无模型投资组合理论及其函数主公式

这些是C2,1-函数，可能取决于市场组合的当前组成u（t）和某些其他路径A（t），（局部）有限变化的Am（t）。这些额外路径的示例包括时间，A（t）=t，运行最大值，Aj（t）=最大值≤tSi（s），移动平均值，Ak（t）=θRtt-θSi（0∨ s） ds，或实现的二次变化，A`（t）=[Si]（t）；另请参见第3节。我们表示为D Rdand let中的标准单纯形d+：=D∩ Rd+。引理2.8。让V d+和W Rmbe开集，G是C2,1（U，W）中的严格正函数，andA:[0，∞) → 一个连续函数，其对紧区间的限制是有限变化的。那么πi（t）=ui（t）+ui（t）xilog G（u（t），A（t））-dXj=1ui（t）uj（t）xjlog G（u（t），A（t）），1≤ 我≤ d、 （2.11）是S的投资组合，称为G生成的投资组合。此外，π是logu的容许积分，其中logu（t）：=（logu（t），logud（t））的定义类似于log S。以下定理将“主方程”从Fernholz[9]和Strong[29]扩展到严格的路径设置。定理2.9（路径主方程）。对于引理2.8中的G，G生成的投资组合π相对于市场投资组合的相对财富由以下主方程log给出Vπ（T）Vu（T）= 日志G（u（t），A（t））G（u（0），A（0））+ g（[0，T]）+h（[0，T]），0≤ T<∞,其中（可能有符号的）氡测量值g和h由g（dt）给出：=-dXi，j=1Gxi，xj（u（t），A（t））G（u（t），A（t））d[ui，uj]（t）和h（dt）：=-mXk=1Gak（u（t），A（t））G（u（t），A（t））dAk（t）。2.2路径依赖型投资组合的主公式本节的目标是将路径投资组合理论从第2.1节扩展到路径依赖型投资组合，并证明相应的主公式。

我们在这里遇到的主要困难是，路径It^o积分不再是（2.3）中普通黎曼和的极限。相反，近似“黎曼和”（A.5）中的被积函数涉及积分路径的近似。因此，要么需要像[1，Theorem3.2]中那样做出强正则性假设，以便能够用标准黎曼和替换（A.5），要么保留被积函数中的函数依赖性。在这里，我们走后一条路。它需要一种不同于我们用来证明定理2.9的证明策略。让我们∈ QVd+，并从附录中回顾pathwisefunctional It^o演算的基本定义和符号。为了保持符号简单且接近[7、3、27]，我们将在后续工作中确定时间范围T>0。很容易将我们的结果推广到T=∞ 通过使用本地化。用D（[0，T]，U）表示U值cádlág函数的一般Skorokhod空间。对于开集V Rmand a非预期泛函F:[0，T]×D（[0，T]，U）×CBV（[0，T]，V）→ R、 我们表示byDF，Dmft（A.1）中定义的相应水平导数和XF=(如果）i=1，。。。，D（A.3）中定义的垂直衍生工具，前提是存在所有这些衍生工具。F的第二部分垂直导数将表示为ijF公司。我们还需要C1,2c（U，W）空间，其定义见附录。以下定义基于【1】中的建议。定义2.10。让U Rdbe是一个开放集。

A泛函ξ：[0，T]×D（[0，T]，U）→ 如果存在m，则称为U上的容许函数被积函数∈ N、 开集W Rm，A∈ CBV（[0，T]、W）和F∈ C1,2c（U，W），使得ξ（t，X）=XF（t，X，A）用于t∈ [0，T]。如果ξ是U上的容许泛函被积函数 Rdand和X∈ QVdis U值，则ξ（t，X）对X的积分可通过（A.5）确定。此外，可以表明T 7→Rtξ（s，X）dX（s）是一个连续函数[27，引理3.1（c）]。定义2.11。如果π（t，X）+···+πd（t，X）=1，则Rdis上的可容许函数被积函数π称为函数组合∈ [0，T]和X∈ D（[0，T]，Rd）和if T 7→Rtπ（s，log s）d log Sadmits二次变化Zπ（s，log s）d log s（t） =dXi，j=1Ztπi（s，log s）πj（s，log s）d[log Si，log Sj]（s）（2.12）与没有路径依赖的情况相比，（2.12）的有效性不再是路径依赖设置中的优先项，这就是为什么（2.12）被作为要求包含在前面的定义中。关于S和π（2.12）成立的充分条件，请参见[1，定理2.1]。备注2.12。如果π是一个功能组合，那么π（t，log Y）Y（t）：=π（t，log Y）Y（t），πd（t，log Y）Yd（t）>, Y∈ D（[0，T]，Rd+）是Rd+上的可容许函数被积函数，我们有以下变量变化公式：Ztπ（s，log s）D log s（s）=Ztπ（s，log s）s（s）dS（s）-dXi=1Ztπi（s，log s）（Si（s））d[Si，Si]（s）。这源于[27，推论2.1]。

此外，（2.5）和Riemann–Stieltjes积分的关联性（参见，例如，[31，定理I.6b]）产生了恒等式ZtπI（s，log s）πj（s，log s）d[log Si，log Sj]（s）=ZtπI（s，log s）πj（s，log s）Si（s）Sj（s）d[Si，Sj]（s）。如果π是一个功能性投资组合，我们可以类比（2.6）和（2.7）定义相应的组合价值，单位初始财富asVπ（t）：=expZtπ（s，log s）d log s（s）+dXi，j=1Ztδijπi（s，log s）- πi（s，log s）πj（s，log s）d[对数筒仓Sj]（t）！=expZtπ（s，log s）s（s）dS（s）-dXi，j=1Ztπi（s，log s）πj（s，log s）Si（s）Sj（s）d[Si，Sj]（s）！（2.13）其中δij是Kronecker三角洲，其中我们使用备注2.12作为第二个恒等式。然而，在我们的路径依赖环境中，与引理2.5类似，Vπ（t）可以作为自我融资交易策略的财富，这并不明显。对于这样的语句，需要Vπ的函数扩展。引理2.13。对于函数组合π，设W Rmbe开放式，F∈ C1、2c（Rd、W）和A∈CBV（[0，T]，W）是π（T，X）=XF（t、X、A）。X的定义∈ D（[0，T]，Rd+）Vπ（T，X，（A，Bπ））：=expF（t，对数X，A）- F（0，对数X，A）- Bπ（t）,式中，对于A（t）=t，Bπ（t）=mXi=0ZtDiF（s，log s，A）dAi（s）（2.14）+dXi，j=1Zt(ijF）（s，log s，A）+πi（s，log s）πj（s，log s）- δijπi（s，log s）d[对数Si，对数Sj]（s）。然后Vπ∈ C1,2c（Rd+，W×R），泛函ξ：[0，T]×D（[0，T]，Rd+）→ 通过ξi（t，X）=πi（t，log X）Vπ（t，X，（A，B））Xi（t），i=1，d、 是Rd+，and Vπ（t，S，（A，Bπ））=1+Ztξ（S，S）dS（S）=Vπ（t）上的可容许被积函数≤ T≤ T（2.15）我们还需要对市场组合进行以下功能扩展。对于X∈ D（[0，T]，Rd），让ui（T，X）：=eXi（T）eX（T）+···+eXd（T），i=1，d、 （2.16）然后u（t，X）∈ d+，和u（t，log S）等于引理2.7中的市场组合u（t）。引理2.14。

功能u是一个功能组合，Vu（t，X，Bu）=eX（t）+···+eXd（t）eX（0）+···+eXd（0），X∈ D（[0，T]，Rd）。下面的引理将引理2.8扩展到我们当前的函数设置。引理2.15。让U d+和W∈ Rmbe开放集。对于严格正G∈ C1,2c（U，W）和A∈ CBV（[0，T]，W）we letgi（T，X）：=ilog G（t，X，A）。（2.17）然后πi（t，X）：=ui（t，X）1+gi（t，u（·，X））-dXj=1uj（t，X）gj（t，u（·，X））（2.18）是Rd上满足π+···+πd=1的可容许被积函数。如果π由（2.18）satifies（2.12）定义，那么它是一个函数投资组合，将被称为G生成的函数投资组合。现在我们可以陈述定理2.9的路径依赖版本。定理2.16。（路径相关路径主公式）设G和π如引理2.15所示，并假设（2.12）成立。此外，Vπ如（2.13）所示，Vu为市场投资组合u的投资组合值（2.10）。然后记录Vπ（T）Vu（T）= 日志G（T，u，A）G（0，u，A）+ g（[0，T]）+h（[0，T]），0≤ T<∞,式中，对于A（t）：=t，g（dt）：=-dXi，j=1ijG（t，u，A）G（t，u，A）d[ui，uj]（t）和h（dt）：=-mXk=0DkG（t，u，A）G（t，u，A）dAk（t）。3示例在本节中，我们将讨论一类示例以及实证分析。一般思路是使用市场投资组合u（t）及其移动平均值（由α（t）=θZtt定义）的凸组合的投资组合生成函数-θu（0∨ s） ds，其中θ>0。然后，投资组合生成函数的形式为Д（λu（t）+（1- λ） α（t）），其中ν是一个严格正且两次连续可微的函数，定义在d+。可以在第2.1节和第2.2节的上下文中考虑。在第一节中，α（t）可被视为有界变化的额外组成部分，因此我们可以使用函数g（u（t），α（t））=Дλu（t）+（1- λ） α（t）.

（3.1）然而，在第2.2节的背景下，我们可以考虑依赖于u通过α路径的非预期功能性LBG。为了使后一个想法更精确，我们让X∈ D（[0，T]，U），bG（T，X）：=ДλX（t）+1- λθZtt-θX（0∨ s） ds公司.然后bg∈ C1,2c（U，) andG（t，u（t））=bG（t，u）。（3.2）以下命题特别指出，两个描述（3.1）和（3.2）导致相同的结果。提案3.1。设π（t）是由（3.1）中的函数G和（3.2）中bg的2.15中的bπ（t，X）生成的投资组合。那么，forgi（t）：=λνxiλu（t）+（1- λ） α（t）^1λu（t）+（1- λ） α（t）, i=1，d、 我们有bπi（t，log S）=πi（t）=ui（t）1+gi（t）-dXj=1uj（t）gj（t）. （3.3）此外，bπ满足（2.12），因此是一个功能组合。此外，我们有Vπ（T）=Vbπ（T）和logVπ（T）Vu（T）=^1λu（T）+（1- λ） α（T）^1λu（0）+（1- λ） α（0）+ g（[0，T]）+h（[0，T]），（3.4），其中h（[0，T]）=-1.- λλdXi=1ZTgi（t）αi（t）dtg（[0，t]）=-λdXi，j=1ZTДxi，xj（λu（t）+（1- λ） α（t））Д（λu（t）+（1- λ） α（t））d[ui，uj]（t）（3.5）在以下示例中，我们根据经验分析了Д的特定选择情况。为此，可以方便地使用简写符号eui（t）=λui（t）+（1- λ） αi（t）i=1，d、 例3.2（几何平均值）。考虑Д（x）=Qdi=1x1/di，其生成组合πi（t）=1+λdeui（t）-dXj=1λuj（t）deuj（t）！ui（t），i=1，d、 （3.6）根据命题3.1，我们有，δij再次表示Kroneckerδ，g（[0，T]）=λ2ddXi，j=1ZTdXi=1δij（eui（T））-deui（t）euj（t）！d[ui，uj]（t）h（[0，t]）=-1.- λddXi=1ZTαi（t）eui（t）dt。在图1和图2中，我们展示了对此类几何加权投资组合的实证分析结果，参数θ=60天，λ=0，7。我们使用了ReutersDatastream的股票数据库，并考虑了2015年5月DAX的30支股票。

我们的30个时间序列代表这些股票在2005年1月31日至2015年5月15日期间的每日收盘价，我们沿着相应时间点形成的有限分区进行工作。在图1中，我们可以看到投资组合（3.6）相对于该股票指数的相对表现。在图2中，我们根据主方程（3.4）在左侧面板中看到了曲线的分解。蓝色曲线是生成函数的变化，而红色和绿色曲线是各自的漂移项。每条曲线显示了由资本利得和损失引起的相应数量每日变化的累积值。可以看出，累积二阶漂移项在这一时期占主导地位，对相对收益的总贡献约为15%。二阶漂移项在所考虑的时期内相当稳定，但在2008年金融危机期间除外。图1：几何平均主公式（3.4）的LHS与RHS图2：几何平均主公式（3.4）的RHS分量表示例3.3（函数多样性加权）。这里取p∈ （0、1）和Д（x）=Pdi=1xpi1/p，生成权重为πi（t）=1+λ（eui（t））p的投资组合-1Pdk=1（euk（t））p-dXj=1λuj（t）（euj（t））p-1Pdk=1（euk（t））p！ui（t），i=1，d、 （3.7）根据命题3.1，我们得到g（[0，T]）=λ（1- p） dXi，j=1ZTδij（eui（t））p-2Pdk=1（euk（t））p-（eui（t））p-1（euj（t））p-1.Pdk=1（euk（t））pd[ui，uj]（t）h（[0，t]）=-ZT1- λPdk=1（euk（t））pdXi=1（eui（t））p-1αi（t）dt。对于多样性加权投资组合的实证分析，我们再次使用路透社数据流获得我们的数据库；2015年5月，我们考虑了207只标普500指数成分股。我们的207个时间序列代表1973年2月2日至2015年4月2日期间的月平均价格。

使用参数θ=12个月、λ=0、6和p=0、1对投资组合（3.7）进行模拟的结果如下所示。图3显示了该投资组合相对于该过滤指数的相对表现，图4显示了其根据主方程（3.4）在三个组成部分中的分解。每条曲线表示资本利得和损失在相应数量中引起的每月变化的累积值，但与例3.2相比，现在是生成函数中的累积变化在这一时期产生了主导部分，对相对回报的总贡献约为70个百分点。二阶漂移项在此期间相当稳定，总贡献率约为30%，而水平漂移项的贡献率为负。图3：多样性加权主公式（3.4）的LHS与RHS图4：多样性加权主公式（3.4）的RHS组件表示例3.4（函数熵加权）。这里取ν（x）=-Pdi=1xilog xi，它生成权重为πi（t）=1的投资组合-λlog（eui（t））Д（eu（t））+dXj=1λuj（t）log（euj（t））Д（eu（t））！ui（t），（3.8）和相关漂移率g（[0，t]）=-λdXi=1ZTД（eu（t））eui（t）d[ui，ui]（t），h（[0，t]）=（1- λ） dXi=1ZT1+对数eui（t）Д（eu（t））αi（t）dt。使用与例3.3相同的数据集，我们针对过滤指数对投资组合（3.8）进行了实证分析，参数θ=6个月，λ=0，9，分别如图5和图6所示。请注意，与经典Fernholz设置中的熵加权投资组合相比（参见[13，示例11.1]），附加漂移项h（[0，T]）可以是正的或负的。

从这个意义上讲，水平漂移项h（[0，T]）可以被视为量化了跑赢大盘和更一般框架内更大灵活性之间的权衡。这也得到了实际市场数据的支持，如图5和图6所示。实际上，累积二阶漂移项正在不断增加。此外，水平漂移项似乎对熵权投资组合的相对绩效没有太大影响，总贡献率不到1个百分点。因此，熵权应在考虑的时间间隔内显著优于市场，这在图5的案例研究中得到证实。图5：熵权重主公式（3.4）的LHS与RHS图6：熵权重主公式（3.4）的RHS组件表示4证明。引理的证明来自第2.1节引理的证明。我们首先让Z：[0，∞) → R+是任何连续路径。根据[28，命题2.2.10]，Z∈ QV+if且仅记录Z∈ QVand，在这种情况下，[对数Z]（t）=ZtZ（s）d[Z]（s）。（4.1）现在假设S∈ QVd+。根据极化恒等式（2.2），我们可以得出以下结论：∈ QVd，如果我们可以证明f（Si（t），Sj（t））属于所有i，j的qvf，其中f（x，x）：=log x+log x。应用于f（Si（t），Sj（t））的沿路径It^o公式得出f（Si（t），Sj（t））=f（Si（0），Sj（0））+Ztf（Si（s），Sj（s））dSi（s）Sj（s）+Xk，`=1Ztfxk，x`（Si（s），Sj（s））d[Sk，s`]（s）。[24]中的备注8和命题12现在暗示f（Si，Sj）∈ qv二次变量[f（Si，Sj）]（t）=Xk，`=1Ztfxk（Si（s），Sj（s））fx`（Si（s），Sj（s））d[Sk，s`]（s）=ZtSi（s）d[Si]（s）+ZtSj（s）d[Sj]（s）+2ZtSi（s）Sj（s）d[Si，Sj]（s）。因此，日志S∈ QVdand（2.5）现在是（2.2）和（4.1）之后的版本。日志S∈ QVDS意味着∈ QVd+后面是一个类似的参数，其中对数被指数函数替换。引理2.4的证明。

设X：=记录S并写入exp（X），用于包含组件eX，eXd。也就是说，exp（X）=S。现在假设π是X的可容许被积函数，并且T>0。然后存在n∈ N、 开放集合U RDV和V Rn，函数f∈ C2、1（U、V）和A∈ CBV（[0，T]，V）使得X（T）∈ U和ξ（t）=0的xf（X（t），A（t））≤ T≤ T我们让g（z，a）：=f（log z，a）。然后g∈ C2,1（eU，V）对于开放集eU={exp（x）| x∈ U} 和gzi（z，a）=fxi（log z，a）/zi。因此，gzi（S（t），A（t））=πi（t）/Si（t），i=1，d、 是S的可容许被积函数的分量。Converse断言如下所示。为了证明公式（2.6），我们使用了F"ollmer的路径It^o公式，该公式的yieldsd log Si（t）=Si（t）dSi（t）-2Si（t）d[Si]（t）。（4.2）因此，结合性规则【24，定理13】暗示了（2.6）。引理2.5的证明。从引理2.4中可以清楚地看出，（2.7）中的It^o积分定义得很好。此外，（2.7）中最右边的两个积分以Riemann–Stieltjes积分的形式存在，因为π（t）/S（t）作为S的容许被积函数，尤其是t的连续函数。因此，Vπ被很好地定义并定义为（ξ，η），因为Vπ（t）=ξ（t）·S（t）+η（t）B（t）乘以（2.8。设Z（t）：=Rtπ（s）s（s）dS（s）和R（t）：=Rt（1-Pdi=1π（s））r（s）ds，（2.7）可以重写为Vπ（t）=expZ（t）-[Z] （t）+R（t）.因此，应用路径It^o公式可以得到dVπ（t）=Vπ（t）dZ（t）+Vπ（t）dR（t）。因此，结合性规则【24，定理13】意味着Vπ（t）π（t）/S（t）=ξ（t）是沙的可容许被积函数，Vπ（t）dZ（t）=ξ（t）dS（t）。此外，恒等式Vπ（t）dR（t）=η（t）dB（t）源自Riemann–Stieltjes积分的关联性（例如，参见[31，定理I.6b]）。引理2.7的证明。对于x=（x，…，xd），设h（x）：=对数（ex+···+exd）。那么hxi（x）=exi-h（x）等h（对数S（t））=u（t）。因此，u是对数S的容许被积函数。