基于流动性的限额订单随机模拟框架

我们采用L-范数来衡量我们所考虑的基于价格和基于体积的辅助模型的差异，通常为第k个辅助模型提供dk（θ）=Dbβk，bβ*k（θ）=qkXi=1hbβkii-血红蛋白β*k（θ）ii. （17） 对于每个qk维辅助模型，k=1，K、 4.2.3多目标优化和帕累托最优的作用当我们搜索应满足多目标函数的最优参数向量θ时，在向量D（θ）：=[D（θ），…，DK（θ）]中最小化，在许多情况下，每个单独目标都不会有全局最小值。在这种情况下，可以考虑将帕累托最优的概念作为优化方法产生的单一最优值的替代方法，并参考帕累托效率边界。非正式地说，这是对解决方案的搜索，因此在搜索空间中没有任何解决方案可以单方面改进一个标准（目标函数），而不会恶化另一个标准，这在我们的估计框架的定义4中正式定义。定义4（参数解的帕累托最优优势）。考虑产生参数向量{βK}K的K辅助模型集∈{1,2，…，K}，每个都基于基础参数向量θ∈ Ohm, 对于选定的目标函数，产生值D（θ）：=[D（θ），…，DK（θ）]。然后选择θ∈ Ohm 对于可行区域中的解集，称为部分最优或（非支配）Ohm, if@eθ∈ Ohm s、 t D（eθ） D（θ），（18），其中我们说D（θ）支配D（eθ），用D（θ）表示 D（eθ），ifDk（θ）≤ Dk（eθ）K∈ {1，2，…，K}和k s.t.Dk（θ）<Dk（eθ）。

（19） 由此，我们可以陈述总体目标，包括所有K个辅助模型和基于随机代理的模型的参数向量θ的L2范数目标函数的共同选择，如下所示Bθ=arg minθ∈Ohm[D（θ），…，DK（θ）]=arg minθ∈OhmnD公司^β，^β*（θ）, . . . , D^βK，^β*K（θ）o=arg最小θ∈Ohm（qXi=1h^βii-h^β*（θ） 二, . . . ,qKXi=1h^βKii-h^β*K（θ）ii)以θL为准≤ θ≤ θU。。。，θnL≤ θn≤ θnU（20），其中[θiL，θiU]，对于所有i，表示可行区域的边界Ohm.为了完成我们提出的基于多目标间接推理模拟的估计框架的规定，我们需要一种搜索约束参数空间的方法Ohm 可行解和帕累托最优解。在这种情况下，可以使用多种随机搜索方法，参见Coelloet al.（2007）中的讨论。为此，我们提出了一种进化遗传搜索方法，在文献中称为多目标进化算法（MOEAs）。我们开发了这种随机搜索框架的一个版本，该框架结合了Deb等人[2002]广泛使用的NSGA-II遗传搜索算法，这是一种基于帕累托排序的方法，以及我们根据Peters等人[2012]开发的框架专门为协方差矩阵变异算子设计的额外变异核。这个额外的突变成分与NSGA-II的框架相结合，以确保在搜索的每个步骤中提出的随机代理LOB模型中的协方差矩阵保持正定义和对称。附录A.5中提供了该遗传搜索算法的详细信息。随机代理LOB模型评估和realLOB数据校准。我们描述了我们开发的基于随机代理的LOB模型，该模型用于建模交易交互及其依赖关系。

此外，我们还开发了一种校准模型参数以观测LOB数据的方法。在本节中，我们通过一系列旨在实际评估随机代理LOBmodel规范每个组件重要性的研究，说明了实际数据的校准结果。为了实现这一点，我们进行了大量的模型简化，并逐步放宽这些简化假设，以便了解我们提出的模型的每个特征在模拟框架中所起的作用。参考模型是我们比较模型更详细版本的基本框架，如下所述。5.1开发基线简化参考随机代理业务线模型在基于随机代理的业务线模型中，流动性提供方代理具有限额订单提交和取消组件，每个组件都需要为买卖双方指定四个独立的lt维多元斜t分布，lp=5个“被动”级别，ld=3个“直接”级别，或总oflt的积极级别=书的每一面的8个积极建模级别。对于每个随机模型组件，我们需要估计参数：m∈ Rd，平均强度向量的位置；γ∈ Rd，随机强度向量的偏度；ν∈ R+直接影响随机强度向量的重尾性，∑∈ Rd×d订单到达的随机强度向量的协方差矩阵。我们以10秒为间隔对活动进行聚合，对于所考虑资产的8.5小时交易日，我们每天的时间间隔为T=3060。基本参考模型的特点是以下模型假设：o我们假设bid和ask的相关限额订单提交分布具有公共参数值设置。

此外，还假设买卖区域的市场订单提交分布具有公共参数值设置。这与在整个交易日观察Lob任何一方的提交活动时，对大量资产的经验Lobservations是合理一致的由于绝大多数订单在执行前被取消，我们考虑取消分布的参数也与限额订单的分布相匹配我们还设置m=0，并考虑偏态向量γ，以在所有级别的bid和ASK中取一个公共值，这样γ=γ1，其中1是一个1的向量单调映射F（·），将随机变量ΓLO、k、s、ΓC、k、s、ΓMO、kinto强度随机变量∧LO、k、s、∧C、k、s、∧MO、kis转换为标准法线的CDF。这种转换是必要的，以确保强度为正，并限制事件计数对于各级限额指令活动的基线强度，我们假设双方的“被动”限额指令的强度相同，即uLO，a，1=…=uLO，a，lp=uLO，b，1=…=uLO，b，lp=uLO，p，而“激进”限制指令将具有不同的限制指令强度，即uLO，a，0=…=uLO，a，-ld+1=uLO，b，0=…=λb，-ld+1=uLO，d。市场订单基线强度在任何一侧也相等，即uMO，a=uMO，b=uMO。取消基线活动将与提交基线活动相同。o最后，我们假设订单大小不变，即所有i的OLO、k、si、t=c=OMO、kj、tf∈n1，NLO、k、sto、j∈n1，NMO、kto、k∈ {a，b}，s∈ {-ld+1，lp}和t∈ {1。

，T}。因此，基本参考模型具有以下参数向量uLO，p，uLO，d，uMO，γ，ν，σMOo，以及待估计的协方差矩阵∑。取消由动态变化的批量过程建模，即按照NC、k、st在模型中的规定，将Cox过程截断为每个级别的可用订单数|~VLO，k，st=v~P o（λC，k，st）I（NC，k，st<v），其中我们用VLO，k，st表示-1水位Liat的体积- 1，t）间隔~VLO、k、STI是在时间t到达限额订单之后，但在取消和执行之前的可用量。可以从模型中进行模拟，以获得时间t、L时LOB的状态*t、 然后计算可用交易量v，这样就可以从截短的泊松分布中得出v的截短极限。在我们开始研究基于随机代理的LOB模型及其校准和模拟行为之前，我们首先展示了代表性交易日的价差演变，以及书顶附近交易量过程的强度，图5所示为CAC40中流动性最强的股票之一，即BNPParibas。这提供了一个LOB动态的示例，我们应该在精确校准模型后恢复该动态。我们根据当天的数据估计模型，作为校准程序的说明。5.2参考模型：校准我们在表1中给出了使用本文提出的多目标II方法的估计结果。在帕累托最优前沿分布着8个非支配解，每个解都有一个相关的协方差矩阵，由于空间的考虑，这里没有包括协方差矩阵，相反，我们提供了一个摘要。

在表中，我们还提供了另外4个非支配秩为2的解，即在两个目标函数中仅由一个其他参数向量支配的参数向量。我们在图6中给出了非支配秩以及整个最终参数填充的目标函数值。我们注意到，就与这些参数向量相关的2个目标函数值而言，它们分布在帕累托前沿。我们通过将模拟结果与估计参数进行定性比较来评估fit。在图7中，对于表1中参数向量的前2个帕累托最优解，我们总结了重复模拟的价格过程，以及一整天LOB演变的示例。我们看到，这两个帕累托最优解参数向量产生了各种不同的价格轨迹，这些轨迹超越了模拟。特别是，该基本参考模型解决方案的帕累托前沿上的一些点产生了模拟价格的时间序列，该序列复制了交易活动相对波动的交易日，而帕累托前沿上的其他点则倾向于更受约束的交易模拟价格活动。为了了解这种情况是如何发生的，我们注意到这可能是由于与第二组帕累托最优解决方案相比，第一组帕累托最优解决方案中的市场订单基线率相对较高。在附录B中，我们提供了参考模型的进一步校准结果，针对多个资产，延长了15个交易日。

总结这些结果，我们表明，在我们的估计程序产生的一组解决方案中，通常有一个子集产生的模拟在价格和交易量行为方面与实际交易观察结果类似，这是我们的辅助模型相关的LOB的总结。5.3放宽参考随机代理LOB模型的假设基线模型结果令人鼓舞，但我们仍需要确定参考模型规范中的简化统计模型假设对校准性能的影响。现在将通过逐步放松假设和减少限制性模型假设来评估这一点。相对于参考模型，我们的改进标准是减少帕累托最优前沿上解的目标函数的值。我们只会建议，如果我们观察到这样的改进，就应该放松特定功能。5.3.1结合订单规模分布在我们的基本参考模型中，我们假设订单规模是恒定的，即所有限额订单提交、取消和执行来自相同数量的股份。这类似于Cont等人[2010]的模型，该模型假设所有订单都是单位规模的，他们将单位规模设置为对应于为资产服务的限制订单的平均规模。为了简化模型，抽象出订单大小方面是一种近似方法。然而，如图8所示，数据不太可能支持这种简化假设。

显然，人们注意到，不同资产的订单大小有一系列分布形状。很明显，订单规模的分布将受到诸如交易所最小订单规模（股票数量、批次或权重，取决于交易内容）等特征的影响。我们从经验上观察到，对于在多个国家交易的一系列股票，订单规模的分布在圆形图上有明显的峰值——例如，图8显示了成倍于100股的成批订单量。这似乎与提交订单的级别无关，无论是买入订单还是卖出订单，也与该期间提交订单的强度无关。因此，我们提出了一个案例研究，通过考虑一个随机模型，我们放松了固定订单规模的假设，在该模型中，我们假设订单规模来自混合分布。在这种情况下，我们假设限额和市场订单规模都是通过从以下伽马混合中取样获得的~ wγ（κ，θ）+（1- w） γ（κ，θ），i、 t，k，s（21），其中γ（O；κ，θ）=Γ（κ，θκ）Oκ-1exp-Oθ; O∈ R+，（22）具有正的形状参数κ，κ和正的尺度参数θ，θ。我们设置κ=1，κ=2，因为我们观察到在订单大小的经验分布中存在一个模式，我们估计每个混合物成分的尺度参数，以将模式放置在适当的位置。因此，我们额外估计了参数θ、θ和混合权重w。我们使用相同的设置（40个候选解决方案的参数总体和40代的进化）运行随机优化框架，并使用随机模型将松弛参考模型与订单大小的随机模型校准到参考模型fit中使用的相同数据集，即法国巴黎银行一整天的LOB数据。

我们得到了一个帕累托最优前沿，该前沿再次包含多个参数向量解，这些参数向量解分布在帕累托前沿，表明遗传搜索框架进行了成功的探索性搜索。重要的是，如图9所示，我们观察到relaxedreference模型的已实现目标函数值，我们观察到，在订单大小固定的比较基本参考模型的情况下，这明显改善了所实现的目标。图10显示了从帕累托最优前沿选择的其中两个参数向量的成交量过程的强度和模拟交易日价差的演变。与参考模型类似，在本次校准获得的不同可行帕累托最优解决方案之间，价格和交易量轨迹仍然非常灵活。5.3.2通过对参考模型进行细化，引入不对称性和偏度来限制订单强度，我们假设多变量斜t分布的偏度参数向量γ与LOB每个级别的限制订单数量和取消数量有关，并固定为公共偏度。该节约选择通过参考模型假设γLO、a=γLO、b=γ=γ和γMO=γ编码在模型中，即只有一个偏度参数，这在bid和SK的所有级别上都是通用的。该假设对参考模型中价格和成交量动态的影响现在可以通过将该特征延后并将参考模型的宽松版本校准到巴黎银行当天的数据来评估。现在我们允许γLO，a=γLO，b=γ={γLO，-ld+1，γLO，lp}=γC，a=γC，b，以便在建模限值顺序和取消数据的多元计数偏度时获得额外的灵活性。我们还允许γMO，a=γMO，b=γMOto，以便能够单独建模市场订单数据的偏斜。

这将需要估计额外的ld+lpparameters。再次，我们评估在参考模型假设中的约束放松下，帕累托最优解在最小化目标函数方面是否有所改善。表2显示，在多目标II估计方法产生的参数向量中，没有一个是偏态向量的元素彼此接近相等，这表明在多变量skew-t分布中，在bid和ask的LOB的每个级别使用具有不同偏态的偏态向量适合于校准真实数据。正如预期的那样，与参考模型相比，结合这些特性可以提高模拟随机代理LOB模型实现的模型能力和适用性，这是通过Pareto optimalfront中的解决方案实现的目标函数值来衡量的。6监管干预通过SR-ABM随机LOB代理模型建立我们基于随机代理的LOB模拟模型，我们的动机是监管机构、交易所和经纪公司越来越希望更好地理解干预在电子交易所中的作用。在这方面，整个欧洲和美国都在推行一系列新法规，以进一步管理电子交易所中交易的处理、配售和清算。《金融工具市场指令》（MiFID）旨在为欧洲经济区31个成员国的投资服务制定统一的监管。通过我们在本文中进行的分析类型，可以更好地理解MIFID的几个组成部分。