Slepian过程的边界不交叉概率

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英文标题：
《The boundary non-Crossing probabilities for Slepian process》
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作者：
Pingjin Deng
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In this contribution we derive an explicit formula for the boundary non-crossing probabilities for Slepian processes associated with the piecewise linear boundary function. This formula is used to develop an approximation formula to the boundary non-crossing probabilities for general continuous boundaries. The formulas we developed are easy to implement in calculation the boundary non-crossing probabilities.
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中文摘要：
在本文中，我们推导了与分段线性边界函数相关的Slepian过程的边界不交叉概率的显式公式。该公式用于推导一般连续边界的边界不相交概率的近似公式。我们建立的公式在计算边界不相交概率时易于实现。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> The_boundary_non-Crossing_probabilities_for_Slepian_process.pdf (173.28 KB)

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关键词：EPIA EPI Quantitative Mathematical Applications

SLEPIAN过程的边界不交叉概率Pingjin DENGAbstract：在本文中，我们推导了与分段线性基函数相关的SLEPIAN过程的边界不交叉概率的显式公式。该公式用于发展一般连续边界的基本非交叉概率的近似公式。我们建立的公式很容易用于计算边界不交叉概率。关键词和短语：高斯过程；Slepian过程；边界不交叉概率；分段线性边界。1、介绍Slepian工艺Sa（t），t∈ [0，T]是一个具有连续路径和协方差函数的中心、静态高斯过程（Sa（T）Sa（T））=1.-T-助教, 如果| t- t |<10，否则，使用正常量。如文[1]和[2]所述，我们可以将标准布朗运动的Sain表示为移动窗口过程，即a（t）=√a（B（t+a）- B（t）），t∈ [0，T]。对于任何a>0的固定值，我们有以下内容√a（B（t+a）- B（t））d=B（ta+1）- B（ta），t∈ [0，T]，其中d=表示分布中的等价性，然后表示T′=ta，T′=ta，我们得到以下表示{Sa（T）；T∈ [0，T]}d={S（T′）；T′∈ [0，T′]}。因此，Slepian过程Sa，a>0的分布性质可以由S的分布性质得出。在文献中，我们总是S et T′=1，并表示（T）：=S（T）=B（T+1）- B（t），t∈ [0，1]。过程S（t），t∈ [0，1]自从在[1]中被勒庇亚人定义以来，已经在几个不同的领域进行了广泛的研究。例如，S的小球概率在[3]和[4]中进行了讨论，而该过程的Karhunen-Loveexpansion在[5]和[6]中独立推导。

从应用的角度来看，Cressie[7]指出了S在扫描统计中的重要性，并在上述参考文献中给出了该过程的具体应用。最近，Bischoff和Gegg证明了S在信号检测问题中的重要性，见【8】。边界非交叉概率问题在随机过程和统计学中都得到了广泛的研究，例如，[9、10、11、12、10、13]在Slepian过程的特殊情况下是有意义的（并且是可处理的）。具体而言，在本文中，我们关注的是边界不相交概率f：=P{S（t）≤ f（t），对于所有t∈ [0，1]}，（1）2平津邓格其中f是给定的确定性可测函数。PFI的计算在各种统计应用中都很有意义。例如，当我们检测雷达中的信号时，我们使用的测试静态结果是具有非线性基的Slepian过程的非交叉概率，参见示例【14】。虽然已经发展了许多计算概率（1）的方法和理论，但大多数都只集中在常数边界上，即使在这种情况下，这些方法也很少得到简单的显式解析公式。为了研究这些结果的细节，我们请读者参考[15]、[2]、[2]、[16]和[17]以及其中的参考文献。Ein Gal和Bar David、Abrahams、Bischo ff开发了与线性和分段线性边界函数f相关的概率（1）的解析公式（分别参见[18]、[19]和[8]）。所有这些公式都基于Jamison在[15]中所述的S的类马尔可夫性质（或往复性质）。本文用一种新的方法推导了具有分段线性基函数f的slepian过程的非交叉概率的显式公式。

该公式用于通过用分段线性函数逼近边界，建立一般连续边界的一般公式。我们为分段线性边界建立的公式与[8]中的结果等价，但形式简单，易于应用。本文的结构如下：在第二节中，我们给出了一些预备知识，我们将用这些知识来推导计算Slepian过程的非交叉概率。在第三节中，我们使用第二节中的结果来推导Slepian过程的非交叉概率的显式公式，涉及到几个案例。最后，第4.2节给出了引理的证明。初步通过本文，我们考虑了定义为布朗运动过程增量的一维Slepian过程，即s（t）=B（t+1）- B（t），t∈ [0，1]，（2）其中B（t）是标准布朗运动。很容易验证S（t），t∈ [0，1]是一个中心平稳高斯过程，协方差函数（t，t）=E（S（t）S（t））=1- |T- t |，t，t∈ [0，1]。对于任何一般的边界函数f，不相交概率的直接计算总是不可能的。一种可行的方法是推导出一些带有piec-ewise线性函数的pff的trac表公式。然后，一般边界情况可以通过分段线性函数逼近f来确定，例如参见[20，21，22，23]。然而，与布朗运动不同，计算Slepian过程的非交叉概率更为复杂，因为布朗运动是马尔可夫运动，但Slepian过程不是（回想一下，唯一的非平凡高斯马尔科夫过程是Ornstein-Uhlenbeck过程，见e.g.[24]）。尽管如此，在这一贡献中，我们首先推导出布朗运动和Slepian过程之间的直接关系，这对于pf的计算很有用。引理2.1。

如果S={S（t），t∈ [0，1]}是一个Slepian过程，那么对于任何t∈ [0，1]给定S（0）的S（t）的条件密度由φ（S（t）=y | S（0）=x）=p2πt（2）给出- t） expn公司-2t（2- t） （y+（t- 1） x）o、x、y∈ R、 （3）第4节给出了这个引理的pro。根据引理2.1，由{S（0）=x}条件得到的条件Slepian过程也是高斯过程。具体来说，如果我们表示过程y=nYt=（S（t）| S（0）=x），t∈ [0，1]o，那么我们有以下推论：SLEPIAN过程的边界不交叉概率3冠状2.2。Y=nYt，t∈ [0，1]ois是一个平均值为E（Yt）=（1）的高斯过程-t） x和协方差函数y（t，t）=E（YtYt）=min{t（2- t） ，t（2- t） }。通过计算Y的协方差函数，可以直接证明上述主张。Y的协方差函数具有布朗运动中的最小形式，因此我们可以从与过程Y具有相同协方差函数的布朗运动中构造一个新的无条件过程。引理2.3。假设B=nBt，t∈ [0，1]ois是标准布朗运动，设Z=nZt=（2-t） B（t2-t） +（1-t） x，t∈ [0，1]o.那么Z是一个高斯过程，平均E（Zt）=（1- t） x和协方差函数rz（t，t）=E（ZtZt）=min{t（2- t） ，t（2- t） }。我们在第4节给出了这个引理的证明。结合推论2.2和引理2.3，我们得出Yis在分布上与Z等价，即Yd=Z。备注2.4。过程Z只是标准布朗运动的时空变换，因此由于布朗运动中的丰富可用结果，它更加灵活。3、边界不交叉概率我们得到了在S（0）=x的条件下，Slepian过程S（t）的条件分布与布朗运动的时空变换在分布上等价。在本节中，我们利用这一事实来发展Slepian过程的边界不交叉概率。

根据边界函数f，将涉及四种情况，即常数边界、线性边界、分段线性边界和一般边界。虽然分段线性边界包括前两种情况，但我们将其分开考虑，因为前两种情况下的不交叉概率有一个公式，可以用标准正态分布的密度和累积函数来表示，并且这些公式与文献中的相应结果更为相似。3.1。恒定边界。常数边界是最简单的情况，我们首先引用了Shepp在[2]中得到的一个众所周知的结果（另见[7]）。假设a∈ R、 thenP{S（t）≤ a、 对于所有t∈ [0，1]}=ZD′detφ（a- y） φ（a- y） φ（a）φ（y- y+a）！dydy=ZD′φ（a- y） φ（y- y+a）- φ（a）φ（a- y） dydy，其中φ是标准正态分布N（0，1）的密度函数，D′={0<y<y}。该公式适用于数值计算。然而，D′区域上的积分不是e-xplicite；我们的ne xst结果给出了一个简单的公式：定理3.1。对于∈ R、 （1）的非交叉概率由p{S（t）给出≤ a、 对于所有t∈ [0，1]}=Φ（a）- aφ（a）Φ（a）- φ（a），（4），其中φ是标准正态分布的密度函数，即φ（x）=√2πe-x、 和Φ（x）=Rx-∞φ（s）Ds是标准正态分布的累积分布函数。第4节显示了该理论的证明。备注3.2。在理论上3。1，如果a=0，则S（t）的概率≤ 0，t∈ [0，1]isPsup0≤T≤1S（t）≤ 0= Φ（0）- φ（0）=-2π。（5） 如果我们确定回采时间τ=inf{t≥ 0，S（t）=0}，然后p{τ≤ 1} =1- 2(-2π）=π-.（6） 备注3.3。对于≥ 0，来自定理3。我们有一个不等式psup0≤T≤1 | S（t）|≤ A.< Psup0≤T≤1S（t）≤ A.= 2Φ（a）- aφ（a）- 13.2。线性边界。

计算具有线性边界的不交叉概率的各种结果仅限于布朗运动，其中一个著名的是Bachelier-Levy公式（见[25]），该公式由以下公式给出，对于a>0P{B（t）≤ a+bt，适用于所有t∈ [0，T]}=Φ（b√T+a√T）- E-2abΦ（b√T-A.√T） （7）当a≤ 由于方程（7）的证明使用了布朗运动的马尔可夫性质，因此不能应用于Slepian过程。幸运的是，我们得到了以下类似的结果。定理3.4。对于任何a∈ R、 b 6=0，（1）的非交叉概率由P{S（t）给出≤ a+bt，适用于所有t∈ [0，1]}=Φ（a+b）Φ（a）-bφ（a）Φ（a+b）+√2πbφ（a）φ（b）Φ（a）e-ab，（8），其中φ是标准正态分布的密度函数，即φ（x）=√2πe-x、 和Φ（x）=Rx-∞φ（s）Ds是标准正态分布的累积分布函数。第4节给出了该定理的证明。备注3.5。（i） 尤其是在理论上。4，如果a=0，b 6=0，那么S（t）的概率≤ bt，t∈ [0，1]isPsup0≤T≤1S（t）≤ 英国电信= (-b） Φ（b）+√2π2bφ（b）。（ii）理论3中的结果。4在极限情况下为b→ 0与常量情况下的结果一致。3.3。分段线性边界。我们现在将公式（8）推广到分段线性边界，在本小节中，边界函数f是分段的，具体来说，设0=t<t<…<田纳西州-1<tn=1是[0，1]的一部分，f（t）是区间上的连续线性函数-1，ti]，i=1，2，n、 在计算标准布朗运动的非交叉概率时，我们使用的方法基于Wang和Potzelberger证明的一个经典结果，我们引用了下面的引理3.6。[20] 标准布朗运动与边界f（t）的不相交概率由p{Bu给出≤ c（u），适用于所有u∈ [0，1]}（9）=Zc-∞Zc公司-∞. .

.Zcn-∞（2π）-n∏ni=1√ti公司- ti公司-1扩展-（用户界面- 用户界面-1） 2（ti- ti公司-1） o×ni=1（1- expn公司-2（ui-1.- ci公司-1） （用户界面- ci）ti- ti公司-1o）邓盾-1.du，其中ci：=c（ti），i=0，1，2，简称n。注意到在时空变换下g（t）=（2- t） f（t2-t） +（1- t） x，函数g也是[0，1]上的一个逐次线性函数，因此Slepian过程的非交叉概率可以转化为布朗运动的非交叉概率，事实上，我们有Slepian过程的边界非交叉概率5定理3.7。设0=t<t<…<田纳西州-1<tn=1，且l（t）是连续函数，且在每个间隔上都是线性的-1，ti]，i=1，2，n、 假设线段的参数在区间[ti]上-1，ti]是ai，bi。然后用p{S（t）给出了l（t）分段线性边界上Slepian过程的不交叉概率≤ l（t），对于所有t∈ [0，1]}=Za-∞Zh（x）-∞Zh（x）-∞. . .Zhn（x）-∞（2π）-n+1扩展-xo∏ni=1√ti公司- ti公司-1扩展-（用户界面- 用户界面-1） 2（ti- ti公司-1） o×ni=1（1- expn公司-2（ui-1.- 你好-1（x））（ui- hi（x））ti- ti公司-1o）邓盾-1.dudx，其中hi（x）=（ai+bi+x）ti+ai-x、 i=1，2。n、 h（x）=a-x、 u=0。第4节显示了该理论的证明。3.4。一般边界。观察到[0，1]上的任何连续函数都可以一致地用连续分段线性函数逼近，那么我们就可以导出具有极限形式一般边界的滑动过程的无边界概率公式。事实上，我们有下面的定理3.8。假设f（u）是[0，1]上的连续函数，而[0，1]上定义的ln（u）是连续的线性函数，其值为ln（u）→ FU均匀为n→ ∞. ThenP{S（t）≤ f（t），对于所有t∈ [0，1]}=limn→∞Za公司-∞Zh（x）-∞Zh（x）-∞. . .Zhn（x）-∞（2π）-n+1扩展-xo∏ni=1√ti公司- ti公司-1扩展-（用户界面- 用户界面-1） 2（ti- ti公司-1） o×ni=1（1- expn公司-2（ui-1.- 你好-1（x））（ui- hi（x））ti- ti公司-1o）邓盾-1.dudx，其中hi（x）=（ai+bi+x）ti+ai-x、 i=1，2。

n、 h（x）=a-x、 u=0。第4节给出了该定理的证明。3.5。等效结果。值得一提的是，定理3.8是一般边界函数的一个结果，当g（u）是定理3中所述的分段函数时的空间条件。7相当于Bischo ff在[8]中提出的定理2.1。在这一小节中，我们将讨论这种等价性，并说明我们的公式便于计算，准确地说，对于任何h≤ 1和连续有界函数g，应用Fubini\'s定理，我们得到了ZG（0）-∞Zg（h）-∞P{S（t）≤ g（t），对于所有t∈ [0，h]| S（0）=x，S（h）=xh}Д（S（0）=x，S（h）=xh）dxhdx（10）=P{S（t）≤ g（t），对于所有t∈ [0，h]}=Zg（0）-∞P{S（t）≤ g（t），对于所有t∈ [0，h]| S（0）=x}Д（S（0）=x）dx。当g（t）是分段线性函数时，上述第一个等式导出了[8]中的定理2.1，而第二个等式导出了定理3。7在我们的文本中。此外，在计算基本非交叉概率时，定理3.7中的结果比文献[8]中的定理2.1和定理2.2更方便。为了看到这一点，我们计算了所有u∈ [0，1]比肖夫方法。

实际上，我们可以重写p{S（t）的概率≤ 0，对于所有t∈ [0，1]}=Z-∞Z-∞P{S（t）≤ 0，对于所有t∈ （0，1）| S（0）=x，S（1）=x}Д（S（0）=x，S（1）=x）dxdx，6平津邓格沃Д（S（0）=x，S（1）=x）=2π表达式-（x+x）ois（S（0），S（1））的联合分布密度。从[8]中的定理2.1和定理m 2.2（也见[18]），我们得到了P{S（t）≤ 0，对于所有t∈ （0，1）| S（0）=x，S（1）=x}=1+x√πexpn（x- x） 分区计划大纲图（1- s） sexpn公司-（xs+x1- s） ods。让σ=2（1-s） 2-s、 因此，P{s（t）≤ 0，对于所有t∈ [0，1]}=+2πZ-∞Z-∞2π扩展-（x+x）牛√πexpn（x- x） 分区计划大纲图（1- s） sexpn公司-（xs+x1- s） odsdxdx=+2πZ-∞Z-∞Zx公司√π扩展-x2s（2- s） op（1- s） sexpn公司-2.- s4（1- s） （x+1- s2级- sx）odsdxdx=+2πZZ-∞xp（1- s） sΦ（1- s2级- sxσ）扩展-x2s（2- s） odxds=-ZZ公司-∞2πr2- ssΦ（1）- s2级- sxσ）de-x2s（2-s） ds公司=-4πZr2- 固态硬盘+4πZr1- s1+sds=-4π（1+π）+4π（π+1）=-2π。然而，从Remark3。这在我们的课文中很明显。在下面，我们将t g（t）=a+bt，t∈ [0，h]是一个线性边界函数。我们让最后命中时间τg=inf{t≥ 0:S（t）>g（t）}，表示πg（·| S（0）=x）在t=0时过程S从x开始的条件下，第一次击中时间的勒贝格密度。对于任何0≤ s<s<…<SM≤ 1，0≤t<t<…<田纳西州≤ 1，si6=tj，表示Д（S（S），S（S），···，S（sm））（S（S），S（S），····，S（sm））和Д（S（S），S（S），····，S（sm）| S（t），S（t），····，S（tn））的有限维分布密度给定S（t），S（t），······，S（sm））的条件有限维分布。然后我们得到了followingcarolla-rycorollar 3.9。根据以上所有标记，我们有以下关系：-∞Za+bh-∞^1（S（0）=x，S（h）=xh）dxhdx-Za公司-∞Za+bh-∞Zha公司- xu（S（u）=a+bu，S（0）=x，S（h）=xh）dudxhdx=Za-∞^1（S（0）=x）dx-Za公司-∞Zha公司- xuИ（S（u）=a+bu，X=X）dudx。4.