体积在订单动态中的作用：一个多变量霍克斯过程

因此，上述命题表明，如果存在某种抑制作用，那么在我们的过程中，我们应该看到一些（至少部分）负内核。我们将实际遇到其中一些问题，特别是在第5节中。我们通过概述我们所采用的估算程序来结束本节。详情请参阅Bacry和Muzy（2015）以及Bacry et al.（2015）的原始论文。算法2.1。Hawkes核的非参数估计1。对于每天的交易，提取订单的时间和数量。每个事件根据其体积分配给多元过程的一个组成部分。3、条件定律（10）是用经验方法估计的。对于该估计，使用线性对数组合，边缘：[0，δlin，2δlin，3δlin，hmin，eδlog，e2δlog，e3δlog，…，hmax]，其中δlin，hmin和δlog是用户定义的参数。在这项工作中，我们确定了=-3s，hmax=2·10s。选择δLin和δlog，以便在linearpart中有50个箱子，在log间隔部分有1500个箱子。然后通过求解积分方程（11）来估计核。再次使用类似于上述方案的lin对数正交方案。所有核都是在域[0，xmax]上估计的，而正交点是[0，林，2岁林，3岁lin，xmin，e日志，e2日志，e3日志xmax]再次，林，xmin，Log和Xmax是用户定义的参数。我们选择xmin=0.5·-3s和xmax=0.5s。利南德选择对数时，线性部分有80个箱子，对数间隔部分有80个箱子。5、最后，通过求解u平稳性条件（6），恢复基线强度ui。让我们指出，在选择第3点中使用的网格时需要谨慎。用于估计条件定律的上述算法（如Bacry et al。

（2015年））由于在金融数据的典型应用中，发现其质量在t.3数据和主要统计数据中跨越多个数量级，因此在本节中，我们描述了我们的数据集，并对其主要特征进行了实证分析。3.1数据在本文中，我们使用QuantHouse EUROPE/ASIA提供的一级订单数据(http://www.quanthouse.com)两份未来合同，即德国外滩期货和DAX期货。数据范围为2013年7月至2014年11月。在数据集中，每次登记订单簿的起始级别变化时，市场都会添加一个时间戳，并指定最佳报价的未完成数量以及相应的价格。还为每个交易添加一个特定的时间戳，以及执行订单簿的大小、价格和侧面。时间戳由市场本身以微秒精度提供。我们使用数据集中可用的数量和价格信息来重建订单的顺序和类型。我们区分限价订单、取消和交易。我们只考虑最佳报价（订单簿的第一级）的订单。需要注意的是，我们将同时发生在订单簿同一侧的多个订单视为一个单一事件（例如，以相同价格命中账簿中存在的两个限额订单的市场订单被视为一个单一交易）。在书的另一面，仍然可能同时有两个事件，即一个在问，一个在出价。然而，由于数据集的实时分辨率，这种情况非常罕见，导致同时发生的事件占事件总数的比例小于0.2%。3.2持续时间和体积的经验特性图2显示了所有事件间时间（右图）和交易间时间（左图）的直方图。

我们从未观察到小于10us的事件，这可能是由于数据处理造成的最小技术延迟。仅就交易而言，最小观测时间距离更大，约为50us，这可能是因为交易需要更长的处理时间。在持续时间分布中，我们注意到当考虑所有事件时，在30us左右有一个主峰，在70us左右有一个主峰- 仅考虑交易时为100us。对于所有事件，在200到300us之间有第二个明显的峰值，大约为300us- 400us fortrades。最后，即使在尾部很远的地方，也可以看到小峰。这些可能是订单分割和自动交易的结果。图3显示了DAX和Bund期货交易规模的经验分布，以合约数量衡量。正号表示买方发起的交易，负号表示卖方发起的交易。对于这两种资产，我们注意到“圆形”订单大小的尖峰对应，如1、50、100。在DAX期货市场，规模超过100份合约的交易非常罕见，而在外滩期货市场，1000份合约的交易量并不罕见。这种差异可能是由于外滩属于所谓的“大刻度”资产类别，而税收期货被视为“小刻度”资产。也就是说，在前一种情况下，价差与Bacry et al.（2015）10中使用的数据集相同-510-410-310-210-1100101102持续时间10-510-410-310-210-1100101102103104105密度1 2 4 5×10-40.00.20.40.60.81.01.21.41.6×10410-510-410-310-210-1100101102持续时间10-510-410-310-210-1100101102103104105密度1 2 4 5×10-401234567×103图2：事件间时间直方图。所有事件（左）和仅交易（右）。

主图使用对数间隔的箱子，而插图显示短时间内等距的直方图。数据涉及外滩期货，DAX期货数据无显著差异。几乎总是等于一个刻度，因此在最佳报价时，价格变化较少，可用价格更大（Eisler et al.，2012）。-1-0.5 0.0 0.5 1.0卷（合同）×10310-710-610-510-410-310-210-1100101密度10010110210310410-710-610-510-410-310-210-1100-200-100 0 100 200卷（合同）10-710-610-510-410-310-210-1100101密度10010110210310-810-710-610-510-410-310-210-1100图3：外滩（左）和DAX（右）期货交易量的经验分布。插图显示了以对数-对数比例表示的分布，其中买卖是聚合的。我们还检验了交易时间和实时（连续时间）中交易规模的序列相关性。我们发现交易时间的自相关性非常小，实际时间几乎可以完全由交易数量的相关性来解释。3.3 Eurex市场的高频特征在持续时间分布中观察到的300us峰值可能与Eurex市场的技术特征有关。特别是，据交易所网站报道，“对于期货订单，欧洲交易所目前为客户提供的（每日）平均往返时间在同一地点低至0.2-0.35毫秒”。从…起http://www.eurexchange.com/exchange-en/technology/co-location-services2015年5月7日访问。这意味着代理对市场上的事件作出反应所需的最短时间约为300us，这解释了我们在持续时间分布中看到的起伏。因此，比这个时间尺度更接近的事件之间没有直接的因果关系，除非它们是同一个代理行为的结果。

在下一节分析研究结果时，我们需要牢记这一事实。4将交易量映射到多变量霍克斯过程我们首先将多变量霍克斯框架应用于一系列交易，从而忽略其他类型的订单簿事件。我们绘制了不同规模的交易图，以分离多变量霍克斯点过程的组成部分。为了保持结果多元过程的总维度可管理，我们将订单大小范围划分为少量的仓位（六个）。一旦将每个事务分配给多元Hawkes过程的一个组件，我们将使用前面描述的非参数估计方法来确定Hawkes过程的核和基线强度。使用整个交易日（从上午8点到晚上10点），没有考虑日内的季节性（将分析限制在最活跃的时间，结果不会发生显著变化，请参见附录B）。4.1未签署交易我们从考虑未签署交易开始，即我们不区分买方发起的交易和卖方发起的交易。我们将无符号体积的箱子数量作为多元Hawkes模型的组成部分。然后，我们将每个事务分配给一个基于其卷所在bin的组件。在表1中，我们分别报告了外滩和DAX期货的仓位选择以及每个仓位中每天的平均事件数。我们注意到，在DAX期货交易中，规模一交易的普遍性是压倒性的，它们占总交易量的60%以上。成交量（合同）平均N分数（%）成交量（合同）平均。

氮含量（%）B1 11049 31.3 1 28140 64.5B2 4979 14.1 2 7308 16.8B3 2169 6.2 3 2753 6.3B（3，7]5571 15.8（3，5]2959 6.8B（7，20]5619 15.9（5，10]1700 3.9B（20，∞) 5876 16.7（10，∞) 735 1.7表1：外滩（左）和DAX（右）未来：六维案例条件法则中每个箱子的装箱方案和每天平均事件数N程序的第一步是估计条件ALLAWS gij（t）。在图4的左面板中，我们绘制了外滩和DAX期货的对角线条件定律估计值II（t）。这些函数在极短滞后时达到最大值。特别是，我们注意到两个主峰，第一个约为100us，第二个约为300us。我们还注意到，第二个峰值往往与更大的体积更相关。另一个有趣的特性是出现了几个sharp10-510-410-310-210-1100101102103104105t（s）10-210-1100101102103104条件律G11（t）g22（t）g33（t）g44（t）g55（t）g66（t）10-510-410-310-210-1100101102103104105t（s）10-1100101102103条件律G61（t）g62（t）g63（t）g64（t）g65（t）g66（t）10-510-410-310-210-1100101102103104105t（s）10-210-1100101102103104条件律G11（t）g22（t）g33（t）g44（t）g55（t）g66（t）10-510-410-310-210-1100101102103104105t（s）10-210-1100101102103条件律G61（t）g62（t）g63（t）g64（t）g65（t）g66（t）图4：条件律估计。左列：对角线项。右：最大卷对应的行。上面的数字指的是外滩期货，下面的数字指的是AX期货。“舍入”时间值处的峰值（0.1 s，1 s，…）。这些峰值在交易量最小的情况下更为明显，很可能是自动交易和订单拆分的结果。对于大于约1秒的滞后，对角线条件定律显示指数小于1的幂律衰减。相同图形的右侧面板显示的是术语G6J（t），即。

衡量不同交易量对大型交易的影响的指标。在shortlags中，我们再次注意到前面描述的两个主要峰值。在这里，我们注意到当涉及大型交易时，第二峰值是如何更加明显的。我们将在检查内核时对此进行更多评论。核形状一旦条件律得到估计，我们就可以求解核的维纳霍普夫系统（11）。总共有36个核进行了非参数估计，每个函数φij（t）的估计值为0.5s。超出此值后，估计会变得非常嘈杂。考虑到它们的数量，在检查它们时，我们将重点放在那些对最小和最大垃圾箱的强度有贡献的因素上。在图5中，我们绘制了外滩和DAX期货的函数φ1jand和φ6JJ。首先，我们注意到，考虑到交易量确实会增加新的信息。事实上，不同大小的果仁形状明显不同。这有一个重要的结论，即将时间依赖性与大小依赖性分离的模型似乎不够充分。现在，我们检查从图5的分析中得出的最相关的事实。首先，我们注意到，大型交易的影响在较长时间内更为强烈和持久10-410-310-2t（s）0.00.20.40.60.81.01.21.41.6核值×103φ（1→1） φ（2→1） φ（3→1） φ（4→1） φ（5→1） φ（6→1） 10个-410-310-2t（s）010020300400500600内核值φ（1→6） φ（2→6） φ（3→6） φ（4→6） φ（5→6） φ（6→6） 10个-410-310-2t（s）0.00.51.01.52.0Kernel值×103φ（1→1） φ（2→1） φ（3→1） φ（4→1） φ（5→1） φ（6→1） 10个-410-310-2t（s）020406080100Kernel值φ（1→6） φ（2→6） φ（3→6） φ（4→6） φ（5→6） φ（6→6） 图5：核估计。顶部的数字是指外滩，而底部的数字是指DAX。左侧图形：影响最小体积。右侧：对应于最大体积的行。时间尺度。

因此，市场忘记大额交易比忘记小额交易需要更多的时间。这可能与这样一个事实有关，即大型交易的执行比小型交易对市场的其他部分信息更丰富。这在DAX案例中更为重要，因为大型交易尤其罕见。其次，我们观察到右图中约300us处的尖峰，即对大型交易产生影响的尖峰。这些峰值在左图中也可见，尽管它们不是主要的峰值。根据第3.3节，我们将这些峰值解释为对应于市场对某些交易者行为的反应。这与一个事实相一致，即当涉及大型交易时，300us峰值更为显著。事实上，单个代理通常不会一个接一个地执行多个大订单，我们知道交互至少需要反应时间。左图上100us处的大峰值可能是订单分割的结果，即同一交易员执行多个连续订单，或交易员遵循相同信号。实际上，我们还发现，在小尺寸对角线项φ，φ中，100us处的峰值更强，这进一步证实了顺序分裂所起的作用。在分裂时，碎片不会改变太多大小。为了完成核矩阵的分析，我们在图6中绘制了norms nij=R∞核的φij（t）dt和重标度范数▄nij=∧j∧inij=1-ui∧i。强调这两个量的不同含义很重要。

NORM nijis是由一个j型事件触发的i型事件的平均数量。因此，该数字越大，j型事件对i型事件的影响较大。BundBin 1 2 3（3，7）（7，20）>20Ri=ui∧i31.62%22.58%23.76%23.63%31.06%58.93%DAXBin 1 2 3（3，5）（5，10）->10Ri=ui∧i34.44%36.98%45.84%49.81%49.79%42.14%表2：所检查的两种资产的比率ui/λiF。所有值均以百分比为单位。重新缩放的标准表示平均强度∧iatAffactable to Exclution from component j的分数。前者有助于了解事件j的到来（按列读取）对组分i的影响更大，以及影响的数量类型i的事件应在类型j的事件之后发生（按行读取）。相反，后者告诉我们成分j（按行读取）解释了成分i的多少活动。当组分具有非常不均匀的平均强度时，两个矩阵的比较尤其相关。在外滩的情况下，这两张图片看起来非常相似，因为通过构造，所有组件的平均强度几乎相等。我们观察到，自激发占优势，其次是大体积激发。相反，DAX模型的成分具有非常不同的平均强度，第一个成分在很大程度上占主导地位。看来，对于这一小笔交易资产而言，大型交易的异常发生对其活动有着巨大的影响。然而，如此大订单的稀缺性使得当我们考虑到每种强度中可归因于其他成分激发的部分时，规模一交易显然构成了最大的金额。基线强度最后，我们检查基线强度ui的贡献。在表2中，我们报告了每个箱子的外源强度ui与平均强度∧If之间的比率。

由于核的估计值仅为t=0.5s，因此标准值可能被低估，因为忽略了尾部的贡献。考虑到这一点，尽管如此，对于这两种资产而言，大型交易似乎比其他交易更受外部驱动。DAX的外源性组分ui/λi高于外滩的，除一号交易外，所有交易的外源性组分占平均强度的40-50%。4.2签署的交易我们现在考虑交易的“签署”。如果一个市场订单击中了书的背面，我们将其标记为买入交易，而如果它击中了出价方，我们将其称为卖出交易。为了分析不同订单规模之间的相互作用，我们一如既往地根据交易量对交易进行组合。为了保持模型的整体尺寸可控，我们为每侧使用四个容量箱（买入/卖出）。表3详细说明了两项资产的装箱方案。在图7中，我们绘制了从Bund（前4个面板）和DAX（后4个面板）数据中获得的sell组件的内核，buy组件的结果几乎完全对称，因此未显示。我们再次在100us和300us处观察到两个主峰≤ 1.≤ 2.≤ 3.≤ 7.≤ 20>20≤ 1.≤ 2.≤ 3.≤ 7.≤ 20> 200.000.050.100.150.200.250.300.350.400.45≤ 1.≤ 2.≤ 3.≤ 7.≤ 20>20≤ 1.≤ 2.≤ 3.≤ 7.≤ 20> 200.000.050.100.150.200.250.300.350.400.45≤ 1.≤ 2.≤ 3.≤ 5.≤ 10>10≤ 1.≤ 2.≤ 3.≤ 5.≤ 10> 100.000.150.300.450.600.750.901.051.20≤ 1.≤ 2.≤ 3.≤ 5.≤ 10>10≤ 1.≤ 2.≤ 3.≤ 5.≤ 10> 100.000.050.100.150.200.250.300.350.40图6：内核规范。上图：外滩未来。底部：DAX未来。左图表示核范数，而右图显示了由∧j∧i归一化的核范数。当涉及大型交易时，后者更具相关性。