Ninomiya Victoir方案：强收敛、对偶版本和

在多层蒙特卡罗方法中，使用最新网格中修改后的Milstein格式及其对偶版本的算术平均值，以及最粗网格中的修改后的Milstein格式，得出β=2。通过这种方式，Giles和Szpruch在不模拟L’evy区域的情况下，成功地提高了方差收敛速度。准确地说，他们选择Zlas followsZGS=fXGS，1T（4.12）ZlGS=FXGS，2lT+ FXGS，2lT- FXGS，2l-1吨, L∈ {1，…，L}。（4.13）这里，XGS，2lis-th-Giles和Szpruch方案由（3.1）定义，使用时间Stepl=T/2landXGS的网格，2lis-th-Giles和Szpruch方案是通过交换方案中每个连续的成对布朗增量定义的对偶离散化。为了更精确，我们定义了两个网格，一个是带有时间步长的粗网格-1和带有时间步长hl的网格。离散化时间（tk）0≤K≤2升-1和tk公司+0≤K≤2升-1.-1由tk=khl定义-1.K∈0，2升-1., 和tk+=k级+hl公司-1.K∈0，2升-1.- 1.. 然后，在最粗糙的网格上，XGS，2l-1tk+1K∈{0，…，2l-1} 由XGS、2l感应定义-1t=x和XGS，2l-1tk+1=XGS，2l-1tk+bXGS，2l-1千吨hl公司-1+dXj=1σjXGS，2l-1千吨Wj，ctk+1+dXj，m=1σjσmXGS，2l-1千吨Wj，ctk+1Wm，ctk+1- 1{m=j}hl-1.（4.14）其中Wctk+1=Wtk+1- Wtk。同样，在最近的网格上，XGS，2ltk+1K∈{0，…，2l-1} 由XGS感应确定，2lt=x，且XGS，2ltk+=XGS，2ltk+bXGS，2ltkhl+dPj=1σjXGS，2ltkWj，ftk++dPj，m=1σjσmXGS，2ltkWj，ftk+Wm，ftk+- 1{m=j}hlXGS，2ltk+1=XGS，2ltk++bXGS，2ltk+hl+dPj=1σjXGS，2ltk+Wj，ftk+1+dPj，m=1σjσmXGS，2ltk+Wj，ftk+1Wm，ftk+1- 1{m=j}hl（4.15）其中Wftk+=Wtk+- Wtk，Wftk+1=Wftk+1- Wftk+。

对偶格式由相同的迭代方程定义，除了布朗增量Wftk+和Wftk+1已重置XGS，2ltk+=▄XGS，2ltk+bXGS，2ltkhl+dPj=1σjXGS，2ltkWj，ftk+1+dPj，m=1σjσmXGS，2ltkWj，ftk+1Wm，ftk+1- 1{m=j}hlXGS，2ltk+1=XGS，2ltk++bXGS，2ltk+hl+dPj=1σjXGS，2ltk+Wj，ftk++dPj，m=1σjσmXGS，2ltk+Wj，ftk+Wm，ftk+-1{m=j}hl.（4.16）【6】中的定理4.10、引理2.2和引理4.6确保在一些关于f和SDE系数的正则性假设下，β=2。定理4.2假设f∈ 具有有界一阶和二阶导数的C（Rn，R），b，σj∈ C（Rn，Rn），J∈ {1，…，d}，具有有界的一阶和二阶导数，并且σjσm，j、 m级∈ {1，…，d}，具有有界的一阶导数。然后：P≥ 1.C∈ R*+, L∈ N*, EZlGS公司2p级≤C2PL，其中ZLGS定义为（4.13）。说明l级中三个方案的使用情况∈ {1，…，L*} 我们选择λ=1和λl=5/2，而不是在0级的e上，L∈ {1，…，L*} . 然后，多层蒙特卡罗估计量^YGSMLMC=L*Pl=0M*lZlGS，wher e L*和M*（4.9）和（4.10）分别给出了lare，实现了复杂性O-2.. 在文献[2]中，Debrabant R¨ossler改进了多层蒙特卡罗方法，在最后一层L中使用了一个具有高阶弱收敛性的方案。虽然这种改进的方法达到了相同的复杂性，但它通过减少偏差减少了计算时间。我们可以利用Ninomiya-Victoir格式在最后一个级别L上的弱收敛阶2来遵循这个想法。更准确地说，我们建议选择ZGS=fXGS，1T（4.17）ZlGS=FXGS，2lT+ FXGS，2lT- FXGS，2l-1吨, L∈ {1。

L- 1} （4.18）ZLGS-内华达州=FXNV、2L、ηT+ FXNV，2L，-ηT+ FXNV、2L、ηT+ FXNV，2L，-ηT-FXGS，2L-1吨.（4.19）此处，XNV，2L，η（分别为XNV，2L，-η） 是Ninomiya Victoirscheme XNV，2L，η（分别为XNV，2L，-η） ，通过交换每对连续的布朗增量获得。理论3。2证明（4.8）最后一级L方差的收敛顺序为2。命题4.3我们假设f∈ 具有有界一阶和二阶导数的C（Rn，R），b∈ 具有有界一阶和二阶导数的C（Rn，Rn），σj∈ C（Rn，Rn），J∈{1，…，d}，具有有界的一阶和二阶导数以及多项式增长的三阶导数，并且σjσm，j、 m级∈ {1，…，d}，具有有界的一阶导数。然后：P≥ 1. C∈ R*+, L∈ N*, EZlGS公司-内华达州2p级≤c2plwhere ZlGS-NVI定义为（4.19）。证明：Let p≥ 1、介绍FXGS，2lT+ FXGS，2lT利用一个凸性不等式，我们得到ZlGS公司-内华达州2p级≤2p级-12便士FXNV、2l、ηT+ FXNV，2l，-ηT- FXGS，2lT2p级+FXNV、2l、ηT+ FXNV，2l，-ηT- FXGS，2lT2p！+32便士-1.ZlGS公司2p。然而XNV，2l，ηT，XNV，2l，-ηT，XGS，2lT和XNV，2l，ηT，▄XNV，2l，-ηT，~XGS，2lT具有完全相同的分布。