预期缺口下的投资组合优化：等值线图

对这种套利的幻象进行了详细分析，并在[20，21]中显示为下行风险度量的一般属性。正是这种机制解释了相边界的矛盾行为，即在图1中，当我们从右向左移动时，相边界向下倾斜：当我们降低置信水平时，即当我们保留越来越多的数据时，ES的不稳定性发生在越来越低的N/T值上。事实上，如果我们不仅包括远尾分布，还包括大部分分布，ES取负值的概率会增加，直到α=0时，它变得确定，并且相边界达到水平轴。早期的研究【19–23】主要关注ES的不稳定性、相变附近估计误差的行为，以及通过正则化控制不稳定性的可能性。在这里，我们将构建估计误差占用有限固定值的直线，即，我们提供ES估计误差的等高线图。我们还将为一个我们称之为敏感性的数量构建一组相关的等高线，该数量衡量估计ES对回报率微小变化的敏感性，以及建议作为VaR代理的另一个数量【24】。我们的一些结果将以一系列图的形式呈现，这些图可以被解读为估计误差图。为了便于对这些结果的定量理解，我们还将以表格形式给出数值结果。这些表格允许oneto确定在给定投资组合规模和给定置信水平下，保持在规定估计误差值以下所需的最小数据量。【19、20、22、23、25】中描述了我们分析结果背后的方法，但有微小变化；尽管如此，为了完整起见，我们将在附录a中提供一个简短的总结。

重要的一点是要注意，对统计样本进行平均的任务类似于随机系统理论中所谓的“猝灭平均”。因此，人们可以借用这一理论的工具，尤其是复制品的方法。复制方法非常强大，能够提供迄今为止通过任何其他分析方法都无法获得的结果。为了将我们的工作与投资组合选择中估计误差问题的扩展文献相比较，我们注意到，大多数文献都是基于对有限（经验或合成）样本的分析，结合各种降噪方法，从贝叶斯[26-28]，到收缩[29-32]，lasso[33]，随机矩阵[34-37]，以及许多其他技术。用概率论和统计学的标准工具来处理这个问题的纯理论论文集要小得多，并且涉及均值-方差优化中的估计误差[38-40]。关于投资组合优化领域的最新回顾参见【41】。关于方差以外的风险度量的估计误差问题的分析结果，除了在当前背景下应用重复性的几篇文献[19、20、22、23、25]之外，并不存在。然而，应该注意的是，复制法有一个缺点，即在推导的某一点上，必须分析地将公式从自然数集延续到实数，并且这种延续的唯一性很难验证。在统计物理中的许多类似问题中，即使在非凸代价函数更复杂的情况下，也可以构造严格的证明[42]。

虽然我们无法在这里提供如此严格的证明，但很难想象当成本函数是凸函数且只有一个最小值时，该方法如何将一个人引入歧途。然而，由于缺乏严格的数学证明，我们感到必须始终通过数值模拟来检查副本的结果，并始终找到完全一致的结果。本研究得出的主要结论是，除非长宽比/吨非常小，否则估计最优投资组合的组成及其结果ES的误差都非常大。从质量上来说，这是一个必然的结论。新颖之处在于一组定量结果，准确地显示了样本大小应该多大才能达到合理的低估计误差水平，以及这些样本大小超过了行业中实际希望获得的任何东西。结果还表明，包括更多的数据（设置较低的置信水平）也不会有帮助：相对误差的等高线在可接受的范围内，比如说5%，相当明显。所有这一切意味着，对于典型的参数值N，T，估计误差太大，以至于使portfoliooptimization变得虚幻。到目前为止，我们所说的一切都与历史估计有关。人们可能会认为参数估计对估计误差的影响较小。事实确实如此——尽管差别并没有人们所希望的那么大。在[20]中，我们通过复制技术再次推导了参数VaR和ES的相边界，发现参数ES的临界线位于历史估计的临界线之上，因此它朝着好的方向移动。在本文中，我们推广了这些结果，并构造了参数估计的countour线，它是一个给定的有限常数。

我们发现，参数估计比历史估计要求更低，这是很自然的，因为通过选择目标分布，我们将大量信息投射到估计中。然而，即使是参数估计，其收益也远远不足以使实际投资组合和样本量产生可接受的低估计误差，尽管我们将高斯分布拟合为高斯分布，以确定高斯分布生成的样本。在现实生活中，人们应该对经验数据进行厚尾分布，这项任务与估计高分位数或高于它的条件平均数一样充满不确定性。最后，谈谈正则化。处理高维统计的标准方法是使用正则化[43]，在给定的上下文中，这意味着对投资组合权重的大偏移施加一个近似值，从而减少估计误差。我们在[22,23,44]中研究了正则化对ES估计的影响。在这里，我们没有考虑可能的正则化器的影响，因为我们的主要目的是显示原始估计误差问题有多严重。我们计划在未来的出版物中继续研究各种正则化因子，我们希望在比这里考虑的i.i.d.高斯更丰富的数据生成过程中评估偏差估计误差。本文的计划如下：第二节。2我们阐述了优化ES、fixnotation的任务，并回顾了[24]如何将此问题简化为线性规划。以秒为单位。3我们确定了表征估计误差的各种数量：ES的样本内和样本外估计、相对估计误差、投资组合权重估计分布的样本平均值以及敏感性。这些是我们通过副本方法计算的数量。

副本方法的解释被归入附录A，其中最小值将给出优化问题答案的生成函数被导出为六个变量的函数，即所谓的调用者参数。决定订单参数的一阶条件以秒为单位写入。4，其中，前一节中定义的各种估计误差度量也以副本语言确定。第2.2节解释了Firstorder条件下解决方案的主要特点。解本身主要通过数值计算获得，在少数特殊情况下，可以通过分析计算深入了解方程的结构，其中的一些细节见附录B。历史估计的主要结果见第。6主要以图形形式，但也以表格形式。第7节讨论了参数估计问题，并与历史估计进行了比较。本文的大部分内容是处理估计误差问题的最简单可能实现：i.i.d.正常基础过程、全球最小投资组合的估计（忽略预期收益的约束）等。8我们依次考虑这些简化，并研究它们是否能够修改本文的主要信息。相关和非同分布但仍然是高斯的潜在波动可以很容易地适应，包括对预期回报的约束。数值模拟仍然是唯一工具的是厚尾分布问题，以及平均估计误差的误差条。这些模拟在原则上并不构成问题，但计算量非常大，因此我们仅给出几个示例。

对所有这些可能扩展的研究得出的结论是，它们可以在最简单的设置中修改所获得结果的一些细节，但不会以任何有意义的方式改变论文的主要信息。最后，以秒为单位。9我们总结了最重要的结果，并指出了当前工作可以继续的方向。2 Est的优化我们在这里考虑的简单投资组合是N种证券的线性组合，收益率xi，i=1，2。。。，N和权重wi:X=NXi=1wixi（1）将对权重进行归一化，使其总和为N，而不是通常的1。选择这种规格化的动机是，我们希望在极限N内有顺序统一的权重，而不是1/N→ ∞:NXi=1wi=N.（2）除此预算约束外，权重不受任何其他条件的约束。特别是，他们可以接受任何实际价值，即我们允许无限空头头寸。诚然，这是相当不现实的：根据机构投资者的类型，法律和/或流动性约束可能会限制甚至排除空头头寸。然而，当它们存在时，即使受到限制，也会极大地增加ES的不稳定性。禁止空头头寸将起到一个硬调节器的作用，并将消除不稳定性，至少在与ES规模相关的方面是如此。（即使在正则化之后，最优权重中的大波动也可能保持不变。）关于各种正则化器的影响的详细讨论将留给单独的出版物，这里我们重点讨论最简单、未正则化的情况，并希望显示由问题的内在不稳定性引起的估计误差。我们也没有对投资组合的预期回报施加通常的限制，因此我们正在寻找全球最低风险投资组合。

这种设置的动机是简单。对预期回报施加限制不会带来任何严重困难，也不会严重改变我们的结论（只会使其更加有力）。我们将在本文后面对此扩展进行简要评论。损失的概率`（{wi}，{xi}）=-小于阈值的X是：P（{wi}，`）=Z∏idxip（{xi}）θ(`- `（{wi}，{xi}））其中p（{xi}）是收益的概率密度，θ（x）是Heaviside函数：θ（x）=1表示x>0，否则为零。然后，置信水平α的VaR定义为：VaRα（{wi}）=min{`：P（{wi}，`）≥ α} 。（3） 预期差额是VaR分位数以外的平均损失：ES（{wi}）=1- αZ∏idxip（{xi}）`（{wi}，{xi}）θ（`（{wi}，{xi}）- VaRα（{wi}））。（4） 投资组合优化旨在找到使上述最小值受预算约束的最佳权重（2）。

相反，Rockafellar和Uryasev[24]提出将相关函数fα（{wi}）最小化，) =  +1.- αZ∏idxip（{xi}）[`（{wi}，{xi}）- ]+（5） 变量上方 权重wi:ES（{wi}）=minFα（{wi}），), （6） 式中，[x]+=（x+| x |）/2。收益的概率分布未知，因此只能对该分布进行采样，并用离散观测值的时间平均值代替（4）中的积分。Rockafellar和Uryasev【24】表明，所得目标函数的优化可以简化为以下线性规划任务：最小化成本函数(, {ut}）=（1- α） T型 +TXt=约束下的1ut（7）≥ 0 t、 ut+ +NXi=1xitwi≥ 0 t、 （8）和xiwi=N。最后，我们必须记住，在定义成本函数时，已经吸收了一个乘法因子，因此成本函数与ES-byES=E（1）相关- α） T，（9）在这个阶段，我们还没有致力于任何特定的概率分布，因此可以认为这些回报是从给定的模型分布函数中得出的，或者是在市场中观察到的。这里列出的线性规划任务将作为我们的“实验”实验室：从任意分布中提取收益，我们总是可以通过数值模拟来确定最优值。在分布为高斯分布的特殊情况下，我们也可以用解析方法来解决这个问题。3估计误差让我们首先考虑最简单的可能的投资组合优化任务：假设在时间t，i=1，2。。。Nt=1，2。。。T是i.i.d.标准正态变量，它们的数量N是固定的，但观察值的数量T是固定的，因此我们观察到了“真实”的数据生成过程。投资组合时间t的值为：Xt=Xiw（0）ixit，（10），其中投资组合权重，表示为w（0）i，如前所述，标准化为N，等式。

（2） 。如果我们针对一个非常大的样本ofi在权重上优化凸函数ES。i、 d.返回xit，通过对称性，最优权重将全部等于1：w（0）i=1 i、 （11）投资组合在一定时间内的平均回报率为零：hXti=TXitw（0）ixit→ 0，T→ ∞ （12） （我们用h…i表示给定样本上的时间平均值）。那么投资组合的真实方差将是σ（0）p=hXti=Xijw（0）iw（0）jtxtxjt=Xijw（0）iδijw（0）j=Xiw（0）i=N，（13），其中我们利用了协方差的长期平均值为：limT→∞TXtxitxjt=δij=（1如果i=j0如果i 6=j（14））作为高斯随机变量的线性组合，投资组合xt也是高斯随机变量。对于自变量，概率分布进行因式分解，因此可以很容易地计算其预期短缺：ES（0）α=expn-Φ-1（α）o（1- α）√2πσ（0）p，（15）式中Φ-1是累积标准正态分布Φ（x）的倒数=√2πZx-∞E-y/2dy（16）式（15）是ES的真实值，该值将被分配给NI.i.d.标准正常回报的一个固定长流程。现在让我们假设我们不知道真实的数据生成过程，也没有足够多的观察结果来重建它并推断ES的真实值。相反，我们有长度为T的有限样本：{xit}，i=1，2，Nt=1，2，T、 最终样本平均收益hxti=TXitwixit（17）将取决于样本。如果我们将ES优化为一个单位样本上变量XIT的函数，则最优权重不会全部相等，它们将围绕其真实值1显示一定的分布。这种分布在不同的样本中会有所不同。让我们用overbar表示样本的平均值。然后，返回hXti的样本平均值将为xti=XiTXtwixit≡Xihwixiti。

（18） 在这里，最优权重和收益都取决于样本，因此它们并不相互独立。然而，根据对称性，平均tptwixit将独立于i，sohXti=Nhwxi。（19） 给定样本下投资组合收益的方差- hXti=XijwiwjTXtxitxjt-txtxitxjt！（20） 也是一个随机变量。其样本平均值为σp，in=hXti- hXti公司≡XijwiwjCij，（21），其中Cijis是给定样本中收益的协方差矩阵。（20）中的权重应该是在agiven样本中的凸风险度量ES下优化的权重，Cijis是该样本中估计的协方差矩阵。因此（20）给出了投资组合方差的样本内估计值，以及样本内标准偏差σp乘以expn-Φ-1（α）o/（1）- α）√2π，给出了ES的样本内估计，而（21）给出了组合方差的样本内估计的样本平均值。然而，在样本估计中可能会产生严重的误导，尤其是在样本间波动较大的临界点附近。估计误差的相关度量是方差的样本外估计，其中权重仍然是样本内优化的权重，但协方差矩阵是过程的真实协方差矩阵δij。因此，投资组合的样本外方差为：σp，out=Xijwiwjδij=Xiwi=Nw。（22）该数量与权重分布的方差直接相关。如上所述，有限尺寸样本中的权重估计值与真实值1不同。