向后SDE的路径迭代

然后，通过（25），fjXj，Ej“βj+1KXk=1akj+1ηkj+1（Xj，Bj+1）#！=fjXj，KXk=1akj+1Rkj（Xj）！，（当然，在形式上，我们通过回归路径对过滤进行初始放大，假设其独立于（X，β））。将右侧经验函数（ηj，…，ηkj）投影到∈RK∧reg∧regXλ=1fjXj（λ），KXk=1akj+1Rkj（Xj（λ））-KXk=1akηkj（Xj-1（λ），Bj（λ））！，因此，我们得到▄yj（x，b）=PKk=1akjηkj（x，b），作为yj的近似值。重新标记5.1。与[13]和[3]相比，我们只需要在（25）中明确要求条件期望提前一步可用，而[13]和[3]都在理论上假设基函数形成鞅，即Ej[ηkj+1（Xj，Bj+1）]=ηkj（Xj-1，Bj）。任何人都可以通过以下方式利用附加灵活性：假设每个基函数ηkjc都可以写成乘积形式ηkj（x，b）=ηk，1j（x）ηk，2j（hj（x，b）），并假设E[βjηk，2j（hj（x，Bj））]以闭合形式可用。然后，（25）中的表达式也可以根据需要以闭合形式提供。特别是，虽然ηk，2ji的选择仅限于可以进行显式计算的函数，但我们完全可以通过因子ηk，1j（x）捕捉对过程x的更复杂依赖。在第6节的数值示例中，我们说明了基函数的这种选择。鞅极小化方法在最优停止的情况下以及在[4]和[5]中的BSDE示例中观察到，紧上解的构造可能比紧下解的构造困难得多。因此，鞅极小化方法的思想是以这样一种方式计算（24）中的系数，即输入上解所隐含的上界是最小的。

在最优停车的背景下，【9】和【2】中也提出了类似的想法。与最小二乘蒙特卡罗相比，优化现在是全局的，因此系数（24）不依赖于时间指数j。鉴于（25），每个基函数通过M{k}=0和M{k}j定义鞅- M{k}j-1=βjηkj（Xj-1，Bj）- Rkj公司-1（Xj-1） ，k=1。。。，K、 写入，Maj=KXk=1akM{K}j，j=0。。。，J、 （29）其中a=（a，…，aK）∈ RK，我们希望选择一个有效向量a*, 其中E[θup（Ma）]变为最小值。取最优鞅M的路径最优性*在（18）中，考虑到并遵循[2]f中分析的最优停止方法，我们在该最小化问题中添加了标准偏差惩罚。为了使该方法可行，需要用样本路径上的经验估计量来代替期望值和标准差。为此，我们对B的∧个最小独立副本（我们称之为“最小化路径”）进行采样，并用β（λ）和X（λ）表示沿λ次最小化路径对β和X的评估。Wethen求解论坛*= 阿格米纳∈RK公司^E[θ向上（Ma）]+γvuut∧mini- 1∧miniXλ=1θ向上（Ma；λ）-^E[θ向上（Ma）], （30）式中γ≥ 0固定，^E[θup（Ma）]=∧mini∧miniXλ=1θup（Ma；λ），θup（Ma；λ）根据（16）沿λth最小化路径进行采样。在我们的数字示例中，我们使用Nelder-Mead单纯形算法的Matlab实现来搜索*. （24）中yjas的近似值由▄yj（x，b）=KXk=1ak给出，*ηkj（x，b），j=1。。。，J、 重新标记5.2。最小化方法需要选择参数γ。在第6节给出的数字结果中，我们采用了“培训和测试”方法来调整此参数。为此，我们选择一个集合{γ，…，γL}，L∈ N、 p参数。

对于每个γl，l=1。。。，五十、 我们计算系数a的向量*γl∈ Rk根据（30）沿着∧mini的最小化路径。如果向量a*γ、 。。。，A.*γLare计算后，我们采样了一组新的∧testtest路径（b的独立副本，也独立于最小化路径）。参数γ是通过取*γl使集合{a）上沿测试路径的（30）右侧括号中的表达式最小化*γ、 。。。，A.*γL}。我们注意到，根据我们的经验，该方法的实际性能对γ的选择并不特别敏感。5.2迭代改进算法我们现在假设我们得到了形式为Y（up，0）j=Ej[θup（￠M）]和Y（low，0）j=Ej[θlow（￠r，￠M）]的输入上下解，以便控制￠r∈ A和鞅M∈ md可以沿着给定路径B，cp以闭合形式进行评估。第5.1节中的构造。为了计算（12）中的第一次迭代θ（low，1）和（20）中的θ（up，1），我们需要近似条件期望Ej[βj+1θlowj+1（￠r，￠M）]、Ej[βj+1θupj+1（￠M）]和Ej+1[θupj+1（￠M）]。在下面，我们重点讨论上解的情况，但注意下解的情况是类似的。在我们的普通蒙特卡罗实现中，我们首先对∧outindependent copies B（λout），λout=1。∧out，of B。此外，对于每个步骤j和外部路径B（λout），我们生成一个独立副本的新样本（Bi（λmid，j））i≥j+1，λmid=1。∧mid，of（Bi）i≥j+1。我们用B（λout，λmid，j）表示由（B（λout），…）给出的路径，Bj（λout），Bj+1（λmid，j），BJ（λmid，j）），它在时间j+1时从给定的外路径切换到相应的中间路径。与前面介绍的旋转类似，我们将沿路径B（λout，λmid，j）的β和θup（～M）的轨迹写入β（λout，λmid，j）和θ（up，0）（λout，λmid，j）。

沿着每条外路径，我们用增量M（1）j+1近似（21）中的摩尔分数M（1）- M（1）j=βj+1Ej+1[θ（向上，0）j+1]- Ej[βj+1θ（向上，0）j+1]，j=0。。。，J- 1，由普通Monte C arlo估计量M（1）j+1（λout）-~M（1）j（λout）=βj+1（λout）^Ej+1[θ（up，0）j+1]（λout）-^Ej[βj+1θ（up，0）j+1]（λout），其中^Ej[θ（up，0）j]（λout）：=λmid∧midXλmid=1θ（up，0）j（λout，λmid，j）^Ej[βj+1θ（up，0）j+1]（λout）：=λmid∧midXλmid=1βj+1（λout，λmid，j）θ（up，0）j+1（λout，λmid，j j）。（31）标准计算表明，当过滤被中间路径适当放大时，M（1）也是鞅。我们现在写θ（up，1）（λout），以沿着λout路径实现θup（~M（1））。按照第（28）款进行。，我们可以根据（θ（up，1）（λout））λout=1，…，计算y的新上界，。。。，∧输出。由于M（1）收敛到M（1）（沿每个外部路径），中间路径的数量收敛到n，并且由于E[θup（M（1））]≤ 根据定理4.1，相应的上界通常比由（θ（up，0）（λout））λout=1，。。。，∧out，当中间路径的数量足够大时。如果需要计算第二个迭代步骤（例如，因为曾经改进的约束区间仍然不紧），可以重复此过程，唯一的区别是我们不能假设输入鞅（现在是M（1））沿某条路径以克隆形式可用。其评估实际上需要一层嵌套模拟，如上所述。然而，在下一个迭代步骤中，必须沿中间路径而不是沿外部路径计算∧M（1），因此需要在“内部路径”中对∧的第三层进行采样。

我们不会深入讨论直接实现的更多细节，但请注意，类似地，当输入鞅M在闭合形式下不可用（例如，当我们放弃假设（25））时，必须在第一个迭代步骤中对第三层模拟进行采样。为了减少中间路径（在第一个迭代步骤中）和内部路径（在第二个迭代步骤中）的数量，我们建议在鞅增量的普通蒙特卡罗估计（31）中应用控制变量，该估计基于Ej[θupj+1（￠M）]和Ej[βj+1θupj+1（￠M）]的克隆形式表达式。在我们的实际实现中，我们按照第4节末尾的描述进行。1英寸[4]。原则上，该算法可以进一步迭代，但每个迭代步骤都会添加额外的模拟层。因此，出于实际原因，我们建议不要使用三层以上的模拟来运行该算法，而是在置信区间仍然不够紧的情况下，对输入评估的构建施加更多的影响。在下面的数值测试示例中，通过两个迭代步骤可以获得非常令人满意的95%置信区间，即使（24）中的输入近似值y是用鞅极小化方法用单个常数基函数计算的。6数字示例在本节中，我们将我们的方法应用于在资金约束条件下，即在借贷利率不同的情况下，对欧洲期权进行定价的问题。在芬兰ce文献中，这个问题可以追溯到[6]。[19] 根据最近的金融危机，强调SUCH模型的相关性。该模型也是文献中关于向后随机微分方程的突出例子，从[10]开始，并有一个成熟的数值测试案例[14、20、3、4]。我们首先设置问题并解释它是如何融入我们的框架工作的。

然后，我们给出了我们的数值结果。对于输入近似值的计算，我们提出了不同的方法，这些方法在不同程度上结合了有关问题的先验知识。根据第5节的方法，包括使用控制变量，计算上、下边界以及相应的改进。融资风险下的定价0=t<t<…<tJ=T是区间[0，T]的等距分布。有两种无风险利率Rl<Rb∈ R分别表示借贷和N风险资产，由几何布朗运动X。。。，xn带动态xn，j=xn，0exp（u-NXl=1σn，l！tj+NXl=1σn，lWl，tj），n=1。。。，N、 在tj，对于j=0。。。，J、 这里，xn，0，u∈ R、 σ是一个可逆的N×N矩阵，其条目为R和w。。。，Wn是独立的Brown-ian运动。我们考虑了对资产X……的欧式期权定价问题。。。，XN到期日为T，付款为g（X1，J，…，XN，J）。当g满足非经济增长条件时，期权收益属于L∞-J（R）。将[11]中提出的离散化方案应用于[10]中的方程（1.11），时间网格{t，…，tJ}上期权的值Y由yj=（1）给出-Rl型)Ej[Yj+1]- （u- Rl）Zjσ-11 + （Rb- Rl）（Ej【Yj+1】- Zjσ-11）-, （32）终端条件YJ=g（X1，J，…，XN，J）。在这里 := tj公司- tj公司-1对于j=1。。。，J、 1个∈ RNis avector由1和（x）组成-:= 最大值{-x、 x为0}∈ R、 此外，随机向量zjis由zn给出，j：=EjWn，j+1Yj+1, n=1。。。，N、 其中Ej[·]表示直到时间tj的多元布朗运动生成的信息的条件期望，以及Wn，j+1：=Wn，tj+1- Wn，tj。termZ公司jσ-（32）中的11表示在timetj对冲组合中风险资产的总体头寸。因此，Ej【Yj+1】- Zjσ-11是tj时银行账户头寸的近似值。

此表达式的符号确定适用的利率。取下功能Fj:RD→ R、 D=N+1，由fj（z）=（1）给出- Rl型)Z- （u- Rl）z(-0）σ-11 + （Rb- Rl）Z- Z(-0）σ-1.-,其中z(-0）：=（z，…，zN），设置bj+1=βj+1=1台，pC(W1，j+1）, ...,pC机(WN，j+1）, j=0。。。，J- 1，我们观察到递归（32）适合我们的框架。这里，pC表示截断函数，即pC（x）=-C∨ 十、∧C代表C∈ R+。请注意，Wtj+1的截断- Wtj公司~ N（0，) 在Cbecomes任意轻度 获取sm all。需要截断，因为布朗运动的增量是无界的，因此可能违反单调性假设（4）。（4）保持的充分条件是 · 最大{| Rl{|，| Rb}+C·最大{|u- Rl |，|u- Rb |}·DXd=1DXl=1（σ-1） d、l≤ 1，（33）有关这种截断误差的分析，请参见[20]。回想一下，当运行θlow的路径递归公式时，我们的算法需要凸共轭F#jof fjf，它还需要求解下界的最优性条件（13）。由于F是分段线性的，凸共轭是直接计算的，并且等于F#j≡ 0在其有效域上。此外，使用函数u:R→ RN+1驱动byu（0）（s）=（1- s) 和u（n）（s）=-（u- s）NXl=1σ-1.n、 l，n=1，N、 凸共轭的有效域是D（j，ω）F#={u（R）| R∈ [Rl，Rb]}。最后，对于everyz=（z，…，zN）∈ RN+1，r（z）=（u（Rl），z≥ （z，…，zN）σ-1u（Rb），z<（z，…，zN）σ-1溶剂r（z）z=F（z），比较（13）。基准产品对于我们的数值实验，我们考虑了[4]中讨论的例子，但为问题添加了一个非平凡的相关结构。这个例子是一个多维版本的例子，可以追溯到【14】。

我们计算欧洲看涨期权价格的上限和下限，其中，罢工和Kon是五项资产的最大值，即（x，…，x）=最大值=1，。。。，5xd- K+- 2.最大值=1，。。。，5xd- K+, 十、∈ R、 到期日T设置为三个月，即T=0.25，罢工次数为K=95和K=115。利率分别为1%和6%。对于几何布朗运动X。。。，Xwetake xd，0=100，d=1。。。，5作为起始值，选择漂移u为0.05。与[4]相反，我们不能假设X。。。，X是独立的，并考虑由σ=~σ给出的扩散矩阵σ·1 0 0 0ρp1- ρ0 0ρ0p1- ρ0 0ρ0 0p1- ρρ0 0 0p1- ρ,式中，σ=0.2。在下面的数值实验中，相关参数ρ在区间内变化[-0.3，0.3]，时间离散化J取{20，30，40}中的值。通过对参数的选择，我们观察到（33）在最粗糙的时间离散化水平J=20时适用，C=0.77。用标准差截断布朗增量√ ≈ 0.77处的0.112与截断6.88处的标准正态随机变量相同，对应于截断3·10的概率质量-12两条尾巴。通用最小化算法对于输入近似的构造，我们首先运行鞅最小化算法，使用单一且完全通用的基函数ηj（x，b）：=1，即，我们初始近似Yjby a常数和Zn，jby零，n=1，N、 然后，在第5.1节介绍的极小化方法中，我们有一个6维鞅M{1}，由M{1}0，j+1给出-M{1}0，j=0和▄M{1}d，j+1-~M{1}d，j=βd，j+1-Ej[βd，j+1]=pC(Wd，j+1）对于d=1。。。，为了计算R值系数a*, 因此，常数近似值yj（x，b）=a*对于yj，我们实施备注5.2中的“培训和测试”方法，其中∧mini=∧test=1000条路径，{γ，…，γ}={0，0.025，…，0.5}。

我们发现*, 作为Y的近似值，对于J和ρ的不同选择，范围在16到17.5之间，作为a*> 0，输入子分辨率Y（低，0）由常数控制u（Rl）构成。为了计算最多两次迭代改进的上下界，我们取∧out=1000条外部路径，∧mid=200条中间路径，d∧in=50条内部路径。从第k次改进得到的上界和下界估计量用^Y（up，k），aan和^Y（low，k），a表示。为了进行比较，我们还陈述了上界估计量^Y（up，0），0是通过选择a=0来计算的，即通过将所有鞅增量设置为零。ρ0.3-0.3J 20 30 40 30 40^Y（向上，0），018.9637（0.2243）20.5682（0.2444）22.1942（0.2720）26.1759（0.2736）29.5829（0.3217）34.2500（0.3424）^Y（向上，0），a*14.4278（0.1405）14.5533（0.1330）14.7838（0.1343）15.9557（0.1081）16.0660（0.1025）16.5631（0.0948）^Y（向上，1），a*13.1430（0.0129）13.2626（0.0133）13.3451（0.0154）14.5063（0.0127）14.6878（0.0148）14.9476（0.0136）^Y（向上，2），a*13.0461（0.0127）13.1088（0.0137）13.0919（0.0139）14.2047（0.0107）14.2452（0.0108）14.3340（0.0102）^Y（低，0），a*12.6157（0.0231）12.6281（0.0253）12.5792（0.0307）13.7919（0.0289）13.7291（0.0366）13.8283（0.0368）^Y（低，1），a*12.9915（0.0139）13.0063（0.0150）12.9703（0.0184）14.0492（0.0180）14.0000（0.0227）14.0498（0.0233）表1：基于不同时间离散的通用最小化算法的上下限。括号中给出了标准偏差。表1给出了ρ的两个不同选择的上限和下限，即ρ=0.3和ρ=-0.3。我们首先观察到u上界对输入鞅非常敏感。即使对Y的非常粗糙的常数近似进行优化，也会产生巨大的影响，例如，在负相关情况下，J=40时间步的上界比从零鞅Y（up，0），0计算的上界大一半。

尽管如此，在正相关情况下，基于最佳常数近似的95%置信区间的相对宽度在40个时间步中仍然超过20%，在负相关情况下甚至更大。在正相关情况下，一次提高上下限置信度，将95%置信区间缩小到小于3.5%的可接受相对宽度，而第二次迭代提高上限则会导致相对宽度小于1.5%。负相关性显然使问题更难用数值方法解决。但是，尽管如此，在上界的两个迭代步骤和下界的一个迭代步骤之后，最终的置信区间为95%，相对宽度小于2.5%。我们还观察到，由于鞅接近βY，cp.（18）的路径最优末日分割，因此通过改进步骤，上界估计量的经验标准偏差大幅下降。考虑到在具有非光滑系数和非平凡相关结构的五维问题中，无问题特定信息被用于构建上述置信区间，我们认为数值结果相当惊人。然而，我们注意到，与单个改进步骤相比，第二个迭代步骤将计算成本增加了∧in·（J/3）（例如，在我们的设置中，J=40个时间步骤的系数为667）。因此，我们接下来将探讨通过对输入近似的构造进行更多的努力，可以在多大程度上改进结果。非通用极小化和LSMC算法遵循[1]中关于百慕大期权在最多几种资产上定价的思想，我们现在将关于最大和第二大资产上期权价格的信息纳入函数基础。