向后SDE的路径迭代

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英文标题：
《Pathwise Iteration for Backward SDEs》
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作者：
Christian Bender, Christian Gaertner, Nikolaus Schweizer
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We introduce a novel numerical approach for a class of stochastic dynamic programs which arise as discretizations of backward stochastic differential equations or semi-linear partial differential equations. Solving such dynamic programs numerically requires the approximation of nested conditional expectations, i.e., iterated integrals of previous approximations. Our approach allows us to compute and iteratively improve upper and lower bounds on the true solution starting from an arbitrary and possibly crude input approximation. We demonstrate the benefits of our approach in a high dimensional financial application.
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中文摘要：
我们介绍了一种新的数值方法来求解一类随机动态规划，这些规划是作为倒向随机微分方程或半线性偏微分方程的离散化而出现的。数值求解此类动态程序需要近似嵌套条件期望，即先前近似的迭代积分。我们的方法允许我们从任意且可能粗糙的输入近似开始计算并迭代改进真实解的上下界。我们在高维金融应用程序中演示了我们的方法的好处。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Pathwise_Iteration_for_Backward_SDEs.pdf (290.26 KB)

2022-5-25 07:55:06 上传

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关键词：SDE Differential Applications Quantitative Expectations

反向SDEsChristian Bender、Christian G¨artner和Nikolaus Schweizer的路径迭代2018年11月10日摘要我们为一类随机动力学程序介绍了一种新的数值方法，该程序作为反向随机微分方程或半线性偏微分方程的离散化。数值求解此类动态程序需要近似嵌套条件期望，即前一近似的迭代整数。我们的方法允许我们计算并迭代改进truesolution的上下界，从任意的原始输入近似开始。我们在高维金融应用中展示了我们的方法的好处。关键词：倒向随机微分方程、动态规划、迭代改进、蒙特卡罗科目分类：65C5、65C30、49L20、93E20、93E241简介开发美式期权定价的数值方法，即最优停止问题，是计算金融领域最专业和最发达的领域之一。我们将一些已有的数值工具从最优停止推广到一类凸随机动力规划方程。应用包括后向随机微分方程（BSDE）的时间离散化方案，或者相当于[22]，非线性为凸（或凹）的半线性偏微分方程（PDE）的离散化方案。在这些问题中，数值挑战源自条件期望算子的高阶嵌套：给定时间步的近似依赖于所有未来时间步近似上的迭代积分。维数灾难使得许多数值方法在这种情况下不可行。这包括（嵌套的）蒙特卡罗的朴素实现。

当从最佳停止移动到BSDE或半线性偏微分方程时，当需要近似导数时，会出现更大的数值挑战。我们的主要贡献是一种路径迭代方法，它以动态规划方程的近似解作为输入，然后构造真解的上下界。迭代地将这些边界对应的超分辨率和亚分辨率作为输入，可以重新定义初始边界。因此，即使是粗略的输入近似值，萨兰大学数学系，Postfach 151150，D-66041 Saarbr¨ucken，Germany，bender@math.uni-某人。de；gaertner@math.uni-某人。de.感谢德意志联邦储备银行（Deutsche Forschungsgemeinschaft）在BE3933/5-1赠款下提供的财政支持。杜伊斯堡-埃森大学，洛塔斯特墨卡托管理学院。尼古拉斯杜伊斯堡D-46057 65号。schweizer@uni-到期日。de.–如常数函数–可能有助于确定高维挑战性问题的解决方案，直至确定一个紧密的置信区间。为了获得最佳的停车效果，这种构造上下边界的“原始-对偶”方法可以追溯到[21、26、25、16、1]。该方法扩展到了我们在[4，5]中设置的对流动力学规划方程，补充了[7]中的信息松弛方法，该方法提供了从最优停止到更多一般优化问题的推广。文献[8]针对上界和[18]针对下界开发了原始-对偶方法的迭代改进方法，基于文献[17，23]中早期的策略迭代技术。

我们用上下解来简化和统一他们的论点，并将其推广到最优停止之外。作为第二个贡献，我们介绍了两种新方法，一种是极小化方法，另一种是改进的最小二乘蒙特卡罗（LSMC）方法，用于计算随机动态规划方程的近似解。虽然我们主要使用这些方法作为我们改进方法的输入，但这两种方法都是独立的。在最小化方法中，我们使用路径递归构造上界，以最小化给定的一般输入上界族。文献[2，9]中提出了这种类型的方法。我们改进的最小二乘蒙特卡罗算法建立在回归后最优停止方法[13]及其推广到BSDEs的基础上，即[3]的鞅基算法。这两种方法都用近似作为基本函数的线性组合来代替真解，对于这些基本函数，可以以闭合形式进行一些计算。该方法的另一种变体对可预测的内容有更适度的要求（即可忽略的误差），从而提高了其适用性和灵活性。与最优停止和[3]中观察到的情况不同，闭式计算的一个显著好处是，当基函数的导数可用时，它们可以允许近似导数，而不会产生进一步的误差。我们改进的LSMC算法的目标是通过仅保留这些先前方法中的闭式衍生工具的可用性来获得灵活性。最小化方法和迭代改进都是按路径操作的，即逐轨迹操作。与经典的LSMC方法[21，20]相比，它们在内存约束下具有更好的大规模并行实现范围。

最近的一篇文章强调了这些问题，并介绍了LSMC的一种变体，它更适合并行化。我们确认了我们的方法在一个经典参考问题中的实际适用性，即在一个由五维Imensional Markovprocess驱动的金融市场模型中定价和融资风险。根据时间离散化，这相当于在我们的蒙特卡罗方法中，将100和200个变量与复杂的依赖结构进行积分。本文的组织结构如下：第2节介绍了背景。第3节发展了我们的次分辨率迭代方法背后的理论，即下界，而第4节提供了上界的类似结果。第5节概述了我们的数值方法，包括我们的新近似方法。第6.2节介绍了融资风险背景下的数值结果。在本文中，我们研究了完全过滤概率空间上的以下类型的凸动态规划方程(Ohm, F、 （Fj）j=0，。。。J、 P）离散时间：Yj=Fj（Ej[βJ+1Yj+1]），J=J- 1.0，YJ=ξ，（1）给定数据ξ、F和β（如下所述），其中Ej[·]表示关于Fj的条件期望。这种类型的递归方程包括用于优化停止自适应离散时间过程的动态规划方程（或者，在金融方面，百慕大期权定价问题），Yj=max{Sj，Ej[Yj+1]}，Yj=Sj，（2）参见例[18]，以及形式为Yj=Ej[Yj+1]+（tj+1）的反向随机微分方程的离散化方案- tj）Gtj，Ej【Yj+1】，EjWtj+1- Wtjtj+1- tjYj+1, YJ=ξ，（3）对于给定数据ξ和G，这里，（t。

，tJ）表示时间间隔[0，T]的划分，W是多维布朗运动（其增量可能会因实际目的而被截断），Fjis是由W到时间tJ生成的信息，关于二阶BSDE的更一般上下文中的该特定方案，请参见[11]，关于文献概述，请参见[3]。我们假设Fj：Ohm ×RD→ 对于每j=0，…，R是可测量的。。。，J-1和过程（j，ω）7→ Fj（ω，z）适用于每个z∈ RD.此外，f或每j=0，J- 1和ω∈ Ohm,地图z 7→ Fj（ω，z）在z上是凸的。此外，Fj表示每j=0，…，的（随机）多项式增长条件。。。，J-1，即存在常数q≥ 0和一个适应的非负过程α，它在Lp中(Ohm, P）对于每个P≥ 1，使得| Fj（z）|≤ αj（1+| z | q）对每个z保持P-a.s∈ RD.采用RD值过程β，并在Lp中(Ohm, P）对于每个项目≥ 1、终端条件ξ是一个FJ可测的R值随机变量，E[|ξ| p]<∞对于所有p≥ 此外，我们引入以下符号：对于m∈ N、 我们用L表示∞-（Rm）Lp中的Rm值随机变量的s集(Ohm, P）对于所有P≥ 1、在L中的Fj可测量随机变量集∞-（Rm）用L表示∞-j（Rm）。此外，L∞-ad（Rm）表示适应过程Z的集合，使得Zj∈ L∞-j（Rm）对于每j=0。。。，J、 从F上的终端条件ξ、加权过程β和多项式增长条件的积分性质出发，通过反向归纳，我们推导出（1）的（P-a.s.唯一）解Y为∞-ad（右）。下文对核心的超级和su B解决方案定义如下：定义2.1。A流程Yup（分别为Ylow）∈ L∞-如果YupJ，则将ad（R）称为动态程序（1）的上解（分别称为下解）≥ YJ（分别为YlowJ≤ YJ）且对于每个YJ=0。

J- 1它认为Yupj≥ Fj公司Ejhβj+1Yupj+1i, P-a.s.（和\'≥’ 替换为\'≤’ 对于次分辨率）。一般来说，我们不能期望超级和次分辨率Yupand Ylowto（1）是真实解Y的边界，也就是说，我们不需要有那个Yupj≥ Yj公司≥ Y每j=0，…，将P-a.s.降低一倍。。。，J、 为了确保这一点，我们在本文中采用了以下单调性假设：ForY（1），Y（2）∈ L∞-（R） 带Y（1）≥ Y（2）P-a.s.和每个j=0。。。，J- 1，它认为fj（βj+1Y（1））≥ Fj（βj+1Y（2）），P-a.s.（4）两次应用[5]中的定理4.3（首先过滤（Gj）j=0，。。。，J=（F）J=0，。。。，J、 然后用给定的过滤（Fj）J=0，。。。，J） ，我们观察到，这种单调性假设适用于以下比较原则：命题2.2。让Yupand Ylowbe super和subsolutions到（1）。然后，在给定的假设下，它认为，对于每个j=0。。。，J、 Yupj公司≥ YlowjP-a.s.以下章节中介绍的改进算法基于[1、16、25]在Bermu-dan期权定价背景下引入的原始对偶方法，并在[4]和[5]中进一步发展，用于形式（1）的动态规划方程。这种方法依赖于选择合适的鞅和控制，这些鞅和控制来自（1）的近似解，并用作构造上下解的输入。因此，我们用md表示RD值鞅集，它们是L的元素∞-ad（RD）。对于p进程Z∈ L∞-ad（RD），我们指的是Z的Doob分解的鞅部分，它是给定的-1Xi=0Zi+1- Ei【Zi+1】，j=0。。。，J、 作为Z的Doob鞅，特别是，我们得到了过程β\'Z的Doob鞅是任意\'Z的∈ L∞-ad（右）。虽然合适的鞅是上界的主要组成部分，但我们通过使用凸性技术将（1）重写为随机控制问题来推导下界。

为此，回想一下Fjis的凸共轭，对于每个ω∈ Ohm, givenbyF#j（ω，u）：=supz∈RD（uZ- Fj（ω，z）），有效域d（j，ω）F#=nu∈ 研发部F#j（ω，u）<∞o、 如下所示，问题中的容许控制集由aj=n（ri）i=j，。。。，J-1.国际扶轮社∈ L∞-i（RD），F#i（ri）∈ L∞-（R） 对于i=j，J- 1o，（5）其中j=0。。。，J- 1.3亚解的改进在本节中，我们提出了一种迭代算法，将给定的亚解改进为（1）。这种方法在某种意义上概括了[18]的思想，w提出了一种迭代方法，以改进百慕大期权定价中给定的停止时间族。本节首先回顾了[4]中的一个亚分辨率构造，然后解释如何使用它来改进任意亚分辨率。为了构造（1）的子解，我们通过以下方式将该动态规划方程线性化：通过Fj的凸性和闭性，我们根据[24]中的定理12.2，对于每个j=0，…，F##j=Fj。。。，J- 1和ω∈ Ohm. 因此，对于每j=0。。。，J- 1，ω∈ Ohm andz公司∈ RD，它认为fj（ω，z）=supu∈RDuZ- F#j（u）。（6） 从引理A.1中，我们得到了一个适应过程r的存在性*∈ A解决的问题（r*（一）Ei[βi+1Yi+1]- F#i（r*i） =Fi（Ei[βi+1Yi+1]）P-a.s.，（7）对于每个i=0。。。，J-1、我们现在在【4】的备注3.6（ii）中定义了典型的非适应性过程θlowas。为此，我们定义了一个鞅M∈ md与容许控制r∈ A、 然后，在我们的符号中，θlow：=θlow（r，M）的路径递归如下：θlowj=rjβj+1θ低j+1- RJMj+1- F#j（rj），j=j-1.0，θlowJ=ξ，（8），其中Mj+1：=Mj+1- 乔丹。通过反向归纳，我们得到θlowj∈ L∞-（R） 对于每个j=0。。。，J、 sin ce r和β在L中∞-ad（RD）和M∈ MDby假设。因此，对于每一个j=0，…，我们可以定义一个解Ylowby Ylowj：=Ej[θlowj]。。。，J

根据条件期望和（6）的塔式性质，我们观察到，ylowj=rjEjhβj+1θlowj+1i-F#j（rj）≤ Fj公司Ejhβj+1Ylowj+1i因此，根据命题2.2，我们得出结论Yj≥ YlowjP-a.s.，对于任何j=0。。。，J、 此外，[4]证明（1）的解Y是一个初始最大化问题的值，即Yj=esssupr∈AjEj[θlowj（r，M）]P-a.s.，j=0。。。，J、 实际上，每个控件r*∈ Aj满足（7）i=j，J- 1达到最大值。我们强调表达式Ej[θlowj（r，M）]处的th与M无关，因为鞅在θlow的递归中只是一个控制变量，因此通过采用条件期望而消失。然而，一个简单的计算表明，Doob鞅M*在最优控制的情况下，即对于每个j=0，…，βY作为一个不完善的控制变量。。。，它认为θlowj（r*, M*) = YjP-a.s.（9）子解的迭代改进假设我们得到一个任意的子解。接下来，我们证明（8）中过程θlow（r，M）的构造意味着次分辨率Y的改善，即r∈ A和M∈ MDwe haveYj公司≥ Ejhθlowj（r，M）i≥？YjP-a.s.对于每j=0。。。，J、 次分辨率（Ej[θlowj（r，M）]）J=0，。。。，Jis随后称之为亚分辨率的改进。下面的定理3.1解释了如何构建这种改进。此外，我们还表明，如果我们想要改进的下解Y已经与（1）的解Y一致，那么我们在ly上的构造就会陷入困境。定理3.1。让j∈ {0，…，J- 1} ，设“Y”为（1）的子解，并用“M”表示∈ β′Y的MDtheDoob鞅。进一步出租∈ Abe一个解决'riEi公司βi+1'Yi+1- F#i（(R)ri）=FiEi公司βi+1'Yi+1P-a.s.（10）对于每个i=0。。。，J- 1.

那么，对于任何M∈ MD，θlow（(R)r，M）由（8）satis fiesyi定义≥ Eihθlowi（(R)r，M）i≥ 金融机构Ei公司βi+1'Yi+1≥(R)YiP-a.s.，（11）对于所有i=0。。。，J- 1、此外，如果“Yi=Yi”对于所有i=j+1。。。，J、 thenEjhθlowj（\'r，M）i=θlowj（\'r，M）=YjP-a.s.证明。如上所述，过程（Ej[θlowj（r，M）]）j=0，。。。，Jde为任意鞅M定义了一个子解∈ MDR和r∈ A、 因此，（11）中的第一个不等式已经显示出来。（11）中的最后一个不等式是中间不等式，因为Y被假定为亚解。为了证明（11）中的剩余工程质量，我们表示θlow=θlow（\'r，\'M）。回顾Ej[θlowj（r，M）]不取决于M的选择∈ MD，必须显示θlowi≥ 金融机构Ei公司βi+1'Yi+1P-a.s.通过对i的反向归纳。断言之后是条件期望的单调性。情况i=J很简单，因为我们有θlowJ=ξ≥？YJ，按定义。现在假设这个断言对于i+1是真的∈ {1，…，J}，因此，我们有θlowi+1≥“Yi+1P-a.s.然后，根据“M”（10）的定义和归纳假设，θlowi=”ri（βi+1θlowi+1-（βi+1'Yi+1- Ei[βi+1'Yi+1]）- F#i（(R)ri）=riβi+1（θlowi+1-\'Yi+1）+Fi（Ei[βi+1\'Yi+1]）≥ Fi（Ei[βi+1'Yi+1]）。这里，不平等是归纳假设和r的积极性的结果iβi+1，这是由于函数Fi的单调性假设（4），参见文献[5]中的定理4.3]（常数全信息过滤（Gj）j=0，。。。，J=（F）J=0，。。。，J） 。为了完成证明，我们假设“Yi=Yi”对于所有i=j+1。。。，J、 因此，我们观察到（10），“对于每个i=J，…，提高最优性条件（7）P-a.s。。。，J、 此外，我们通过“M”的定义得出结论，增量“Mi+1”-对于i=j，…，具有βY的doob鞅的Micoincide。。。，J- 1.