部分观测数据统计估计中的降维

此表显示了估计值和经验标准误差。参数空间Θ0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6经验密度00。0050.010.0150.020.0250.030.0350.040.045CLT对于简化的MLE估计量，’θδtHistogram weights normal PDF参数SpaceΘ-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5经验密度00。0050.010.0150.020.0250.030.0350.040.0450.05CLT对于简化的MLE估计量，(R)θδtHistogram weights normal PDF参数SpaceΘ0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5经验密度00。0050.010.0150.020.0250.030.0350.040.0450.05CLT对于简化的MLE估计量，’θδtHistogram weights normal PDF图6.6。左上角：α=0.7。右上角：α=1。底部：α=1.8。在更简单的环境中，定理4.1的版本已出现在【Imkeller等人，2013年，Park等人，2008年，Park等人，2011年，Park等人，2010年】的文献中。与之前的工作相比，定理4.1的第一个主要区别在于，在由trueparameter值参数化的度量下（即进行观测的度量），滤波器将收敛于任何参数值。此外，第二个主要区别是，我们需要证明滤波器的收敛性是针对空间Aθη中的测试函数，而【Imkeller等人，2013年】中的结果使用了仅依赖于慢运动的有界平滑测试函数。引理A.1。假设条件2.1。让我们考虑（eXδ，eUδ，’eU）的一个副本，它与（Xδ，Uδ，’U）具有相同的定律，但独立于（Xδ，Uδ，’U）。那么，我们有limδ↓0E*θ经验值Zthθ（~Xδs，~Uδs）hθ（Xδs，Uδs）ds- 经验值Zthθ（￠Xδs，￠Uδs）(R)hθ（￠Us）ds= 0andlimδ↓0E*θ经验值Zt'hθ（'Us）'hθ（'eUs）ds- 经验值Zth（Xδs，Uδs）(R)hθ（(R)eUs）ds= 0.证明。

我们只会证明第一个陈述，因为第二个陈述的证明是相同的。凸性不等式| ea- eb |≤ （ea+eb）| a-b |用于获得*θ经验值Zthθ（~Xδs，~Uδs）hθ（Xδs，Uδs）ds- 经验值Zthθ（￠Xδs，￠Uδs）(R)hθ（￠Us）ds≤ E*θ经验值Zthθ（~Xδs，~Uδs）hθ（Xδs，Uδs）ds+ 经验值Zthθ（￠Xδs，￠Uδs）(R)hθ（￠Us）ds|Ξδt|≤ 2eT khθk∞E*θΞδt |，其中我们定义了过程Ξδt=Zthθ（￠Xδs，￠Uδs）hθ（Xδs，Uδs）-\'hθ（\'Us）ds。还有待证明这一项为零。通过支配收敛定理和对（X，U）和（ΞX，ΞU）的独立性，遍历理论适用于联合过程（X，U，ΞX，ΞU），特别是我们看到*θ|Ξδt |=E*θZthθ（￠Xδs，￠Uδs）hθ（Xδs，Uδs）-\'hθ（\'Us）ds公司→ 0，作为δ↓ 0。这证明了L中的收敛性。从|Ξδt开始，从支配收敛定理再次证明了L中的收敛性|≤ 2Tkhθk∞, 总结引理的证明。引理A.2。让我们考虑有界f:X×U→ R并假设条件2.1。对于任何θ∈ Θ，我们在t∈ [0，T]E*θφδ，θt【f】-φδ，θt[(R)fθ]→ 0为δ→ 0，其中'fθ：U→ 定义为“fθ（u）=Rf（x，u）uθ（x，u）dx。证据让我们考虑（eXδ，eUδ）的一个独立副本，它与（Xδ，Uδ）具有相同的定律，但与（Xδ，Uδ，W）无关。

我们有*θφδ，θt【f】-φδ，θt[(R)fθ]= E*θφδ，θt[f-\'fθ]= E*θ“E*θf（Xδt，Uδt）-\'fθ（Uδt）经验值Zthθ（Xδs，Uδs）dYδs-Zt公司hθ（Xδs，Uδs）ds公司Yδt#= E*θ“E*θ“f（Xδt，Uδt）-\'fθ（Uδt）f（eXδt，eUδt）-\'fθ（eUδt）×经验值Zt公司hθ（Xδs，Uδs）+hθ（eXδs，eUδs）dYδs-Zt公司hθ（Xδs，Uδs）+hθ（eXδs，eUδs）ds公司Yδt##=E*θ“E*θ“f（Xδt，Uδt）-\'fθ（Uδt）f（eXδt，eUδt）-\'fθ（eUδt）×经验值Zt公司hθ（Xδs，Uδs）+hθ（eXδs，eUδs）dYδs-Zt公司hθ（Xδs，Uδs）+hθ（eXδs，eUδs）ds公司FU，~U，X，~Xt##=E*θ“f（Xδt，Uδt）-\'fθ（Uδt）f（eXδt，eUδt）-\'fθ（eUδt）经验值Zthθ（Xδs，Uδs）hθ（eXδs，eUδs）ds#= E*θ“f（Xδt，Uδt）-\'fθ（Uδt）f（eXδt，eUδt）-\'fθ（eUδt）×经验值Zthθ（Xδs，Uδs）hθ（eXδs，eUδs）ds- 经验值Zthθ（￠Xδs，￠Uδs）(R)hθ（￠Us）ds!#+ E*θ\"f（Xδt，Uδt）-\'fθ（Uδt）f（eXδt，eUδt）-\'fθ（eUδt）经验值Zthθ（￠Xδs，￠Uδs）(R)hθ（￠Us）ds#.

（A.1）在上述显示的第二行到最后一行中，该项通过引理A.1变为零，E*θ“f（Xδt，Uδt）-\'fθ（Uδt）f（eXδt，eUδt）-\'fθ（eUδt）×经验值Zthθ（Xδs，Uδs）hθ（eXδs，eUδs）ds- 经验值Zthθ（￠Xδs，￠Uδs）(R)hθ（￠Us）ds!#≤ 4kfk∞E*θ经验值Zthθ（Xδs，Uδs）hθ（eXδs，eUδs）ds- 经验值Zthθ（￠Xδs，￠Uδs）(R)hθ（￠Us）ds→ 0，并且显示器（A.1）最后一行中的项变为0，如下所示，E*θ“f（Xδt，Uδt）-\'fθ（Uδt）f（eXδt，eUδt）-\'fθ（eUδt）经验值Zthθ（￠Xδs，￠Uδs）(R)hθ（￠Us）ds#≤ 4kfk∞E*θ经验值Zthθ（￠Xδs，￠Uδs）(R)hθ（￠Us）ds- 经验值Zt公司-hθ（￠Xδs，￠Uδs）(R)hθ（￠Us）ds+E*θ“E*θhf（Xδt，Uδt）-\'fθ（Uδt）FUδ，Ut-∨ F▄Uδ，▄Xδtif（eXδt，eUδt）-\'fθ（eUδt）经验值Zt公司-hθ（￠Xδs，￠Uδs）(R)hθ（￠Us）ds#≤ 4kfk∞E*θ经验值Zthθ（￠Xδs，￠Uδs）(R)hθ（￠Us）ds- 经验值Zt公司-hθ（￠Xδs，￠Uδs）(R)hθ（￠Us）ds+ 2kfk∞E*θ“E*θhf（Xδt，Uδt）-\'fθ（Uδt）FUδ，Ut-∨ F▄Uδ，▄Xδti经验值Zt公司-hθ（￠Xδs，￠Uδs）(R)hθ（￠Us）ds#= 4kfk∞E*θ经验值Zthθ（￠Xδs，￠Uδs）(R)hθ（￠Us）ds- 经验值Zt公司-hθ（￠Xδs，￠Uδs）(R)hθ（￠Us）ds+ 2kfk∞E*θ“E*θhf（Xδt，Uδt）-\'fθ（Uδt）FUδ，Ut-我经验值Zt公司-hθ（￠Xδs，￠Uδs）(R)hθ（￠Us）ds#→ 4kfk∞E*θ经验值Zt'hθ（'Us）'hθ（'Us）ds- 经验值Zt公司-\'hθ（￠Us）\'hθ（(R)Us）dsasδ↓ 0其中 > 0可以任意小。限值取δ→ 0，条件期望按以下方式处理：E*θhf（Xδt，Uδt）-\'fθ（Uδt）FUδ，Ut-∨ F▄Uδ，▄Xδti=E*θhf（Xδt，Uδt）-\'fθ（Uδt）FUδ，Ut-iby（Uδ，Xδ）与（▄Uδ，▄Xδ），=E的独立性*θhE*θhf（Xδt，Uδt）-\'fθ（Uδt）Xδt-, Uδt-我FUδ，Ut-我→ 0，最后一次收敛是由于E*θhf（Xδt，Uδt）-\'fθ（Uδt）Xδt-, Uδt-我→ 0为δ→ 0 forany > 0，因为条件2.1隐含的遍历性。此外，由于条件2.1对hE的消耗*θ经验值Zt'hθ（'Us）'hθ（'Us）ds- 经验值Zt公司-\'hθ（￠Us）\'hθ（(R)Us）ds→ 0，作为 → 0被支配收敛定理。

因此，剩余项是任意小的，我们得出结论，所有项随δ收敛到零。引理A.3（引理6.7 in【Imkeller等人，2013年】）。假设hθ有界，那么对于anyq∈ [1，∞) 我们有那个支持∈[0，T]supδ∈（0,1）E*θ| Zδ，θt | q+支持∈[0，T]supδ∈（0,1）Eθ| Zδ，θt|-q<∞ .引理A.4。让我们考虑有界f:U→ R并假设条件2.1。对于任何α，θ∈ Θ，我们在t∈ [0，T]Eαπδ，θt[f]- πδ，θt[f]→ 0为δ→ 0，式中，’πδ，θt[f]=’φδ，θt[f]/’πδ，θt[1]是（3.10）给出的平均滤波器。证据让我们考虑（eXδ，eUδ，’eU）的一个独立副本，它与（Xδ，Uδ，eU）具有相同的定律，但独立于（Xδ，Uδ，’U，W）。我们有*θφδ，θt【f】-(R)φδ，θt[f]≤:E*θφδ，θt【f】-φδ，θt[(R)fθ]+ E*θφδ，θt[(R)fθ]-(R)φδ，θt[f]最后一次显示的第一项通过引理A.2变为零。我们的第二个任期*θφδ，θt[(R)fθ]-？φδ，θt[？fθ]= E*θE*θh'fθ（Uδt）Zδ，θt-\'fθ（\'Ut）\'Zδ，θtYδti= E*θhE*θh（(R)fθ（Uδt）Zδ，θt-\'fθ（\'Ut）\'Zδ，θt）（\'fθ（~Uδt）~Zδ，θt-\'fθ（￠Ut）￠Zδ，θt）Yδtii=E*θhE*θh（(R)fθ（Uδt）Zδ，θt-\'fθ（\'Ut）\'Zδ，θt）（\'fθ（~Uδt）~Zδ，θt-\'fθ（￠Ut）￠Zδ，θt）Fδ，U，~U，X，~Xtii=E*θ\'fθ（~Uδt）\'fθ（Uδt）expZth（~Xδs，~Uδs）h（Xδs，Uδs）ds-\'fθ（\'Ut）expZth（～Xδs，～Uδs）～hθ（～Us）ds+ E*θ\'fθ（\'Ut）\'fθ（\'Ut）expZt'hθ（'Us）'hθ（'eUs）ds-\'fθ（Uδt）expZth（Xδs，Uδs）(R)hθ（ Us）ds→ 0，作为δ↓ 0。

（A.2）上一项的收敛是由于引理A.1的过程，如引理A.2的证明。然后，我们有概率收敛性，P*θ（|φδ，θt[f]-(R)φδ，θt【f】|≥ ) ≤E*θφδ，θt【f】-(R)φδ，θt[f]→ 0asδ→ 全部为0 > 接下来，我们注意到对于r，r>1，使得1/r+1/r=1和pr≤ 2E类*θφδ，θt[f]/φδ，θt[1]-(R)φδ，θt[f]/(R)φδ，θt[1]p=E*θφδ，θt[f]？φδ，θt[1]-φδ，θt[f]φδ，θt[1]φδ，θt[1]φδ，θt[1]P≤ CE公司*θφδ，θt[1]？φδ，θt[1]公关部！1/rE*θφδ，θt[f]？φδ，θt[1]-(R)φδ，θt[f]φδ，θt[1]公关部1/r≤ CE公司*θφδ，θt[1]？φδ，θt[1]公关部！1/rE*θφδ，θt【f】-(R)φδ，θt[f]pr+E*θφδ，θt[1]-(R)φδ，θt[1]公关部1/r≤ CE*θφδ，θt[1]2pr+E*θ(R)φδ，θt[1]2pr1/rE*θφδ，θt【f】-(R)φδ，θt[f]pr+E*θφδ，θt[1]-(R)φδ，θt[1]公关部1/r使用f的有界性。通过组合引理A.2和（A.2），我们得到*θφδ，θt【f】-(R)φδ，θt[f]pr+E*θφδ，θt[1]-(R)φδ，θt[1]公关部→ 0（A.3）此外，我们有*θφδ，θt[1]2pr≤ E*θZδ，θt-2pr=E*θE*θZδ，θt-2pr|FUδ，Xδt= E*θhe（2pr+pr）Rt | hθ（Xδs，Uδs）| dsi<∞. （A.4）同样，我们也可以获得E*θ(R)φδ，θt[1]2pr<∞. 把这些陈述放在一起，我们得到了thatlimδ↓0E*θφδ，θt[f]/φδ，θt[1]-(R)φδ，θt[f]/(R)φδ，θt[1]p=0。（A.5）然后，通过Cauchy-Schwartz不等式，我们得到了eαπδ，θt[f]- πδ，θt[f]= Eαφδ，θt[f]/φδ，θt[1]-(R)φδ，θt[f]/(R)φδ，θt[1]≤E*αZδ，αtQ1/季度E*αφδ，θt[f]/φδ，θt[1]-(R)φδ，θt[f]/(R)φδ，θt[1]P1/p≤supδ∈（0,1）E*αZδ，αtQ1/q！E*θφδ，θt[f]/φδ，θt[1]-(R)φδ，θt[f]/(R)φδ，θt[1]P1/p→ 0，等于δ↓ 通过引理A.3和（A.5）得到0。第三行，即*αφδ，θt[f]/φδ，θt[1]-(R)φδ，θt[f]/(R)φδ，θt[1]p=E*θφδ，θt[f]/φδ，θt[1]-(R)φδ，θt[f]/(R)φδ，θt[1]p、 因为φδ，θtand'φδ，θtare是Yδ的泛函（没有其他随机变量），Yδ在两个测度p下都是布朗运动*α和P*θ。在继续之前，我们应该澄清引理A.4证明中的最后一步。

应该明确的是，Yδ只被观察到是P*α时的α布朗运动∈ Θ表示测量值Pα下的参数值。在证明中，我们总是在无条件检验算子E下处理Yδ*θ、 这实际上是一个期望，条件是真实参数值为θ的基本真值。这种表示法可以用以下方式更明确地表示：对于路径Yδ的任何函数f，E*θf（Yδ）=E*[f（Yδ）|真参数值=θ]=Ef（W）θ∈ 其中W是布朗运动。因此，我们可以说*αf（Yδ）=E*θf（Yδ）α、 θ∈ Θ。现在定理4.1的证明如下：证明。[定理4.1的证明]让我们只证明定理的第二部分，因为第一部分来自切比雪夫不等式和引理a.2。我们首先证明f∈ Cb（X×U）。然后，我们在假设η>0的条件下证明了f∈ Aθη。那么，让我们假设f∈ Cb（X×U）。我们首先证明limδ↓0Eαπδ，θt[f]- πδ，θt[f]= 0。设fθ（u）=Rf（x，u）uθ（x，u）dx，引理A.2意味着在P*概率，P*θφδ，θt【f】-φδ，θt[(R)fθ]> ≤E*θφδ，θt【f】-φδ，θt[(R)fθ]→ 0 > 0，现在考虑任何f∈ Cb（X×U），再次使用Cauchy-Schwartz不等式，limδEαπδ，θt[f]- πδ，θt[f]= limδEαπδ，θt[f]- \'πδ，θt[\'fθ]≤ limδEαπδ，θt[f]-πδ，θt[(R)fθ]+:Eαπδ，θt[(R)fθ]- \'πδ，θt[\'fθ]（引理A.4）=limδE*αZδ，αtπδ，θt[f]-πδ，θt[(R)fθ]≤ limδE*αZδ，αtQ1/季度E*απδ，θt[f]-πδ，θt[(R)fθ]P1/p≤ supδ∈（0,1）E*αZδ，αtQ1/q{z}<∞limδE*θπδ，θt[f]-πδ，θt[(R)fθ]P1/p=0，（A.6），其中supδ的完整性∈（0,1E*αZδ，αt引理A.3和limδE的以下内容*θπδ，θt[f]-πδ，θt[(R)fθ]p=极限δE*θφδ，θt[f]/φδ，θt[1]-φδ，θt[(R)fθ]/φδ，θt[1]p=0如下（A.5）。

这证明了L中的收敛性，以及L中的收敛性来自于支配收敛，因为假设测试函数f是边界的，因此πδ，θt[f]- πδ，θt[f]≤ 2kfk∞. 这就完成了f的证明∈ Cb（X×U）。让我们通过假设存在η>0这样的f来完成证明∈ Aθη。对于n∈ N、 定义（x）=（x，| x |≤ nn符号（x），| x |>nand集合fn（x）=un（f（x））。类似地定义πδ，θt【fn】。=Eθhfn（Xδt，Uδt）Yδti，(R)fn，θ（u）=ZXfn（x，u）uθ（x，u）dx。由于fn是有界的，我们已经知道limδ↓0Eαπδ，θt【fn】- πθt【fn】= 0

所以，这足以证明→∞lim supδ↓0Eαπδ，θt[f]-πδ，θt【fn】= 0和下限→∞lim supδ↓0Eαπδ，θt[f]- πδ，θt【fn】= 这两种说法都来自观察结果：对于η>0，f∈ Aθη我们有| f（x，u）- fn（x，u）| 2+η/2≤ 22+η/2 | f（x，u）| 2+η/2[| f（x，u）|>n]≤ 22+ηn-η/2 | f（x，u）| 2+η，特别是让C=22+η，p=p（2+η）/4，使2p=2+η/2和q=1-q2+η，然后采取以下类似的步骤，如方程式（A.6）中所示，我们有limn→∞lim supδ↓0Eαπδ，θt[f]-πδ，θt【fn】≤ 画→∞lim supδ↓0EαEθhf（Xδt，Uδt）-fn（Xδt，Uδt）Yδti≤ 画→∞lim supδ↓0E*αZδ，αtEθhf（Xδt，Uδt）-fn（Xδt，Uδt）Yδti≤ 画→∞lim supδ↓0E*α（Zδ，αt）q1/季度E*αEθhf（Xδt，Uδt）-fn（Xδt，Uδt）Yδ尖端1/p≤ 画→∞lim supδ↓0E*α（Zδ，αt）q1/季度E*αEθhf（Xδt，Uδt）-fn（Xδt，Uδt）2p级Yδti1/p=极限→∞lim supδ↓0E*α（Zδ，αt）q1/季度E*θEθhf（Xδt，Uδt）-fn（Xδt，Uδt）2p级Yδti1/p=极限→∞lim supδ↓0E*α（Zδ，αt）q1/季度Eθh（Zδ，θt）-1Eθhf（Xδt，Uδt）-fn（Xδt，Uδt）2p级Yδtii1/p≤ C极限→∞lim supδ↓0n-η/2pE*αZδ，αtQ1/季度Eθ（Zδ，θt）-Q1/季度Eθf（Xδt，Uδt）2+η1/p=0。上述第五行中的相等，即*αEθhf（Xδt，Uδt）-fn（Xδt，Uδt）2p级Yδti=E*θEθhf（Xδt，Uδt）-fn（Xδt，Uδt）2p级Yδt由于Eθhf（Xδt，Uδt）-fn（Xδt，Uδt）2p级YδTi是Yδ的函数（没有其他随机变量），并且Yδ在两个测度P下都是布朗运动*α和P*θ。limn可以显示相同的限制→∞lim supδ↓0Eαπδ，θt[f]- πδ，θt【fn】, 但用'Zδ，θtand'Zδ，αtused代替。由于遍历性，limδ的证明↓0Eαπδ，θt[f]- πθt[f]= 0，如下所示，因此省略。定理的证明到此结束。参考文献【Bain和Crisan，2009】Bain，A.和Crisan，D.（2009）。随机滤波基础。斯普林格，纽约州纽约市。【Bensoussan等人，1978年】Bensoussan，A.，Lions，J.，和Papanicolaou，G.（1978年）。

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