们没有描述上述线性互补问题或分析方法，而是直接将注意力集中在由B ermudan期权价格满足的部分积分微分方程上，该方法比其他方法更快、更精确。为了简单说明，我们将注意力限制在贝茨随机波动模型的期权上，但SVCJ模型下的期权情况可以完全类比处理。让我们考虑在区间[0，T]，M+1等距时间水平T=0，T，T。。。，tM=T。LetVM（s，y，t）表示到期日为t，执行价为E的百慕大期权的价格。百慕大期权是一种期权，它不能在整个时间间隔[0，t]内行使，只能在t，t。，商标。那就是我们考虑的问题(tVM（s，y，t）+LVM（s，y，t）=0，VM（0，y，t）=0，lims→+∞VM（s，y，t）=s- E（3.1）保持时间间隔（t，t），（t，t）。，（tM）-1，tM）。通过这样做，在每个时间间隔（tk，tk+1），k=0，1，…，自动满足关系（2.13），M-此外，关系式（2.12）仅在时间t，t。，tM公司-1，通过设置vm（s，y，tk）=max（limt→t+kVM（s，y，t），（s）），k=0，1，M- 1.（3.2）注意，根据（3.2）计算的函数VM（·，·，tk）被用作时间间隔（tk）内问题（3.1）的最终条件-1，tk），k=1，2，M-相反，问题（3.1）的最终条件保持在时间间隔（tM）内-1，tM），根据关系式（2.14），规定如下：VM（s，y，tM）=（s）。（3.3）也就是说，对于k=M，问题（3.1）递归求解- 1，米- 2.0，从条件（3.3）开始，每次tM-1，tM-2.

，t强制执行美国约束（3.2）。随着行权日期M的增加，百慕大n期权价格VM（s，y，t）趋向于成为美国期权价格V（s，y，t）的合理近似值。在这项工作中，Richardson外推提高了VM（s，y，t）的精度，该外推在时间上是第二或第二精度的。为了评估方案，本文采用了网格局部Petrov-Galerkin（MLPG）方法。该方法基于相交子域上的局部弱形式，利用散度定理和Heaviside检验函数在局部子域上提取局部弱形式。首先，我们讨论了时间导数的时间步长方法。3.1。时间离散化首先，我们对算子（2.7）进行时间离散化。对于这个提议，我们可以使用时间步进近似来应用拉普拉斯变换器。拉普拉斯变换的数值反演算法导致精度降低。然后，我们使用时间步进方法来克服该算子中的时间导数。设Vk（s，y）表示近似于VM（s，y，tk）的函数，k=0，1。。。，M- 注意，为了保持符号简单，已从Vk（s，y）中删除了下标M。

根据（3.3），我们设置VM（s，y）=（s）。让我们考虑以下隐-显（IMEX）时间步方案：LVk（s，y）=-F×Vk（s，y）+.（E×）Vk（s，y））- （r+λ）Vk（s，y）+λZR+Vk+1（sx，y）f（x）dx，（3.4），我们还使用电视（s、y、t）Vk+1（s，y）- Vk（s，y）t+O(t） ，（3.5）利用关系式（3.4）和（3.5），我们定义了以下运算符levk（s，y）Vk+1（s，y）- Vk（s，y）t+LVk（s，y）=tVk+1（s，y）- F×Vk（s，y）+.（E×）Vk（s，y））- （r+λ+t） Vk（s，y）+λZR+Vk+1（sx，y）f（x）dx，因此，美式期权问题重写如下：（eLVk（s，y）=0，Vk（0，y）=0，lims→+∞Vk（s，y）=s- E（3.6）以及关系（3.2）和（3.3）重写如下：Vk（s，y）=max（limt→t+k+1Vk（s，y），（s）），k=M- 1，米- 2.1，0（3.7）VM（s，y）=（s）。备注1：请注意，在关系式（3.4）中，积分部分是非局部积分，而其他不同运算符的部分都是局部积分。毫无疑问，由于积分部分是非局部算子，因此将使用θ-加权离散格式获得Adnese线性方程组。因此，要获得稀疏线性方程组，最好使用以avo idingdense矩阵为代表的IMEX格式。到目前为止，据所知，现有文献中使用theIMEX方案对期权定价的已发表作品包括[47]。因此，在这项工作中，我们使用的IMEX方案在时间上只有一阶精度。然后，通过Richardson外推改进了仅一阶精度的近似值。特别是，我们通过外推使用M和2M时间步计算的两个解来获得二阶精度。

在下文中，为了方便起见，我们将把注意力限制在Richardson extrap-olation程序的第一阶段，其中使用了Mtime步骤，并且将了解这样一个事实，即所考虑的部分积分微分问题也可以使用2M时间步骤来解决。3.2。空间变量转换众所周知，从数学角度来看，贝茨-托卡斯特波动率模型通常是一个部分积分微分方程，定义在无界空间域R+×R+。但由于它需要较大的内存存储，我们将域替换为有限域Ohm = 资产价格和波动率的[0，Smax]×[0，ymax]，其中Smax和ymax选择了足够大的值，以避免出现不可接受的较大截断错误或。然而，在[52]中显示，资产价格的上限是履约价格的三到四倍，所以我们可以设置Smax=4E。本文考虑的期权支付函数是非光滑函数，特别是其导数在执行价格下是不连续的。因此，为了减少精确度损失，试验函数的点集中在靠近s=E的空间区域。相反，沿y方向，我们希望有一个更靠近y=y的高区域的网格，其中更可能发生方差过程的可能实现【3】。因此，我们采用以下变量变化：x（s）=sinh-1（ξs（s- E） ）+新罕布什尔州-1（ξsE）新罕布什尔州-1（ξs（Smax- E） ）+新罕布什尔州-1（ξsE），（3.8）z（y）=正弦-1（ξy（y-y） ）+新罕布什尔州-1（ξyy）新罕布什尔州-1（ξy（ymax- y） ）+新罕布什尔州-1（ξyy），（3.9）ors（x）=ξssinhx sinh-1（ξs（Smax- E） （）- （1）- x） 新罕布什尔州-1（ξsE）！+E、 （3.10）y（z）=ξysinhz sinh-1（ξy（ymax- y） （）- （1）- z） 新罕布什尔州-1（ξyy）！+y、 其中ξsandξ是合适的常数参数。

使用这些参数，我们可以控制s=E和y=y附近s和y方向上节点分布的数量，见图1.0 50 100 150 200 250 30000.10.20.30.40.50.60.70.80.91资产价格波动率0 50 100 150 200 250 30000.10.20.30.60.70.80.91资产价格0 50 100 150 200 30000.10.30.50.60.80.91波动率图1：ξs=1，ξy=10，Nx，Nz=16，32 64、，分别地（请注意，Nx和Nz是在关系3.34中引入的。）注意，关系式（3.8）和（3.9）将[0，Smax]×[0，ymax]映射到[0，1]×[0，1]。我们定义（3.11）U（x，z，t）=V（s（x），y（z），t），eLUk（x，z）=tUk+1（x，z）- （eF* P） ×英国（x，z）+P×[ * （[eE* PT]T×英国（x，z））]- （r+λ+t） Uk（x，z）+λZUk+1（br，z）f（r（br）s（x））s（x）r′（br）dbr+λz∞Smax（r- E） f（rs（x））s（x）dr，（3.12）其中* 表示组件乘法和alsoeE=y（z）s（x）ρθs（x）y（z）ρθs（x）y（z）θy（z）, （3.13）eF=-（r）- Q-λκ）s（x）- y（z）s（x）- ρθs（x）ξ（η- y（z））-θ- ρθy（z）T、 P=s′（x）y′（z）！T、 r（br）=ξssinhbr sinh-1（ξs（Smax- E） （）- （1）- br）新罕布什尔州-1（ξsE）！+E、 使用变量（3.8）的变化，将关系（3.6）重写如下：（eLUk（x，z）=0，Uk（0，z）=0，Uk（1，z）=Smax- E（3.14）Ohm十、Ohm十、OhmxLocal Support Domainsxxx图2：支持问题域中不同点的子域。此外，关系（3.7）重写如下：Uk（x，z）=max（limt→t+k+1Uk（x，z），e（x）），k=0，1，M- 1，（3.15）UM（x，z）=e（x），其中e（x）=max（s（x）- E、 0）。（3.16）3.3。局部弱形式在本节中，我们使用局部we ak形式，而不是全局弱形式。Atluri等人[13]在其无网格局部Petrov-Galerkin方法中首次提出了局部弱形式无网格方法。MLPG方法在局部子域上构造弱形式，如Ohms、 这是全局域中每个节点的一个小区域TakenOhm = [0，1]×[0，1]。

局部子域相互重叠并覆盖整个全局域Ohm. 这个局部子域可以是任何简单的几何体，如图2所示的圆环、正方形。为简单起见，我们假设局部子域具有圆形。因此，x的近似方程（3.14）的局部弱形式∈ Ohmis，其中x=（x，z），可以写成<eLUk，u>= 方程式（3.17）中的0，（3.17），uHeaviside踏板功能是否正常（x） =（1 x∈ Ohm是，0 o.w.作为每个本地域中的测试函数。此外，我们还定义了内部产品<.>关于内域与{、.}边界为<eLUk，u>=ZOhmiseLUk（x）u（x） dOhm , （3.18）{eLUk，u} =ZOhmiseLUk（x）u（x） dΓ，其中Ohmisis与点i相关的局部域，即它是以半径rQ的x为中心的圆。允许Ohmisdenote子域的边界Ohm是等式。

（3.18）与替代关系（3.12）构成以下关系* P） ×英国、英国> - < P×[ * （[eE* PT]T×Uk（x，z））]，u> +（r+λ+t） <英国，美国>=t<英国+1，u> +λ<W，u> +λ<π，u> （3.19）式中，w（z）=ZUk+1（br，z）f（r（br）s（x））s（x）r′（br）dbr，π=z∞Smax（r- E） f（rs（x））s（x）dr.An a alternative for<P×[*（[eE*PT]T×Uk（x，z））]，u> 与关系（3.19）相关的可提及为<P×[ * （[eE* PT]T×Uk（x，z））]，u>=< [P* [ * （P×eE）+eE]]×英国、英国>+ < [诊断（eE）* P* P] ×.英国、英国> +ρθ<s（x）y（z）s′（x）y′（z）十、祖克，u>,其中，受方=y（z）s（x）00θy（z）, （3.20）eE=ρθs（x）y（z）T.英国=徐克祖克！T、 这里用来简化系统（3.19）的是散度定理，如下所示* P） ×英国、英国>= - < [.（eF* P） ]英国，美国> +{[（eF* P） 。ν] 英国、英国},< [P* [ * （P×eE）+eE]]×英国、英国>= - < .[P* [ * （P×eE）+eE]]英国，美国>+ {[P* [ * （P×eE）+eE]]。νUk，u},< [诊断（eE）* P*P] ×.英国、英国>=< .（诊断（eE）* P* P） 英国、英国> -{[[ * [诊断（eE）* P*P] 】。ν] 英国、英国}+ {[[诊断（eE）* P* P]* 英国]。ν、 u型},<s（x）y（z）s′（x）y′（z）十、祖克，u>=< （s（x）s′（x））′（y（z）y′（z））’英国，美国> -{（s（x）s′（x））（y（z）y′（z））′Ukν，u}+ {s（x）y（z）s′（x）y′（z）xUkν，u}, （3.21）式中，ν是问题域边界上的单位向外法向量。在（3.19）中替换关系（3.21），我们得到- < [.（eF* P） ]英国，美国> + < .[P* [ * （P×eE）+eE]]英国，美国>- < .（诊断（eE）* P* P） 英国、英国> - < （s（x）s′（x））′（y（z）y′（z））’英国，美国>+（r+λ+t） <英国，美国> +{[（eF* P） 。ν] 英国、英国} - {[P* [ * （P×eE）+eE]]。νUk，u}+{[[ * [诊断（eE）* P* P] 】。ν] 英国、英国} - {[[诊断（eE）* P* P]* 英国]。ν、 u型}+{（s（x）s′（x））（y（z）y′（z））′Ukν，u} - {s（x）y（z）s′（x）y′（z）xUkν，u}=t<英国+1，u> +λ<W，u> +λ<π，u> （3.22）重要的是要注意，在关系式（3.22）中存在未知函数，我们应该近似这些函数。