债务抵押债券期限结构模型的单调性

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Monotonicity of the collateralized debt obligations term structure model》
---
作者：
Micha{\\l} Barski
---
最新提交年份：
2015
---
英文摘要：
  The problem of existence of arbitrage free and monotone CDO term structure models is studied. Conditions for positivity and monotonicity of the corresponding Heath-Jarrow-Morton-Musiela equation for the $x$-forward rates with the use of the Milian type result are formulated. Two state spaces are taken into account - of square integrable functions and a Sobolev space. For the first the regularity results concerning pointwise monotonicity are proven. Arbitrage free and monotone models are characterized in terms of the volatility of the model and characteristics of the driving L\\\'evy process.
---
中文摘要：
研究了无套利单调CDO期限结构模型的存在性问题。利用Milian型结果，给出了相应的Heath-Jarrow-Morton-Musiela方程对于$x$远期利率的正性和单调性条件。考虑了两个状态空间——平方可积函数和Sobolev空间。首先证明了关于点态单调性的正则性结果。无套利和单调模型的特征是模型的波动性和驱动L挈evy过程的特征。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--
一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
--

---
PDF下载：
-->

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：抵押债券 期限结构 结构模型 单调性 Mathematical

债务抵押债券的单调性期限结构模型莱比锡大学数学与计算机科学学院、德国数学学院、波兰首都华沙卡迪纳·l·斯特凡·怀兹基大学。Barski@math.uni-莱比锡。2018年6月26日摘要研究了无套利单调CDO期限结构模型的存在性问题。利用米利安型结果，给出了相应的x-远期利率Heath-Jarrowmoton-Musiela方程的正性和单调性条件。考虑了两个状态空间——平方可积函数和Sobolev空间。首先，证明了关于逐点单调性的正则性结果。无套利和单调模型的特征是模式l的波动性和驱动l’evy过程的特征。关键词：CDO模型，债券市场，HJM条件，HJMM方程，单调性。AMS科目分类：91B28、91B70、91B24。JEL分类编号：G10，G111简介A可违约（T，x）-到期日T>0且信用评级为x的债券∈ 我 【0，1】，简称（T，x）-债券，是一种金融合同，在时间T向持有人支付1欧元，前提是债券的发行人在时间T之前没有破产。以上I组代表所有可能的信用评级。Bank破裂是用所谓的损失过程{L（t），t≥ 0}从零开始，递增并取区间[0，1]中的值。如果损失超过信用评级，债券就一文不值。因此，（T，x）-债券的支付形式为{LT≤x} 。（t，x）-债券的价格P（t，t，x）是由P（t，t，x）=1{Lt≤x} e类-RTtf（t，u，x）du，t∈ [0，T]，（1.1），其中f（·，·，x）表示x远期利率。

值x=1对应于无风险债券，f（t，t，1）确定短期利率过程viaf（t，t，1），t≥ 因此，（T，x）-债券市场完全由x-远期利率族和损失过程L决定。该模型是经典不可违约债券市场的扩展，可以在I为单态时，即I={1}时识别。上述（T，x）-债券模型与在真实市场上直接交易的可违约债券不对应。例如，在这种情况下，（T，x）-债券的禁令k破产自动意味着（T，x）-债券在x<x时破产。然而，实际上，信用评级较高的债券可能比信用评级较低的债券更早违约。（T，x）-债券在[3]中被介绍为与称为债务抵押债券（CDO）的可违约资产池相关的基本工具，这些资产实际上在市场上广泛交易。在CDO市场模型中，损失过程L（t）描述了池中在t>0之前违约的部分，而F（LT），其中F是一些函数，指定了t>0时的CDO支付。特别是，（T，x）-债券可与数字型CDO支付确定，其函数为f（z）=Fx（z）：=1[0，x]（z），x∈ 一、 z∈ [0，1]。然后，在t时，在支付点（Fx（LT））的th价格≤ T等于P（T，T，x）。此外，如[3]所示，每个常规CDO债权都可以通过（T，x）-债券的特定组合组合组合进行复制，从而也可以进行定价。因此，（T，x）债券的模型决定了CDO支付的结构。价格的诱导家族sp（T，T，x），T≥ 0，x∈ 一、 将被称为CDO期限结构模型或brie FLY CDO模型。在实际市场上，支付更多的索赔的价格总是更高。

这意味着p（t，t，x）=pt（Fx（LT））≤ pt（Fx（LT））=P（t，t，x），t∈ [0，T]，x<x，x，x∈ 一、 （1.2）这意味着（T，x）-债券的价格在x中增加。类似地，如果索赔金额更高，则其价值更高，henceP（T，T，x）=pt（Fx（LT））≥ pt（Fx（LT））=P（t，t，x），t∈ [0，T]，T<T，x∈ 一、 （1.3）这意味着（T，x）-债券价格在T中下降。如果两个条件（1.2）、（1.3）都满足，则CDO期限结构模型称为单调模型。令人惊讶的是，（T，x）-债券价格的单调性在数学模型中并不总是保持不变，即使它们满足严重的套利条件，参见[3]p.60。本文的目的是研究无套利单调的CDO期限结构模型。该问题也在【14】中进行了研究，但模型设置和使用的方法与本文中提出的不同。我们考虑Musiela参数化器（t，z，xi）中的x-远期利率的有限族：=f（t，t+z，xi），t，z≥ 0，xi∈ 一、 I={0≤ x<x<…<xn=1}并研究由pricesP（t，t，xi）=1{Lt≤十一e-RT公司-tr（t，u，xi）du，t，t≥ 0，xi∈ 一、 远期利率动态由MDR（t）的随机偏微分方程（SPDE）给出=Ar（t）+F（t，r（t））dt+G（t，r（t-))dZ（t），t≥ 0，（1.4）其中A是微分运算符：Ah（z，xi）=zh（z，xi）和z是一维L'evyprocess。漂移F由过程z的波动率G和拉普拉斯指数确定，通过希思-杰罗-莫顿条件的广义版本。方程（1.4）的解被称为Heath-Jarrow Morton-Musiela方程，假设取Hilbertspaces L2，γnor H1，γn中的值，这意味着r（t，·，xi），对于每个xi∈ 一、 是平方可积函数，分别为。

属于具有平方可积一阶导数的函数的Sobolev空间。从[15]中的结果，也可参见[3]，可以推断出无套利CDO模型的存在性等价于（1.4）解的零点处的d点态单调性的可解性，即r（t，0，xi）≥ r（t，0，xi+1），i=1，2。。。，N-1，几乎所有t≥ 0。（1.5）我们的方法基于检查xi中的正性和单调性∈ （1.4）溶液的I。推广Milian的结果，见[8]，该结果最初处理维纳过程驱动的S-PD，我们推导了L'evy过程的波动率G和跳跃的条件，这些条件等价于L2，γn值正演算法（1.4）的正性和单调性。这些是条件（P 1），（P 2），（M1），（M2），请参见第4节，以获取精确公式，其中表明G必须满足某些增长和Lipschitz型条件，常数取决于过程Z的可能跳跃。L2中r的单调性，γndoes并不意味着（1.5），因为rdoes不必逐点定义。然而，我们表明，在Z的平方可积条件下，（1.4）的解实际上满足（1.5），从而自动生成无套利CDO模型。其单调性源于x-远期利率的正性和单调性。这些结果表示为定理4.1和命题4.3。定理4.2给出了由（1.4）的H1，γn值解生成的无套利单调CDO模型的条件。在这种情况下，正如我们在命题4.4中所示，H1，γ元素的正则性证明了正条件（p1），（p2）对于CDO模型是无套利单调的是有效的。我们不需要（M1）或（M2）。上述结果需要（1.4）中的变换F和G具有线性增长并满足线性增长条件。

根据Gin L2，γn，resp的正则性给出了相应的条件。位置4.5和命题4.6规定了L’evy过程的H1、γ和特性。本文的结构如下。在第2节中，我们给出了[3]和[15]关于CDO模型中无套利的初步结果。在这里，我们遵循原始文件，并使用x远期利率的标准参数化。第3节给出了涉及Heath-Jarrow-Morton-Musiela方程的单调性问题的精确公式。第4节包含主要结果的公式，即定理4.1和定理4。2以及两个辅助结果——关于单调性和逐点单调性问题的命题4.3和命题4.4。在第4.1小节中，我们给出了主要结果所需的线性增长条件和局部Lipschitz条件。第4.2小节给出了关于积极性和非积极性的进一步评论。证据推迟到第5节。确认。作者要感谢A.Rusinek、T.Schmidt、S.Tappe和J。感谢Zabczyk进行的鼓舞人心的讨论和提出的有益建议。2无套利条件为了解释本文的模型框架，我们收集了文献[3]和文献[15]的初步结果。他们关注的是远期利率确定的CDO市场无套利条件，采用标准参数化，动态如下：df（t，t，xi）=a（t，t，xi）dt+b（t，t，xi）dZ（t），t>0，t>0，xi∈ 一、 （2.6）其中Z是一维L'evy过程，I={x，x，…，xn}，0≤ x<x<<xn=1。方程（2.6）可被视为一个随机方程系统，其参数为到期日T>0和信用评级xi∈ 一、 上述模型在[15]和[3]中研究过，当Z是维纳过程时。在非默认上下文中，即。

当I={1}时，one得到了文献[6]中介绍的经典债券市场模型设置。L'evy过程Z允许以下L'evy It^o分解Z（t）=at+qW（t）+ZtZ{'y|≤1} yπ（ds，dy）+ZtZ{y |>1}yπ（ds，dy），t≥ 0，（2.7），其中∈ R、 q≥ 0，W是维纳过程，（π），π是Z的（补偿）泊松跳跃测度。上面的ν代表Z的L'evy测度，因此满足|∧ 1） ν（dy）<+∞.特征三重态（a，q，ν）以独特的方式决定了L'evy过程。无套利条件的中心作用是Z的拉普拉斯变换形式J，由（e）定义-zZ（t））=etJ（z），t≥ 0。（2.8）众所周知，J的域的形式为：={z∈ R:Z{| y |>1}e-zyν（dy）<+∞},即| J（z）|<+∞ 当且仅当z∈ B、 参见【13】、【10】。因此，如果B 6= 然后，存在L'evy过程的一些指数矩。制定等价于CDO市场无套利的条件，即确保贴现债券价格^P（t，t，xi）：=e-Rtf（s，s，1）dsP（t，t，xi）=e-Rtf（s，s，1）ds{Lt≤x} e类-RTtf（t，u，x）du，t>0，xi∈ 一、 是局部鞅，我们需要以下一组假设（A1）-（A3）。（A1）损失过程L是一个c\'adl\'ag，形式为Lt=Ps的非递减、自适应、纯跳跃过程≤T△Ls，t≥ 0，绝对连续补偿器v（t，dx）dt满足RTV（s，I）ds<+∞.在（A1）过程1{Lt≤xi}是每个xi的c\'adl\'ag∈ I的强度为λ（t，xi）：=v（t，（xi- Lt，1]），即进程{Lt≤十一}-Zt{Ls≤xi}λ（s，xi）ds是鞅。

此外，λ（t，xi）在xi是递增和递减的∈ 一、 （A2）对于每个（T，xi），系数a（T，T，xi），b（T，T，xi）是可预测的，并且具有有界的轨迹。（A3）对于每个r>0，功能U→Z{| y |>1}e-uyν（dy）在集{u上有界∈ R：| u|≤ r}∩ B、 以下结果来自【15】。定理2.1假设（A1）-（A3）成立。a） If^P（t，t，xi），xi∈ 一、 T>0是局部鞅，然后是ztsb（s，u，xi）du∈ B（2.9）表示任何0≤ T≤ 集合{Lt上的s≤ xi}，dP×dt a.s。。b） 如果（2.9）成立，则^P（t，t，xi），xi∈ 一、 当且仅当ifZsta（T，u，xi）du=J时，T>0是局部鞅Zstb（t、u、xi）du, （2.10）f（t，t，xi）=f（t，t，1）+λ（t，xi），（2.11）对于任何0≤ T≤ 集合{Lt上的s≤ xi}，dP×dt a.s。。如果I是单态，即I={1}，W是维纳过程，则J（z）=zand方程（2.10）从[6]简化为众所周知的Heath-jarrow-Morton条件。微分（2.10）在syields中，漂移a（t，t，xi）=J′的显式公式ZTtb（t、u、xi）dub（t，t，xi），（2.12）表示模型的波动性。方程（2.11）反映了转发速率和损失过程L的分布之间的关系。因此，损失过程L可能不会以任意方式产生先验。事实上，损失过程由条件（2.10）、（2.11）唯一确定。为了了解这一点，我们直接遵循[3]中提出的论点。在不失去普遍性的情况下，我们假设概率空间具有以下结构e（A4）Ohm = Ohm×Ohm, F=G H、 Ft=Gt Ht，P（dω）=P（dω）P（ω，dω），ω=（ω，ω）∈ Ohm,在哪里(Ohm, G、 （Gt），P）支持L'evy流程Z和Ohm是递增的I值标记点函数的正则空间，赋予filtrationht：=σ{ω（s）：s≤ t、 ω∈ Ohm}, H：=H∞.现在，我们可以确定损失过程ω（t）=Lt（ω）的路径，并将（2.6）和满意的（2.12）作为(Ohm, G、 Gt，P）。

如果该方程有解，则条件（2.11）可以写成v（ω，t，dx）=-f（ω，t，t，ω（t）+dx），这意味着损耗过程的补偿器由f决定。确定过程L的分布的问题等价于找到概率核P（ω，dω），从而-f（ω，t，t，ω（t）+dx）实际上形成一个补偿器。如果f（t，t，xi）在xi中减少，则这是成立的。这导致以下结果，这是进一步分析的起点。定理2.2假设（A1）-（a4）满足。如果（2.10）成立且（2.6）对损失过程Lt的每条路径都有解，则函数xi-→ f（t，t，xi），xi∈ 一、 （2.13）是降低dP×dt a.s，过程f（t，t，xi）是渐进的，然后是族{f（t，t，xi）；t，t≥0，xi∈ 一} 形成无套利CDO模型。3问题的表述在这里，我们通过将标准参数化转换为Musiela参数化（首次在[9]中使用），重新表述了x-forward速率（2.6）的动力学。对于运行时间t和成熟度t，定义了一个新参数z=t-t称为成熟期。然后，Musiela参数化中的前进速率由r（t，z，xi）：=f（t，t+z，xi），t给出≥ 0，z≥ 0，xi∈ 一、 诱导债券价格byP（t，t，xi）=1{Lt≤十一e-RT公司-tr（t，u，xi）du，xi∈ 一、 T型≥ 0。（3.14）从（2.6）开始，使用g（t，z，xi）：=b（t，t+z，xi），F（t，z，xi）：=a（t，t+z，xi）。我们得到（t）（z，xi）=St（r）（z，xi）+ZtSt-sF（s）（z，xi）ds+ZtSt-sG（s）（z，xi）dZ（s），（3.15），其中s表示移位半群St（h）（z，xi）：=h（t+z，xi）。

这意味着r是方程dr（t，z，xi）的弱解=Ar（t，z，xi）+F（t，z，xi）dt+G（t，z，xi）dZ（t），t，t≥ 0，xi∈ 一、 （3.16）对于由ar（t，z，xi）给出的半群S的生成器a：=r（t，z，xi）z、 假设（3.16）中的波动率G为G（t，r（t））形式的变换-)) 其中g（t，Д）（z，xi）=g（t，z，xi，Lt，Д（z）），t≥ 0，z≥ 0，Д=Д（z），（3.17），其中LTI是一个损失过程，G（·，·，xi，·，·）=：gi（·，·，·，·：·）：R+×R+×I×Rn→ R、 i=1，2。。。，n、 （3.18）是一系列功能。由于我们只对无套利模型感兴趣，因此从（2.12）可以看出，（3.16）中的漂移系数F=F（t，r（t）），由F（t，ν）（z，xi）：=J′确定ZzG（t，Д）（u，xi）duG（t，Д）（z，xi），t≥ 0，z≥ 0，Д=Д（z）；xi∈ 一、 （3.19）SPDE（3.16），其中波动率G由（3.17）给出，漂移F的形式为（3.19），将在续集a Heath Jarrow Morton-Musiela（HJMM）方程中调用。因此，HJMM方程由G和函数J′确定，而函数J′又由L′evy过程的特征三重态决定。例如，在[1]、[2]、[4]、[5]、[7]中研究了不可违约上下文中的HJMM方程。（3.16）的解的状态空间将被指定。为此，让我们介绍两个定义在R+上的可测量实值函数的希尔伯特空间。第一个由平方可积函数L2组成，γ：=nh:k h kL2，γ：=Z+∞| h（u）| eγudu<+∞o、 第二个是Sobolev空间-L2的子空间，γ由H1定义，γ：=nh:k h kH1，γ：=Z+∞（| h（u）|+| h′（u）|）eγudu<+∞o、 其中γ>0。HJMM方程的状态空间为L2，γnand H1，γn，包含函数h:R+×I-→ R使得h（·，xi）∈ L2，γ，分别为。