无模型投资组合理论及其函数主公式

此外，u（t）+···+ud（t）=1这一事实是显而易见的。因此，u是定义2.6意义上的投资组合。为了证明Vu的公式，设g（x，…，xd）：=log（x+···+xd），xi>0。路径It^o公式yieldsg（S（t））- g（S（0））=Ztu（S）S（S）dS（S）-dXi，j=1Ztui（s）uj（s）Si（s）Sj（s）d[Si，Sj]（s）。根据引理2.5，右侧等于对数Vu（t）- log Vu（0），证明了这一说法。引理2.8的证明。很明显，π（t）+···+πd（t）=1。接下来，我们证明π是对数S的可容许被积函数，因此是S的组合。为此，让h与引理2.7的证明一样，因此u（t）=h（X（t）），其中X（t）=对数S（t）。请注意xh（x）∈ d+代表所有x∈ 因此，我们可以定义γ（x，a）：=log G(h（x），a），x∈ Rd，a∈ W、 那么γxi（x，a）=dXj=1xjlog G(h（x），a）hxi，xj（x）。Sincehxi，xj（X（t））=δijeXi（t）-h（X（t））- eXi（t）+Xj（t）-2h（X（t））=δijui（t）- ui（t）uj（t），我们得到π（t）：=γxi（X（t），A（t））=ui（t）xilog G（u（t），A（t））-dXj=1ui（t）uj（t）xjlog G（u（t），A（t））（4.3）是对数S的可容许被积函数。利用引理2.7，我们现在可以得出结论，π=u+eπ是对数S的可容许被积函数。现在我们证明π是对数u的可容许被积函数。为此，首先观察h（logu（t））=logPiui（t）=0。因此，hxi（logu（t））=elogui（t）-h（logu（t））=ui（t），因此h（对数S（t））=u（t）=h（对数u（t））。因此，等式（4.3）也适用于X：=logu，因此eπ也是logu的可容许被积函数。因此，只需证明u是对数u的可容许被积函数。为此，设f（x）：=eh（x），并注意fxi（x）=exi。因此f（logu（t））=u（t），因此u确实是logu的可容许被积函数。4.2无路径依赖的路径投资组合动力学在本节中，我们分析投资组合的动力学和投资组合值。

在标准的随机投资组合理论中，这些结果中的许多是众所周知的（参见，例如，[13]），但在我们的路径设置中偶尔需要额外的注意。本节中的结果将作为证明泛函主公式定理2.9的准备，但它们也是独立的。在本节中，π将是S∈ QVd+在定义2.6和Vπ的意义上，指（2.7）中给出的单位初始财富对应的投资组合价值。由于π（t）+···+πd（t）=1的条件，公式（2.7）简化为vπ（t）=expZtπ（s）s（s）dS（s）-dXi，j=1Ztπi（s）πj（s）Si（s）Sj（s）d[Si，Sj]（s）！。（4.4）在我们的投资组合理论的无模型版本中，除了协变量的存在（2.1），我们不希望对协变量的结构进行假设。特别是，我们不假设[Si，Sj]（t）在t中是绝对连续的。增长率和协方差（在[13]中可以作为函数）来考虑，因此需要作为度量来建模。定义4.1。市场中股票的协方差由正半细矩阵值Radon测度a=（aij）1描述≤i、 j≤定义为asaij（dt）：=d[对数Si，对数Sj]（t）=Si（t）Sj（t）d[Si，Sj]（t），i，j=1，d、 组合π的超额增长率定义为有符号的氡测量γ*π（dt）：=dXi=1πi（t）aii（dt）-dXi，j=1πi（t）πj（t）aij（dt）！。对于任何投资组合π，我们将单个股票相对于投资组合π的协方差定义为i，j=1，d、 τπij（dt）：=（π（t）- ei）>a（dt）（π（t）- ej）。（4.5）引理4.2。我们有log Vπ（t）=Ztπ（s）d log s（s）+γ*π（[0，t]）。证据

分别使用（4.2）、引理2.3、Vπ（0）=1的事实以及[31，定理I.6 b]和[24，定理13]中Stieltjes和F"ollmer积分的关联性，我们得到了log Vπ（t）=Ztπ（s）d log s（s）+dXi=1ZtπI（s）d[log Si]（s）-dXi，j=1Ztπi（s）πj（s）d[log Si，log Sj]（s），这意味着通过定义γ进行断言*π。将前面的引理应用于市场投资组合会产生以下结果。引理4.3。我们有以下市场权重ui.（a）d logui（t）的动态公式=ei公司- u（t）d日志S（t）- γ*u（dt）。（b） τuij（[0，t]）=[对数ui，对数uj]（t）和d[ui，uj]（t）=ui（t）uj（t）τuij（dt）。（c） dui（t）=ui（t）ei公司- u（t）d日志S（t）- ui（t）γ*u（dt）+ui（t）τuii（dt）。证据（a） ui的定义和引理2.7中Vu的公式得出对数ui（t）=对数Si（t）- log（S（t）+···+Sd（t））=log Si（t）- 对数Vu（t）- 对数（S（0）+···+Sd（0））。（4.6）使用微分和引理4.2证明了这一说法。（b） 首先，例如，从（4.6）中可以看出，logu∈ QVd。接下来，从t 7开始→ γ*u（[0，t]）是有界变化的连续变量，它具有消失的二次变化。因此，（a）和[24，备注8和命题12]意味着[对数ui]（t）=hZ·ei公司- u（s）d对数S（S）i（t）=dXk，l=1Zt（ei）k- uk（s）（ei）l- ul（s）d[对数Sk，对数Sl]（t）（4.7）=Ztu（t）- ei公司>a（dt）u（t）- ei公司= τuii（[0，t]）。极化恒等式（2.2）现在产生了（b）中的第一个主张。第二个接引理2.3。（c） 设置i（t）：=Ztei公司- u（s）d log S（S）=log Si（t）- 对数Si（0）-Ztu（s）d log s（s）和积分（a）得出ui（t）=ui（0）expI（t）- γ*u（[0，t]）. 使用t 7→ γ*u（[0，t]）是有界变化，因此具有消失的二次变化，路径It^o公式给出ui（t）=ui（0）+Ztui（s）dI（s）+Ztui（s）d[i]（s）-Ztui（s）γ*u（ds）。为了处理右侧的第一个积分，【24，定理13】的关联性规则yieldsthattrtui（s）dI（s）=Rtui（s）ei公司-u（s）d个日志。

对于第二个积分，（4.7）和Stieltjes积分的关联性【31，定理I.6 b】意味着RtuI（s）d【I】（s）=RtuI（s）τuii（ds）。这将产生（c）。下面引理的证明留给读者，因为它通过改编引理3.3中的证明直接遵循。引理4.4。对于任意一对投资组合π和ρ，我们具有以下numéraire不变性性质γ*π（dt）=dXi=1πi（t）τρii（dt）-dXi=1dXj=1πi（t）πj（t）τρij（dt）！。如果π是S的组合，并且是logu的可容许积分，则以下引理有效。引理2.4（使用logu代替log S）指出，后一个要求等同于πu是u的可容许被积函数。根据引理2.8，对于（2.11）中的功能生成的投资组合，满足了这一要求。引理4.5。假设π既是S的组合，也是logu的可容许被积函数。然后记录Vπ（t）Vu（t）=Ztπ（s）u（s）du（s）-dXi，j=1Ztπi（s）πj（s）τuij（ds）。（4.8）证明。首先，如上所述，πu是u的容许被积函数。使用引理4.3和[31，定理I.6 b]中Stieltjes积分的关联性以及F"ollmerintegral的关联性[24，定理13]得出π（t）u（t）du（t）=π（t）- u（t）d日志S（t）- γ*u（dt）+dXi=1πi（t）τuii（dt），因为投资组合权重总和为1。此外，应用引理4.4中的num'eraire不变性性质，我们得到π（t）u（t）du（t）=π（t）- u（t）d日志S（t）- γ*u（dt）+dXi，j=1πi（t）πj（t）τuij（dt）！+γ*π（dt）。另一方面，引理4.2产生thatd logVπ（t）Vu（t）= （π（t）- u（t））d对数S（t）+（γ*π- γ*u）（dt）。现在，将这些公式相互相减即可得出断言。作为定理2.9证明的准备，下面的引理进一步计算（4.8）的右侧，如果π是（2.11）中函数生成的投资组合。引理4.6。

设G如引理2.8中所示，π是G生成的投资组合，让我们写出eg（t）=（G（t），gd（t））>：=xlog G（u（t），A（t））。（4.9）然后记录Vπ（t）Vu（t）=Ztg（s）du（s）-dXi，j=1Ztui（s）uj（s）gi（s）gj（s）τuij（ds）。证据首先，我们在（4.8）中处理It^ointegral。使用速记法（4.9），π的定义（2.11）变为πi=ui（t）（gi（t）+1- u（t）>g（t）），soπ（t）u（t）=g（t）+（1- u（t）>g（t））1，其中1：=（1，…，1）>∈ Rd表示其条目均为1的向量。由于πu和g都是u的可容许被积函数，因此函数πu- g=（1- u>g）1也必须是u的容许被积函数。但>（u（t）- u（s））=所有s和t的0，因此，F"ollmer积分RT（1）的近似值（2.3）中的黎曼和- u（s）>g（s））1 du（s）必须全部消失。因此，该积分为零，因此RTπ（s）u（s）u（ds）=Rtg（s）u（ds）。为了处理（4.8）中最右边的积分，我们首先注意到τuij（dt）=aij（dt）-dX`=1u`（t）ai`（dt）-dXk=1uk（t）akj（dt）+dXk，`=1uk（t）u`（t）ak`（dt）。因此，利用u的分量之和等于1的事实，我们得到dxj=1uj（t）τuij（dt）=0，i=1，d、 （4.10）使用πi=ui（t）（gi（t）+1- u（t）>g（t）），前面的恒等式产生dXi，j=1πi（t）πj（t）τuij（dt）=dXi，j=1gi（t）gj（t）ui（t）uj（t）τij（dt）。这证明了引理。4.3定理2.9的证明设g如（4.9）所示，并使用以下事实：log G）xi，xj=Gxi，xjG- gigjthe pathwise It^oformula and引理4.3（b）yieldlogG（T，u（T），A（T））G（0，u（0），A（0）=ZTg（t）du（t）+mXk=0ZTaklog G（t，u（t），A（t））dAk（t）+dXi，j=1ZTijG（t，u（t），A（t））G（t，u（t），A（t））- gi（t）gj（t）ui（t）uj（t）τuij（dt）。将此公式与引理4.6进行比较，现在给出了断言。4.4引理2.13第2.2节结果的证明。链式法则[27，引理3.3]给出了Vπ∈ C1,2c（Rd+，W×R）和XVπ（t，X，（A，Bπ））=ξ（t，X）。因此，ξ确实是Rd+上的可容许被积函数。

接下来，再次应用链式法则[27，引理3.3]给出ijVπ（t，X，（A，Bπ））=iξj（t，X）=Vπ（t，X，（A，Bπ））Xi（t）Xj（t）(ijF）（t，log X，A）+πi（t，log X）πj（t，log X）- δijπi（t，log X）andDiVπ（t，X，（A，Bπ））=Vπ（t，X，（A，Bπ））DiF（t，log X，A），i=0，m、 Dm+1Vπ（t，X，（A，Bπ））=-Vπ（t，X，（A，Bπ））。函数It^o公式、公式（2.5）和Stieltjes积分的关联性现在给出（2.15）。引理2.14的证明。函数H（t，X）：=log（eX（t）+····+eXd（t））显然属于C1,2c（Rd，),我们有u（t，X）=XH（t，X）。因此，u确实是一个可容许的函数被积函数。u+···+ud=1也是很清楚的。接下来，我们认为Ztu（s，log s）d log s（s）=Ztu（s）d log s（s）。（4.11）也就是说，功能It^ointegrantu（s，log s）d log s（s）与市场投资组合u（t）相对于log s的F"ollmer积分相一致。（这一事实并不完全明显，因为两个指数都定义为不同“黎曼和”的各自限值）。为了证明（4.11），请注意dh（t，X）=0和ijH（t，X）=iuj（t，X）=δijui（t，X）- ui（t，X）uj（t，X），（4.12），其中δij再次是克罗内克三角洲。因此，Ztu（s，log s）d log s（s）=H（t，log s）- H（0，对数S）-dXi，j=1Ztδijui（s）- ui（s）uj（s）d[对数Si，对数Sj]（s）=Ztu（s）d对数s（s），其给出（4.11）。恒等式（4.11）和[24，命题12]反过来暗示Zu（s，log s）d log s（s）（t） =dXi，j=1Ztui（s）uj（s）d[log Si，log Sj]（s）=dXi，j=1Ztui（s，log s）uj（s，log s）d[log Si，log Sj]（s），这就完成了u是功能组合的证明。最后，从DH（t，X）=0和（4.12）可以看出，在引理2.13中定义的Bu，F：=H同样消失。因此，lemmayields提出了Vu的公式。引理证明2.15。LetΓ（t，X，A）：=对数G（t，u（·，X），A）。

链式法则【27，引理3.3】意味着∈ C1,2c（Rd，W）及其ITH垂直偏导数由下式给出iΓ（t，X，A）=dXj=1gj（t，u（·，X））iuj（t，X）（4.13）=ui（t，X）gi（t，u（·，X））-dXj=1uj（t，X）gj（t，u（·，X））= πi（t，X）- ui（t，X），其中我们在第二步中使用了（4.12）。因此，π- u是Rd上的可容许函数被积函数。最后，通过引理2.14，u和π是Rd上的可容许函数被积函数。我们还需要在证明递减引理时引入泛函Γ的第二个垂直导数。引理4.7。对于引理2.15中的G和Γ（t，X，A）=log G（t，u（·，X），A），我们有ijΓ=dXk，`=1`kGGu`ukuj- δj`ui- δik- πiπj+uiuj+δij（πi- ui）。（4.14）证明。使用（4.13）和链式法则【27，引理3.3】，我们发现ijΓ（t，X，A）=jdXk=1gk（t，u（·，X））iuk（t，X）=dXk=1dX`=1`gk（t，u（·，X））ju′（t，X）iuk（t，X）+gk（t，u（·，X））ijuk（t，X）.到（4.12），我们已经juk=δjkuk- ukujand因此ijuk=ukδikδjk- ukuiδkj- ujukδki- ukuiδij+2uiujuk。因此，当eπ=π时- u，dXk=1gkijuk=δijui- uiujgi公司-dXk=1gkuk- uiujgj公司-dXk=1gkuk= eπiδij- ujeπi- uieπj.此外，`gk公司=`千克- g`gk和sodXk，`=1`gk公司ju`iuk=dXk，`=1`千克δj′u`- u`ujδikuk- ukui- uiujgi公司-dXk=1gkukgj公司-dXk=1gkuk.将所有内容放在一起，经过一小段计算后即可得出断言。定理2.16的证明。在引理2.13中，我们考虑泛函Vπ和Vu。如表2.15所示，Bu=0，vu（t，X）=expH（t，对数X）- H（0，对数X）,式中，H（t，X）=log（eX（t）+····+eXd（t））。此外，引理2.15的证明表明π=X（Γ+H），其中Γ如引理4.7所示。因此，引理2.13，logVπ（T）Vu（T）= Γ（T，log S，A）- Γ（0，对数S，A）- Bπ（T）=对数G（T，u，A）G（0，u，A）- Bπ（T）。因此，仍然需要计算Bπ（T）。

通过（2.14），（4.12）和（4.14），我们得到dBπ（t）+h（dt）=dXi，j=1(ijΓ）（t，log S，A）+(ijH）（t，log S）+πi（t，log S）πj（t，log S）- δijπi（t，log S）d[对数Si，对数Sj]（t）=dXi，j，k，`=1(`kG）（t，log S，A）G（t，log S，A）u`（t）uj（t）- δj′u′（t）uk（t）ui（t）- δikuk（t）d[对数Si，对数Sj]（t）。回顾符号aij（dt）=d[对数Si，对数Sj]（t）和τu\'k（dt）=Pdi，j=1（uj- δj`）aij（ui- δik）以及引理4.3得出的d[u`，uk]（t）=u`（t）uk（t）τ'k（dt）这一事实，我们最终得出所需的恒等式Dbπ（t）+h（dt）=-g（dt）.4.5命题3.1的函数导数链规则证明，[27，引理3.3]，logbG∈ C1,2c（U，), 其垂直导数如下所示：ilogbG（t，X）=λbG（t，X）ДxiλX（t）+1- λθZtt-θX（0∨ s） ds公司. （4.15）当在X=u时评估该表达式时，它等于gi（t）。因为我们知道u（t）=u（t，log S），所以等式（3.3）如下。在这个证明的后面，我们还需要水平导数logbg（t，X）。由（A.2）得出，由dlogbg（t，X）=1得出- λθbG（t，X）dXi=1ДxiλX（t）+1- λθZtt-θX（0∨ s） ds公司Xi（t-) - Xi（0∨ （t）- θ）-),我们把X（0-) = X（0）。因此，DlogbG（t，u）=1- λλdXi=1gi（t）αi（t），（4.16）类似于引理2.14的证明，有必要建立identityZtbπ（s，log s）d log s（s）=Ztπ（s）d log s（s）（4.17），从而得出bπ满足（2.12），因此是一个功能组合。为此，回想引理2.15的证明，bπ（t，X）=XΓ（t，X）+XH（t，X），其中Γ（t，X）=logbG（t，u（·，X）），H（t，X）=H（X）（对于H（X）=log（ex+···+exd）。因为我们已经从Lemma 2.14的证明中知道XH（s，log s）d log s（s）=Rtu（s）d log s（s），足以显示ztXΓ（s，log s）d log s（s）=Ztxγ（log S（t），α（t））d log S（S），（4.18），其中γ（x，a）=log G(xh（x），a）与引理2.8的证明相同。

函数It^o公式意味着（4.18）的左侧由Γ（t，log S）给出- Γ（0，对数S）-ZtDΓ（s，log s）ds-dXi，j=1ZtijΓ（s，log s）d[log Si，log Sj]（s）。很明显，我们有Γ（t，log S）=γ（log S（t，α（t））。此外，引理4.7意味着ijΓ（t，log S）=γxi，xj（log S（t），α（t））。接下来，功能衍生物的链式法则[27，引理3.3]得出dΓ（t，X）=（DlogbG）（t，u（·，X））+dXi=1(ilogbG）（t，u（·，X））Dui（t，X）=（DlogbG）（t，u（·，X）），因为Dui=0。与（4.16）一起，我们得到dΓ（t，log S）=1- λλdXi=1gi（t）αi（t）。（4.19）通过γ的It^o公式（log S（t），α（t）），在（4.18）的右侧重新书写F"ollmer积分，并将所有内容放在一起，从而得出（4.18）。接下来，通过我们在这个证明中已经完成的计算，很明显H（[0，T]）=-ZTGa（u（t），α（t））G（u（t），α（t））dα（t）=-1.- λλdXi=1ZTgi（t）αi（t）dt=-ZTDbG（t，u）G（t，u）dt，G（[0，t]）=-dXi，j=1ZTGxi，xj（u（t），α（t））G（u（t），α（t））d[ui，uj]（t）=-dXi，j=1ZTijbG（u（t），α（t））bG（u（t），α（t））d[ui，uj]（t）=-λdXi，j=1ZTДxi，xj（λu（t）+（1- λ） α（t））Д（λu（t）+（1- λ） 此外，由于G（u（t），α（t））=bG（t，u），定理2.9和2.16暗示Vπ（t）=Vbπ（t）。备注4.8。如前所述，处理函数路径It^o计算的一个主要困难是，路径It^o积分不再是普通Riemann和asin（2.3）的极限。相反，近似“黎曼和”（A.5）中的被积函数涉及积分器路径的近似。Ananova和Cont【1，定理3.2】对被积函数和积分器都提供了很强的正则性假设，以保证（A.5）可以被普通黎曼和代替。

在这种情况下，值得注意的是，在特例（4.11）和（4.17）中，我们可以在没有[1]中要求的积分器正则性条件的情况下获得类似的结果。关于路径It^o演算的附录为了方便读者，我们在此简要概述了由Dupire【7】和Cont及Fournier【3，4】开发的路径功能It^o演算的定义和符号。我们的表述和符号接近[27]。在续集中，我们定义了T>0和开集U RdandV公司 Rm。斯科罗霍德空间D（[0，T]，U）将配备最高标准kXk∞=supu公司∈[0，T]| X（u）|。对于X∈ D（[0，T]，U）和T∈ [0，T]，设Xt=（X（T∧ s） ）s∈[0，T]表示T中停止的路径。A函数F：[0，T]×D（[0，T]，U）×CBV（[0，T]，V）7→ 如果F（t，X，A）=F（t，Xt，At）表示所有（t，X，A），则称为非预期∈ [0，T]×D（[0，T]，U）×CBV（[0，T]，V）。