Slepian过程的边界不交叉概率

引理2的证明。1： 由于S（t）是一个平稳的高斯过程，那么对于任何t∈ [0，1]，根据[1]中的方程式（3），（S（t），S（0））的节理密度由以下公式得出：Д（S（t）=y，S（0）=x）=2πpt（2- t） expn公司-（y+x）2- t+（y- x） t型o、 因此，给定S（0）的S（t）的条件密度为Д（S（t）=y | S（0）=x）=Д（S（t）=y，S（0）=x）Д（S（0）=x）=p2πt（2- t） expn公司-2t（2- t） （y+（t- 1） x）o.SLEPIAN过程的边界不交叉概率7引理2的证明。3： Zt，t的证明∈ [0，1]是一个明显的高斯过程，遵循标准布朗运动B的性质。在不损失慷慨度的情况下，假设0≤ T≤ T≤ 1，thenRZ（t，t）：=E[ZtZt]- EZtEZt=En[（2- t） B（t2- t） +（1- t） x][（2- t） B（t2- t） +（1- t） x]o- （1）- t） （1）- t） x=（2- t） （2）- t） ·最小值（t2- t、 t2级- t） =t（2- t） 。完成证明。理论证明3。1： 观察到概率（1）可以重写为asP{S（t）≤ a、 对于所有t∈ [0，1]}=Za-∞P{S（t）≤ a、 对于所有t∈ [0，1]| S（0）=x}（S（0）=x）dx，给定S（0）的S（t）的条件分布等价于过程Z（t）的分布，然后p{S（t）≤ a、 对于所有t∈ [0，1]}=Za-∞P{Zu≤ a、 适用于所有u∈ [0，1]}φ（x）dx，其中φ是标准正态分布的密度函数，即φ（x）=√2πe-x、 并表示Φ（x）=Rx-∞φ（s）ds标准正态分布的累积分布函数。ThenP{S（t）≤ a、 对于所有t∈ [0，1]}=Za-∞P[（2- t） B（t2- t） +（1- t） x个≤ a，对于所有t∈ [0，1]]dΦ（x）=Za-∞P[B（u）≤ （a+x）u+a- x、 适用于所有u∈ [0，1]]dΦ（x）。因为，B（t）的概率≤ a+bt代表所有t∈ [0，T]是众所周知的，可以从著名的Bachelier-Levy公式中获得（见等式（7））。

因此，概率that S（t）≤ a代表所有t∈ [0，1]可以写为以下p{S（t）≤ a、 对于所有t∈ [0，1]}=Za-∞nΦ（a）- E-A.-xΦ（x）外径Φ（x）=Φ（a）- E-阿扎-∞E-xΦ（x）dΦ（x）=Φ（a）- φ（a）Za-∞Φ（x）dx=Φ（a）- aφ（a）Φ（a）- φ（a），完成证明。理论证明3。4： 这个定理的证明类似于定理3.1。使用与之前相同的φ和Φ定义，我们直接计算S（t）的概率≤ a代表所有t∈ [0，1]。P{S（t）≤ a+bt，适用于所有t∈ [0，1]}=Za-∞P{S（t）≤ a+bt，适用于所有t∈ [0，1]| S（0）=x}Д（S（0）=x）dx=Za-∞P[祖≤ a+bu，适用于所有u∈ [0，1]]φ（x）dx。替换Zu=（2- u） B（u2-u） +（1- u） x到上面，经过一些线性变换，我们得到p{S（t）≤ a+bt，适用于所有t∈ [0，1]}=Za-∞PB（t）≤A.- x+（a+x+b）t，对于所有t∈ [0，1]dΦ（x）.8平津邓国兴Bachelier-Levy公式，由此得到P{S（t）≤ a+bt，适用于所有t∈ [0，1]}=Za-∞Φ（a+b）- 经验值{-A.- 十、- ab+bx}Φ（b+x）dΦ（x）=Φ（a+b）Φ（a）-√2πexp{-A.- ab}Za-∞Φ（b+x）exp{bx}dx。设I（a，b）=Ra-∞Φ（b+x）exp{bx}dx，观察b 6=0，然后i（a，b）=bZa-∞Φ（b+x）d exp{bx}=bnΦ（a+b）eab-√2πZa-∞经验值{-（b+x）}exp{bx}odx=bnΦ（a+b）eab- 经验值{-b} Φ（a）o=bnΦ（a+b）eab-√2πφ（b）Φ（a）o。因此，P{S（t）≤ a+bt，适用于所有t∈ [0，1]}=Φ（a+b）Φ（a）-bφ（a）Φ（a+b）+√2πbφ（a）φ（b）Φ（a）e-ab，因此证明是完整的。理论证明3。7： 考虑到线性边界情况的结果（见定理3.4），该定理的证明很容易。事实上，使用上述相同的方法，我们可以重写S（t）的概率≤ l（t）表示所有t∈ [0，1]作为某些布朗非交叉概率的积分。

具体来说，我们有p{S（t）≤ l（t），对于所有t∈ [0，1]}=Zl（0）-∞P[S（t）≤ l（t），对于所有t∈ [0，1]| S（0）=x]Д（S（0）=x）dx=Zl（0）-∞P[B（t）≤t+1l（2tt+1）-1.- tx，适用于所有t∈ [0，1]]dΦ（x）。由于l（t）是连续函数，并且与参数ai、bion和区间ti的每一个都是分段线性的-1，ti]，i=1，2，n、 即l（t）=ai+位，t∈ [技术信息-1，ti]，i=1，2，n、 其中0=t<t<…<田纳西州-1<tn=1，我们有（0）=a。接下来，给定x，我们定义h（x，t）=t+1l（2tt+1）-1.-tx，则h（x，t）也是一个分段线性函数ab out t，并具有以下形式h（x，t）=（ai+x+bi）t+ai- x、 t型∈ [技术信息-1，ti]，i=1，2，n、 表示hi（x）：=h（x，ti）=（ai+bi+x）ti+ai-x、 i=1，2。n、 h（x）=a-x、 对于s短，u=0，由Emma3表示。6，我们有p{S（t）≤ l（t），对于所有t∈ [0，1]}=Za-∞Zh（x）-∞Zh（x）-∞. . .Zhn（x）-∞（2π）-n+1扩展-xo∏ni=1√ti公司- ti公司-1扩展-（用户界面- 用户界面-1） 2（ti- ti公司-1） o×ni=1（1- expn公司-2（ui-1.- 你好-1（x））（ui- hi（x））ti- ti公司-1o）邓盾-1.dudx，建立证据。理论证明3。8： 结合定理3.7，这是概率测度P的连续性和ln（u）到f（u）的一致收敛的一个明显结果。SLEPIAN过程的边界不交叉概率9推论3的证明。9： Fr om（A.4）在[8]中，我们有πg（t | S（0）=x）=A- xtИ（S（t）=a+bt | S（0）=x，t∈ （0，h），πg（t | S（0）=x，S（h）=xh）=Д（S（h）=xh | S（0）=x，S（t）=a+bt）·πg（t | S（0）=x）Д（S（h）=xh | S（0）=x）。然后我们可以表示S（t）的概率≤ a+bt表示所有u∈ [0，h]给定S（0）=x和S（h）=xhasP{S（t）≤ a+bt，适用于所有t∈ [0，h]| S（0）=x，S（h）=xh}=1-Zha公司- xuИ（S（u）=a+bu | S（0）=x，S（h）=xh）du。类似地，S（t）的概率≤ a+bt代表所有t∈ [0，h]给定S（0）=x可以写为asP{S（t）≤ a+bt，适用于所有t∈ [0，h]| S（0）=x}=1-Zha公司- xuИ（S（u）=a+bu | S（0）=x）du，然后根据方程式（10）得出结论。5.

确认这项工作的部分资金来自国家自然科学基金项目71573143和国家自然科学基金项目200021-166274。参考文献[1]D.Slepian，“特定高斯过程的首次通过时间”，Ann。数学统计员。，第32卷，第610–612页，1961年6月。[2] L.Shepp，“特定高斯过程的首次通过时间”，《数理统计年鉴》，第946-9511971页。[3] Y.Y.Nikitin和E.Orsingher，“希尔伯特范数中slepian和watson过程的精确小偏差渐近”，《数学科学杂志》，第137卷，第1期，第4555-45602006页。[4] F.Gao和W.Li，“slepian高斯场的小球概率”，《美国数学学会学报》，第359卷，第3期，第1339-13502007页。[5] Jin，高斯过程：Karhunen-Loeve展开，小球估计和时间序列模型中的应用。特拉华大学博士，2014年。[6] J.V.Liu、Z.Huang和H.Mao，“加性slepian过程的Karhunen–lo\'eve扩展”，《统计与概率快报》，第90卷，第93–99页，2014年。[7] N.Cressie，“均匀条件下扫描统计的渐近分布”，《概率年鉴》，第828–8401980页。[8] W.Bischo Off和A.Gegg，“（q，d）-slepian过程的边界穿越概率”，统计和概率信件，2016年第1-6页。[9] W.Bischo ff、F.Miller、E.Hashorva和J.H¨usler，“具有一般趋势的布朗桥的边界穿越概率的渐近性”，Methodol。计算机。应用程序。概率。，2003年第5卷第3期，第271-287页。[10] W.B ischo Off、E.Hashorva、J.H¨usler和F.Miller，“布朗桥边界交叉点的精确渐近性及其在Kolmogorov检验中的应用”，Ann。仪器统计员。数学第55卷，第4期，第849-8642003页。[11] E。

Hashorva，“具有分段线性趋势的布朗运动的边界交叉概率的精确渐近性”，电子。Comm.Probab。，第10卷，第207-217页（电子版），2005年。[12] E.H ashorva，“布朗pil low的边界不交叉”，J.Theoret。概率。，2010年第23卷第1期，第193-208页。[13] E.Hashorva、Y.Mishura和O.Seleznjev，“具有趋势的分数布朗运动的边界不交叉概率”，《随机性与随机过程国际期刊》，第87卷，第6期，第946-9651015页。[14] M.Zakai和J.Ziv，“关于雷达距离估计中的阈值效应（corresp.），”IEEE信息论学报，第15卷，第1期，第167-1701969页。[15] B.Jamison，“互惠过程：平稳高斯情况”，《数理统计年鉴》，第41卷，第5期，第1624-16301970页。[16] L.Shepp和D.Slepian，“特定平稳周期高斯过程的首次通过时间”，《应用可能性杂志》，第27-381976页。[17] E.Orsinger，“关于随机振动分析中出现的高斯傅立叶级数的最大值”，《应用可能性杂志》，第182–1881989页。[18] I.B.-D.Moshe Ein Gal，“特定高斯过程的通道和最大值”，《概率年鉴》，第3卷，第3期，第549-5561975页。[19] J.Abrahams，“slepian过程的渐变交叉”，《IEEE信息论学报》，第30卷，第3期，第574-5751984页。10邓平进【20】L.Wang和K.P¨otzelberger，“布朗运动和一般边界的边界交叉概率”，《应用概率杂志》，第54-65页，1997年。[21]Bischo Off，W.和Hashorva，E.以及H¨usler，J.，“布朗运动无交叉概率与趋势的渐近结果”，Common。《统计》，理论方法，第36卷，第13-16号，第2821-2828页，2007年。【22】Bischo Off，W.和Hashorva，E.和H¨usler，J。

和Mil ler，F.，“通过部分和过程和Kolmogorov类型测试分析质量控制中的变化点回归问题”，《Metrika》，第62卷，第1期，第85–98页，2005年。[23]Bischo Off，W.和Hashorva，E.和H¨usler，J.和Miller，F.，“关于Kolmogorov检验检测布朗桥趋势的能力，以及应用于回归模型中的变化点问题”，Stat.Probab。Lett。，第66卷，第2期，第105-115页，2004年。[24]J.L.Doob，“布朗运动和随机方程”，《数学年鉴》，第351-3691942页。[25]G.Deelstra，“关于布朗运动边界交叉结果的评论”，Bl¨atter der DGVFM，第21卷，第4期，第449–4561994页。邓平津，南开大学金融学院，中国天津300350，洛桑大学精算系，瑞士洛桑1015，UNIL Dorigny，邮编：平津。Deng@unil.ch