矩阵值因子模型的长期最优投资

这里，矩阵C引入了一般的相关结构，并允许其依赖于状态变量X.2.3。最优投资问题。考虑一个投资者，其偏好由概率函数U:R描述+→ 严格递增、严格凹、连续变化且满足INDA条件U′（0）=∞ 和U′(∞) = 特别是，我们特别关注具有恒定相对风险厌恶（此后CRRA）U（x）=xp/p的实用程序，0 6=p<1。从初始资本开始，该投资者在市场上交易，直到时间范围T∈ R+。她把自己财富的一部分（πt）t≤Tinto将风险资产和剩余部分转换为无风险资产。考虑到她的策略π，（2.7）和（2.8）中的价格动态意味着财富过程wπ具有动态（2.10）dWπtWπt=（r（Xt）+π′t∑（Xt）ν（Xt））dt+π′tσ（Xt）dZt。容许策略集是那些π是F适应的，并且使得Px[Wπt>0，T≤ T]=1表示所有x∈ Sd++。在下面的（A.1）中，构造了正s超鞅M，使得M Wπ是任何可容许策略π的一个超鞅。在存在这种超鞅定义的情况下，套利被排除在模型之外（参见[33]）。投资者通过选择可接受的策略，即（2.11）e[U（WπT）]，寻求最大化其终端财富在T的预期效用→ Max.在本节的其余部分，我们将重点讨论CRR的最优投资问题，并通过启发式参数推导出相关的HJB方程。为此，通过（2.12）supπ容许值确定函数v的（减少）值p（WπT）pWt=w，Xt=x=pwpev（T-t、 x），0≤ T≤ T、 w>0，x∈ Sd++。将L设置为（2.1）的最小生成器：（2.13）L：=dXi，j，k，L=1Traij（akl）\'D（ij），（kl）+dXi，j=1bijD（ij），矩阵值因子模型中的长期最优投资7，其中D（ij）=xijand D（ij），（kl）=xijxkl。

标准动态规划参数为v提供了以下HJB公式：tv=Lv+dXi，j，k，l=1D（ij）vTraij（akl）\'D（kl）v+pr+supπpπ′∑ν+dXi，j=1σCaijρD（ij）v+p（p- 1） π′∑π, t>0，x∈ Sd++，0=v（0，x），x∈ Sd++。（2.14）前面方程中的op-timizerπ可以逐点获得，并由（2.15）π（t，x；v）给出：=1.-p∑-1.∑ν+Pdi，j=1σCaijρD（ij）v（t，x），m>n1-pσ（σ′σ）-1.σ′ν+Pdi，j=1CaijρD（ij）v（t，x），m≤ n、 t>0，x∈ Sd++。定义q：=p/（p- 1） 作为p和函数Θ：Sd的共轭++→ Sd++通过（2.16）Θ（x）：=σ′∑-1σ（x）m>nmm≤ n、 x个∈ Sd++。将（2.15）中的π公式插入（2.14）中，经过长时间的计算，得出了v的以下半线性Cauchy问题：vt（t，x）=F[v]（t，x），0<t，x∈ Sd++，v（0，x）=0，x∈ Sd++。（2.17）这里，微分算子F定义为（2.18）F：=dXi，j，k，l=1A（ij），（kl）D（ij），（kl）+dXi，j=1'bijD（ij）+dXi，j，k，l=1D（ij）'A（ij），（kl）D（kl）+V，带A（ij），（kl）（x）：=Traij（akl）\'（x） ，\'A（ij），（kl）（x）：=Traij（akl）\'（十）- qρ′（aij）′C′Caklρ（x），\'bij（x）：=bij（x）- qν′σCaijρ（x），V（x）：=pr（x）-qν′∑ν（x），i，j，k，l=1。。。，d、 x个∈ Sd++。（2.19）注意，πin（2.15）和F in（2.18）根据m>n或m采取不同的形式≤ n（两种形式在m=n时重合），使用L f的定义，从（2.13）我们得到（2.20）f=L- qdXi，j=1ν′σCaijρD（ij）+dXi，j，k，l=1D（ij）(R)A（ij），（kl）D（kl）+V。在第3节中，在适当的参数假设下，证明了（2.17）的适定性，并证明了（2.17）的解V，在适当的增长约束下，是（2.12）中矩阵值因子模型的长期最优投资。此外，（2.12）的最优策略由（2.21）πTt：=π（T）给出- t、 Xt；v） ，0≤ T≤ T、 对于π（·，·；v），从（2.15）。2.4。长期收敛。

如导言所述，本文关注最优投资问题的大时间行为。CRRAinvestor的这种行为与（2.17）的遍历模拟密切相关，由λ=F[v]（x），x给出∈ Sd++。（2.22）将（2.22）的解定义为一对（λ，v），其中λ∈ R和v∈ C（Sd++；R），满足（2.22）。因为F[v]只依赖于v的导数，所以溶液中的v只能在加和常数下确定。特别是，我们对最小λ感兴趣，使得（2.22）允许一个解。在长期最优投资和风险敏感控制问题的研究中，当状态变量为E Rd，在适当的限制条件下【31，23】，存在一个最小的^λ，例如（2.22）有一个解^v，因此考虑增长率的候选缩减长期值函数为^λT+^v（x）。候选长期最优策略为（2.23）^πt：=π（Xt；^v），t≥ 0，其中π（·；^v）来自（2.15），v替换为没有时间参数的^v。现在，当状态变量是矩阵值时，下面的命题3.9确定了这种（λ，v）的存在性。比较有限和长期问题，我们有兴趣证明以下说法：声明2.7（长期收敛）。i） 定义h（T，x）：=v（T，x）-^λT- ^v（x），对于T≥ 0和x∈ Sd++。然后（T，·）→ C和h（T，·）→ C（Sd++）中的0，作为T→ ∞.这里C是一个常数， = （D（ij））1≤i、 j≤对于梯度算子，C（Sd++）中的d收敛表示Sd++中的局部一致收敛。ii）作为x的函数∈ Sd++有限期策略与长期对应策略（即limT）趋同→∞π（T，·；v）=C（Sd++）中的π（·；^v）。iii）让πTand^π如（2.21）和（2.23）所示。设wt和^W分别是从初始资本W开始采用π和^π的财富过程。